장음표시 사용
161쪽
Coro 5. Et universaliter, quantitas materim pendulae est ut pondus et quadratum temporis directe, et longitudo penduli inverse. et s. 6. Sed et in medio non resistente quantitas materiae pendulae est ut pondus comparativum et quadratum temporis directe et longitudo pe duli inverse Nam pondus comparativum est vis motrix corporis in m
dio quovis gravi, ut supra explicui; duoque idem praestat in tali medio
non resistente atque pondus absolutum in Vacuo.
Corol. . ' Et hinc liquet ratio tum comparandi corpora inter se, quoad quantitatem materiae in singulis tum comparandi pondera ejusdem corporis in diversis locis, Phad cognoscendam Variationem gravitatis. Factis autem experimentis quam accuratissimis inveni semper quantitatem materiae in corporibus singulis eorum ponderi proportionalem esse.
Corpora,unmendia quibus in medio quovis resistitur in ratione m-rum temporis, et corpora junependia quae in ejusdem gravitatis specificae medio non resistente moventur, Oscillationes in cycloide eodem tem me peragunt, et arcuum partes proportionales simul describunt.
Sic B cycloidis arcus, quem corpus D tempore quovis in medio non resistente oscillando describit Bisecetur idem in C, ita ut in infimum
ejus punctum; et erit vis acceleratrix qua corpus urgetur in loco quovis
in pendulo dimeia et eius longitudo inveria ad
Pondus et quadratum temporis penduli C directa et ejus longitudinem inve . Q. E. d. nive miser. Unde si et tempora et quantitates materiae eadem sunt, pondera sunt ut longitudinesse
dulorum directλσὶ ' Et unise aliter. Vide notam superi
pendulorum longitudinibus, oscillationum temporibus, et ponderibus con orum, datur ratio quantitatum materiae in illis corporibus per Cor. V. Pet contra af Ad cognoscendam variationem gravitatis. Ubi enim ejusdem penduli oscillationes tardiores sunt, gravitatis actio, caeteris paribus, minor est, cum in eodem pendulo pondera sint reciproch ut
quadrata temporum per Cor. I. . Sed de his plura ad Prop. XX. Lib. III dicentur uuanta autem in illis experimentis adhibenda sit dilige tia, claris. D. de Matra ea qua solet perspicuitate et elegantia exponit in Monumentis Acad.
Reg. Scienti an 1 35. 179. Quia numeri inuationum aequali a temporibus a diversia pendulis absolvendarum sunt reciproce ut tempora quibus ingulae oscillationes fiunt 478. Lib. ), numeri oscillati num aequalibus temporibus Peractarum erunt per Cor. 5. Prop. hujus in composita ration. ex ratione subduplicata directa ponderum Et subduplicatis rasonibus inversia massarum et longitudinum pendulorum sive, quoniam o dus est ut factum ex massa in vim gravitati a celeratricem, erunt praedicti oscillationum numeri in rationa subduplicata directa virium gravitatis acceleratricum et ration subduplicata longitudinum pendulorum inversa ac proinde pendu-Iorum inaequalium, ae eadem vi gravitatis agia talorum, numeri oscillationum eodem temporae absolvendarum sunt in reciproca subduplicata ratione longitudinum pendulorum, et numeri oscillationum in duobus pendulis aequalibuiserunt in subduplicata ratione virium gravitati Haec est regula quam ad comparandas corporunx
gravitates tradit Joh. Bernovili in Aetia Erudi . L. an. IIII.
162쪽
ris illa per eundem arcum; et cum resistentia sit ut momentum temporis, ideoque detur, exponatur eadem per datam arcus cycloidi partem C ,
et sumatur arcus oed in ratione ad arcum minuam habet arcus o B ad arcum C B: et vis qua corpus in dimetur in medio resistente, cum sit excemus vis in supra resistentiam C , exponetur per arcum oed, ideoque erit ad vim, qua corpus D urgetur in medio non resistente in loco D, ut arcus d ad areum C D; at propterea etiam in loco B ut arcuso B ad arcum m. roinde si eo ora duo, D, d exeant de loco B, et his viribus urgeantur cum vires sub initio sint ut arcus C B et ora; erunt velocitates primae et arcus Primo descripti in eadem ratione. Sunt arcus illi B D, et B d arcus reliqui Cm, i erunt in eadem mtione. roinde vires, ipsis m, oed proportionales manebunt in eadem
ratione ac sub initio, et proptere corpor pergent arcus in eadem ratione
simul describere. Igitur vires et velocitates et arcus reliqui Cm, lasemper erunt ut arcus toti AE, o B, et propterea arcus illi reliqui ' simul describentur. Quare corpora duo D, d simul pervenient ad loca C et , alterum quidem in medio non resistente ad locum C et alterum in medio resistente ad locum . Cum autem velocitates in C et o sint ut arcus C B, AE erunt arcus, quos corpora ulterius pergendo simul
describunt, in eadem ratione. Sunto illi AE et 4 Vis qua corpus
' meton udo reretis, e Per demonstratio per CB ad OB, ut CD ad Od evanescontanein Prop. LI. et Cor. 2. Prop. LII. Lib. I. Meuita, evanescet etiam arcus C D, seu punc- Erunt uelaeuales privise &c. Nam, dato tum d cum , et D eum C simul eoincidenti temporis momento, vel lintea ganita sunt ut In eddem ratione. Sunt enim velocit vises IS. Lib. I. et ut spatia descripis per es, ut spatia dato temporis momento descripta. e. 4. Lem. X. Lib. I. tam in medio revistente quam in medio non Minti dea isentur. Quia enim est sem sistente II.
163쪽
in medio non resistini retardatur in Mest ut C R et vis qua corpus d in medio resistente retardatur in e est ut summa vir C e et resistentiis CG id est ut 4 ideoque vires, quibus corpora retardantur, sunt ut
arcubus C E proportionales arcus C B, o B; proindeque velocit tes, in data illa ratione retardatae, manent in eadem illa data a nμ. Velocitates igitur et arcus iisdem descripti semper sunt ad invicem in data illa ratione arcuum C B at o B; 'het propterea si sumantur arcus inu B, a B in eadem ratione, corpora D, d simul describant bos arsi , et in locis A et a motum omnem simili amittenti sochronae sunt igitur oscillationes totae, et arcubus totis B A, B a Proportionales sunt arcuum partes quaelibet B D, B d vel BAE, B e quae simul describuntur.
Como Igitur motus velocissimus in medio resistente non incidit in punctum infimum sed reperitur in puncto illo O, quo arcus totus descriptus a B bisecatur. Et corpus subinde pergend ad a, iisdem gradibus retardatur quibus antea accelerabatur in descen u suo a Bad O.
' propterea Si sumatur arcu A aequalis C B, et deinde arcus a B ad areum Amin data ration Ora ad C B eo ora D, d
simul deseribent hos arcus, et in locis A et amotum omnem simul amittenti Nam cum sit semper arcus Eado e ut CBMOB, seu ut C A ad 4, ubi Meus C E aequalia evadet arcui Cis fiet quoquo arcus is aequalis arcui a et quia motus in medio non resistente e tinguitur in Α, - - - B in medio resistente extinguetur quoque in a, eo quod Vel eitates in iocis E me Α, a sint in data ration
Nam ratio velocitatum in mediis resistente et non resistento est semer eadem in unetis e --
pondentibus ut in disti, in σε C, in eis Ei
sed eo oris in medio non resistent oscillantia velocitas maxima est in loco infimo , o iis in gradibus retardatur in ascensu, quibus antea -- lerabatur iri deseensu; quare motus velocisaiamus in medio resistent reperitur in o et iisdem deinde gradibus retardatur in ascensu, quibunant ae lerabatur in descensu.
164쪽
α -- fmependulorum, quibus resistitur in mei e velaritarum, Osciuationes in cycloide sunt is Homine.
mam si corpora duo, a centris suspenalonum aequaliter distantia
oscillando describant arcus inaequales, et velocitates in arcuum partibus correspondentibus sint ad invicem ut arcus toti resistentiae velocitatibus proportionales, erim etiam ad invicem ut iidem arcus. Proinde si viribus motricibus a gravitate oriundis, quae sint ut iidem arcus, auserantur vel addantur hae resistentiae, erunt disserentiae vel summas ad invicem in eadem arcuum rationa cumque velocitatum incrementa vel decrementa sint ut hae differentiae vel summae, velocitates semper erunt ut arcu toti: igitur velocitates, si sint in aliquo casu ut arcus toti, manebunt semper in eadem ratione. Sed in principio motus, ut corpora incipiunt descendere
et arcus illos describere, vires, cum sint arcubus proportionales, genera bunt velocitates arcubus proportionales. Ergo Velocitates semper erunt
ut arcus toti describendi, et propterea arcus illi simul describentur.
Nam si eo pora duo, exempli ea a B tionales. Iris Igitur, at velocitates, et arcus
et D a muro suspen vis psalver dia tamia, deseripti, ac proinde et arcus describεndi m oscinando describant armis inrequales Wa, De nent semper in data ratione. Quare corporae velocilate in arcuum partibus c,respondentia duo simul perveniunt ad punctum infimum ;tio, seu in arcuum quadrantibus, par et eodem modo probatur quod arcus Cis, σε tilina tertiis, c., sint ad invicem, aretis oti simul deseribant. a. D ex resistentio uelocitatibus proportis Seholium. Neutonus in duabus Propositionunales, erunt etiam ad invicem ut sidem arcus hus praecedentibus ostendit cycloidem esse eum Proinde si viribus motricibus a grauisaι oriundita am is Monam, quam alii autochronam ap- secundum tangentes cycloidis agentibus quae pellant, non tantum in medio non resistentri sint, iMem arcus B a me, auferantur dum sed etiam in medio quod in ratione momentorum muc descendit, vel addantur dum torpus temporis, et in medio quod ratione implicio ascendit He resistentiis erunt dissereriis vel Iocitatis resistit; verum quaenam sit curva illa ad invicem in ediam arcuum rationeis autochrona in hypothesi resistantiae velocitatum sagmque velocitatum incrementa vel de ementa, quadrato proportionalis non indicat Elegans dato tem ris momento genita, in tit his disse tissimas hujusco Problematis solutiones dedero renι- - summa 18 , veloeitavies semper erunt eleberrimi mathematici Eularus Tom. IV. Acad. N arcus toti B MI e igitur velocitates, si sim Petrop. et Tom. II. echanicae, necnon claris. m aliquo casu ut arcus toti, manebunt semper in Bamounius inmonumentis Acad. Reg. Seren- eadem ratione. Sed in Principio moιus, tibi tiarum Paris an I SO Novam viam qua eum comor in rantis locis B, D descendere e -- vae autoctronae in medio quolibet resistente
civis deseriisere, ideoque ubi re possint inveniri aperuit . Fontatae in iisdem sistentia nulla est, ire sum aretibus illi propor, Nominientia anni 17sq.
165쪽
Si orporibus junependulis resistitur in duplicat ratione velocitatum, di
frentiae inter tempora Oscillationum in medio resisteret ac tempora osculationum indusiam gravitatis specificae medio non resistente, erunt arcubus eluando descriptis proportionales quamproxime.
m pendulis aequalibus in medio resistente describantur arcus inaequales A, B; et resistentia corporis in arcu A, erit ad resistentiam
tente describantur aretis inaequales A re ad pleniorem hujus demonstrationis evidentiam, fingatur illos arcus in totidem partes quam n inimas inter se aequales dividi, singulae in utroqueare erunt totis arcubus proportionales dica tumum et b, in Edium aut non resisteret aut resisteret in ratione velocitatum, velocitates initio Particularum quarumvis eorrespondentium a eth, forent ut arcus ipsi A et B; at in medio maistenta in ratione duplicata velocitatis paulo duversa erit haec velocitatum ratio, sed propter exiguam rationem resistentiae ad velocitatem negligi
poterit haec disserentis, et supponi potia veloculate manere in ratione arcuum quam Proxime;
quod si ita supponatur resistentia corporis in quovis puncio arcus A erit ad resistentiam corporis inpari co responderi arcus B, sicut quadrata velocitatum in punctis illis correspondentibus eorum arcuum, id est ut quadrata ipsorum ar--tim A et B B quam prori . Designetur vero velocitas initio arcus a per vis, et initio arcus i. m. Designatur porro resistentia initio arcus a per minis, at resistentia initio
areus h per minus in medio non resistetito tempuscula quibus singulae particulae a et deambentur erunt aequalia, per Prop. II. Lib. I. ydesignentur vero per T cum ergo in medio
resistente propter velocitarum imminutam longiussa tempus in inversa ratione velocitatum ut excessu illa tempusculi quo arcus a deseritatur in medio resistente supra tempusculum quo idem reus in medio non resistente percurritur habebiturque ex hypothesibus Q -- Ar Ἀ-
Ut inveniatur ratio hujus excessus x ad X- cessum tempusculi quo arcus describitur in medio resistent facundum legem duplicatam velocit iis, supra tempusculum , quo idem arcus in medio non re tento percurritur supponatur
arcum B in tali medio describi ut resistentia in Punctis inresis Α, in ad resistentiam in punctis e respondentibus Narcium, sicut A est ad B, id quo sicut velocitatos initio arcuum illorum. iave cum resistentia in a sit minis resistantia ini fingatur esse in B, cam ergo resistentiae sint in ipsa ratione velocitatum velocitat demptis reaiatentiis m nebunt in eadem ratione, in ratione nempe armum discribendorum a et qui orgo aequalibus temporibus describentur, sed tempus quo describitur arculus ainata F x ergo si resistentia in arcum, sive sit mini ideoque
velocitas sit, B -- - B tempua quo descri- . tu arcus h erit etiam T - - . Cum autem revera resistentia initio arcus non sit, A B sed, B B, aio ait excessus tempuseuli in quoi describitur in medio resis tente juxta quadrata velocitatum supra tempus quo idem arcus in medio non resistente Percia ritur, erit tempus ad tempus T se reciproce sicut velocitas vi - - B quae su Ponebatur, ad velocitatem in , B B, eri
ducat excessus isto supra tempus , oportEt
ut illa quantitates in B, in B, sint recia proc ut ceto, sed, A B et in B sunt ut ad B, ergo A est ad B, sicut x est ad n ide
que excessus x temporis arcus A in medio resim tente in duplicata ratione velocitatis supra tempus in eodem arcu in medio non resistente, est ad excessum tempofis arcus B in eodem medio supra tempus in eodem arcu B in medio non resistent ut arcus A ad arcum B, cumquBidem ratiocinium in omnibus arcubus quam nimis a et is instituti possit, summa omnium excessuum tempusculorum in arcu A, erit in summam omnium excessuum tempusculorum in
Quod excessus Meta tempusculorum quibundescribuntur arcus a et , in medio resistentae juxta rationem duplicatam velocitatum, tempus quo describerentur in massio non mi tente sint ut A et B ex superiori demonstration. alio modo Erui potes Nam manentibu qum illic posueramus est. A mΛΑ:vΑ-T: --x est etiam
166쪽
co oris in parte correspondente arcu B, in duplicata ratione velocit tum, id est, ut A A ad B B, quam proxime. Si resistentia in arcu B esset ad resistentiam in arcu A ut A B ad A A tempora in arcubus Aet B erit aequalia, per Propositionem superiorem. Ideoque resistentia A A in arcu A, vel A B in arcu B, essicit excessum temporis in arcu A supra tempus in medio non resistente; et resistentia AE essicit excessum temporis in arcu B supra tempus in medio non re istente. Sunt autem ex
cessus illi ut vires essicientes A B et Bra quam proxime, id est, ut arcus et B. Q. e. d.
Corol. I. Hinc ex oscillationum temporibus, in medio resistente, in arcubus inaequalibus sectarum, cognosci Possunt tempora oscillationum in ejusdem gravitatis specificae medio non resistente. Nam disserentia temporum erit ad excessum temporis in arcu minore supra tempus in medio non resistente, ut 'hdisserentia arcuum ad arcum minorem.
Corol. 2. 'hoscillationes breviores sunt magis is Monae, et brevis-
- rationes utriusque proportionis ad minores Tempus per reuntiis est tempus terminos. Per Rrcum minorem , est T Fa, ergo dis-W - αα ferentia temporum T - - - - - - nuci, B - ot visimi et excessus temporis in minore are supra tem τὰ T in m in medio non resistente est y juxta denomuu rmim Bria, unde est nationes notae superioris, sed ex Theoremate est
ratione via uatum, supra tempora in medio non in et brevissimae iisdem temporibus pera vitirresistenta in areisua inaequiu a sunt ut illi ae in medio non resistente quam prom- Br arma. Vissimae iisdem temporibus peraguntur ae in Di ferentia temporum erit ad meam medio non resistente quam proxime sic arma temporis in arere minore avra tempus in medio major, B minimus, inventum est in nota quod non rem emis in Perentia retium ad arcum erat V Α - Λ em Qx, atm orem'. - quod erat B.-mBB:vB-m AB
167쪽
simas sisdem temporibus peraguntur ac in medio non resistente, quam proxime. Earum ero quae in majoribus arcubus fiunt, tempora sunt
paulo majora, q) propterea quod resistentia in descensu corporis qua tempus producitur, ' major sit pro ratione longitudinis in descensu
descriptae, quam resistentia in ascensu subsequente qua tempus contrahutur. Sed et tempus oscillationum tam brevium quam longarum nonnihil produci videtur per motum medii. cimam corporibus tardescentibus Paulo minus resistitur, pro ratione velocitatis, et corporibus acceleratis paulo magis quam iis quae uniformiter progrediuntur idque quia medium, eo quem a corporibus accepit motu, in eandem plagam pergendo, in priore casu magis agitatur, in posteriore minus ac proinde magis vel minus cum corporibus motis conspirat. endulis igitur in descensu magis resistit, in ascensu minus quam pro ratione velocitatis, et ex utraque causa tempus producitur.
Si cor rethnependulo in cycloide oscillanti resistitur in ratione Oment te, is erit sus resistentia ad vim gravitatis ut eaecessus arcus descensu cito descripti supra arcum ascensu sulsequente descriptum, ad
penduli longitudinem dupiacatanti Designet B C arcum descensu descriptum C a arcum ascensu descriptum et Ma differentiam arculun et stantibus quae in Propositione XXV.
- 'Τ- ' unda per ompositionem Maior in pro ratum Daegis inis. I. rationum invenitur B -- B - gitudo in descensu deseripta semper major est m, A B BΦm x Bae simo v AB vA B quam longitudo descripta in Mena a sequente, B si medium resistit peii lonestudines illae in m κ1 adv*Αν--vΑ B - Τ dio non resistente sint aequa a 92. Lib. 3.
v 3 itaque in primo termino neglecto Velocitas continuo decrescit, ut fit in or Tum ascensu, paula minua resistitur, pro otionis quod infinit. parvum supponitur ob exiguitatem velocitatis; et eo oribus ac teratis, seu desce areus B ut et quantitatis in respeet v so dentibus, paulis magis resistitur quam ii qum v AB vΑAB: 'AB----A AB-T: Tinys uniformiter progrmiuntur. In priore enim casu, est ergo ' sive tempus in medio non medium eo quem a corporibus accepit motu, resistente idem ac in medio resistente quam Pro quemque aliquandiu ob ineritam materia comΣ servat, in eamdem plagam pergit cum corporibus, Sed oscillationes in medio non resistente sunt et ob validiorem ab Inilio motus continueramisochronae, hinc ergo scillationes breviores in remeantis acceptam impressionem magis agitatur, medio resistente ad has quam proxime accedentes ac proinde magis conspirat cum corporibus oti eaeteris sunt magis isochronae e. d. minoremque iis resistantiam Mijicit in in a Propterea quod resistentia in descensu, eundo casu eam motus Perpetuo acceleretur, Re mauor est resistentia, eo minor fit, medium ex prioribus ictibus non satis velo meaeteris paribus, corporis descendentis velocitas, motum Meepit, et ideo eius celeritas novis im- et ideo, manente descensus longitudine, tempus pulsi a continuo augenda est ut possit cum Per resistentiam producitia; et contra, quo a corporibus motis eonvisam hincque eo o Maior est mistentia, eo citius extinguitur velocitas Meeleratis reaistit magis quam uniformiter Pr .eorpori insita in scenau. gredientibus. Pendulis igitur in dea nam Mi
168쪽
constructa et demonstrata sunt, erit is, qua corpus oscillans urgetur in
loco quovis D, ad vim resistentiae ut arcus m ad arcum G, ghqui semissis est disserentis illius A a. Ideoquo vis, qua corpus oscillana urgetur in cycloidis principio seu puncto altissimo, e id est, vis gravit iis, erit ad resistentiam ut arcus cycloidis inter punctum illud supremum et punctum infimum C ad arcum id est si arcus duplicentur ut cycloidis totius arcus, hseu dupla penduli longitudo, ad arcum A a.
sit quod corpori in cycloide oscillanti resistitur in displicat ratione velocitatis invenire resistentiam in locis inmilis. Sit B a arcus oscillatione integra descriptus, sitque C infimum cyclobdis Punctum, et a semissis arcus cycloidis totius, longitudini penduli Beqnalis; et quaeratur resistentia corporis in loco quovis Secetur
resistis medium, in ascensu minus quilin pro Α - Ο - CB MB-CO, et hine ration που oestatis, et ex utraque causa tempus adim2CO MC - ΦΑ a. producitur Nam quo major est resistentia in 'D Id est, uis gravitatis In ycloidis prim Scensu, et minor in ascensu, eo magis produ cipio sive puncto altissimo tangens cycloidis est citra temPus, ut supra dictum es in directione gravitatis, et idcire vis in vetoido Qui semissis est disserevitis inius A a. aequalis est vi graviistia in illo puncto, ut Patet Nam per Hyp. arcus in aequalis est arcui ex Cor. Prop. LI. Lib. I. n. et per M. Prop. XXV. Meus Beti distis penduli isnouas 462. b. aequalia est arcui O B; quare an . .
169쪽
458 PHILOSOΡHIAE NATURALIS 4Μ- Coison. recta infinita in in punctis , S, P, Q, ea lege, ut si erigantur empendiculam , S T, UI, AE centroque O et asymptotis describatur hyperbola VIM E secans perpendicula Maria, in in
T, I et , et per Punctum Lagatur KF
toto in , et perpendiculis S ret. Q Ε in Let F)fuerit area hyperbolica ΡIEM ad aream DPerbolicam PT Sut arcus B descensu corporis descriptus ad arcum C a censu descriptum,
sit ad aream hype Dolicam PIEQ ut arcus C Dad arcum BC descensu descriptum Et si perpendiculo RG abscindatur area hyperbolica H GAE, quae sit ad areami PD ut arcus quilibet GD ad arcum B C descensu ORtoto descriptum erit resistentia in loco D ad vim gravitatis, ut area --κ
Nam cum Vires a gravitate oriundae quibus corpus in locis , B, D, α urgetur sint ut arcus C: C B, C D, C a, y et arcus illi sint ut areae ΡΙΝΜ, PIE PIGR, PIT S exponantur tum arcus tum Vires per has areas respective. Sit insuper Di spatium quam minimum corpore descendente descriptum, et exponatur idem per aream quam
in ut aretis, δα per demonstrata in p. I. et Cor. 2. Prop. LII. Ub. I. yy aeretia illi iant ut areae P. eo reum
170쪽
minimam parallelis in comprehensam et producatur in ad ii, ut sint mini, et contemporanea 'harearum I G H,
PE R IM H dicatur , atque areae decrementum νως detur, ' erit incrementum areas it ΡΙ σα- .
Quod si V designet vim a gravitate oriundam, arcui describendo C Dproportionalem, qua corpus urgetur in D, et Riro resistentia ponatur; erit vis tota qua corpus urgetur in D. Est itaque increme tum velocitatis ut et particula illa temporis inclis iactum est comjunctim e sed et velocitas ipsa est ut incrementum contem raneum spatii descripti directe et particula eadem temporis inverse. Unde cum resistentia per hypothesin sit ut quadratum velocitati', incrementum sistentis per Lem. II. erit ut velocitas et incrementum velocitatis conjunctis, ' id est, ut momentum spatii et V AE conjunctim atqua
ad flatum metangulum O PIAE manifestum mutatis Ignis, eiusdem area merementum est est quod ineremantum areae Y sit ad PQ, R