장음표시 사용
171쪽
ideo, si momentum spatii detur, ut V m id est, si pro vi V scribatur eius exponens rLGAE, et resistentiara exponatur per aliam aliquam aream Z ut UI GAE Q. Igitur area PIGRper datorum momen. tomun subductionem uniformiter decre cente, crescunt area
Y in rationo PIGR- , et area Zis sono UI GAE Q. Et propterea si areae et Z simul incupiant et sub initio aequales sint, hae
peradditionemaequωsium momentorum pergent ess aeqv
les, et aequalibus iliadem momentis sum inde decrescenis si mul evanescent. Et Vacissim, si simul imcipiunt et simul ev
nescunt, sequasi h bebunt momenta et semper erunt aequam
les id ideo quia si resistentia Z augeatur, Velocitas unu cum arcu illo C a, qui in ascensu corporis describitur, diminuetur; et puncto in quo motus omnis una cum resistentia cessat propius accedente ad punctum C, Τ resistentia citius evanescet quam area'. Et contrarium eveniet ubi resistentia diminuitur.
ex dem. velaeitatis incrementum est ut V -- Ret momentum Emporia coniunctim, velocitas autem ipsa ut inerementum spatii diroete et mmmentum temporis iuveria erit ex aequo velocitas in auum ineramentum ducta, ut V i. et i crementum spatii eo unctim, in qua ratione est etiam inerementum restinentias ex dem. . per adduis mem aequalium momentorum pergen eum tiales, δα eun enim sem-
Per crescat area vis ratione PQ, R - et in ea Z in ratione P I a si areae illarvata simu incipiant et initio aequatis inuerunt etiam area PIGR-YM PIGR Z sub initio aequales; et, oh datam in Eme torum areae is areae ad PIGR - PQ, R a rationem, incrementa illa leue M PIGR- YMPIGR-Z manebunt semper aequalia, uti sub initio. Quare etiam area vota aequalibus itidem momentis subindis
decrescent et simul evanescenti existentia cuius evanescet quam area IT, et contrarius hine. Nam si amara semper aequa .
172쪽
Jam vero area Z incipit desinitque ubi resistentia nulla est, hoc est, in principio motus ubi arcus m arcui AE aequatur et recta Ri incidit in rectam AE et in fine motus ubi arcus C marcui in aequatur et
RG incidit in rectam S Et area iseu N LEAE IMMO Rinesset desinitque ubi nulla est, ideoque ubi viami et Ira H aequalia
nescunt, et Propterea semper sunt aequatas. Igitur area via Ε IM H aequalis est areaera, per quam resistentia exponitur, et Promerea est ad aream VI Ni per quam gravitas exponitur, ut resistentia ad gra vitatem. Q. e. d. ComoL 1. Est igitur resistentia in loco infimo C ad vim gravitatis, ut
in . . Fit autem maxima, ubi area PI HAE est ad aream Iasut AE ad M. Eo enim in casu momentum ejus nimirum I GAE hevadit nullum. Como S. Hinc etiam innotescit velocitas in locis singulis quippe
Quam si eminentia Z augeatur vel minuatur ita Est autem O R, O S, ubi recta M incidit ut esset in puneis res C a iusta Veiis in metam S , et area desinit ibidem. minima citius vel tardiu evanescet aruum quam Ad - - PIN.M. Nam evanes nisara 'quia haee non desinat nasturae γη D. Manescit ipsi proportionalia area venit ad loeum Resistenti. g tu I in schine evanescit etiam area Irum, Z nee mador ne minor esse potest quam area , o R si innui incipiant et simul evanescanti sique o R, O P, atque proinde Heta Es
- GHaemo, et Mais IEF-IGH da Qua propter momentum areae Me autem eontingit ubi fit I DG H - nullum fit et ideo resistentia mi area ira ora ora, quod evenit primo ubi rectara, sortionalis mih maxima evadit 48 hi est
173쪽
quae est in subduplicata ratione resistentiae, et ipso motus initio sequatur velocitati corporis in cadom cycloide e sine omni resistetitia oscillantis. T
- Sta omni reaiuenti facillantis niam veliseitatis quadratum in Ioeo quovis D est ut resistentia, seu ut area vis medio resistente; et ut in per Prop. LII. Lib. I. seu ut PIE PQ, R ' in medio non resistenta si velocitates illae dicantur , , sintque C et E quantitates constantes, erit
Pa G, ' Et quia initio motus, dum eo Pus est in B, velocitates illa aequales sunt, ob maistentiam respectu vis a gravitate oriundae eum centem; erit initio motus
nimirum G H eum EF, et QR seu H Fevanescente. Et similiter initio motus est
Innotescet igitur velocitas in medio resisterit per inventam ipsius mitionem ad velocitaten in medio non resistente in singulis locis.
174쪽
LaBER SEcUND. PRINCIPIA MATHEMATICA. 16sM Caeterum ob dissicilem calciam quo resistentia et velocitas Per hanc Hopo onem inveniendae sunt, Visum est Propositionem sequentem subjungere.
Si recta a B aeqvadis sit 3eloidis arcui quem eorpus Osriuando describit, et ad singula eis punctam erigantur perpendicia D ,3 e sint ad Iongitudinem penduli ut resisteritia corporis in arcus punctis inrespondentibus ad vim gravitatis dic disserentia inter arcum descensu toto descriptum et arcum ascensu toto sulsequente descriptum ducta in arcuum eorundem semisummam inguriis erit areae B . a per Mimilis omnibus D Fatiae. Exponatur enim tum cycloidis arcus, oscillatione integra descriptus, perrectam illam sibi aequalem a B, tum arcu qui describeretur in Vacuo per
longitudino A B. Bisecetur Ararii C, O t punctum C repraesentabit
E erit arem P LEM elementum m --, areae P PT S elamentum αα --; et inde
a Si iisque ex hac aequatione per serierum regre sum, vel quacumque alia methodo determinetur
aeaei a L. T. dam arcus um aloeri par arbitrariam lineam a et dein per C a, ut m ad I et erit per eonstr. - ntiationem cis ita inveniatur valor ipsius
- ' LXXIV. Lib. II. Phoronomiae geminam e-- et 2 - --. struetionem dedit, qua orporis in curva quati: t . . . . oscillantia resistentia velocitatis quadrato Pro WPorro Ex superioribus denominationibus u tionalis definitur, et Newtonianam pro eFeloide Rhur arem I elementum -bda Ym, 'ux'tion' FH logarithmicae simpliciorem reddidita missicile autem non est 44 hanc et Indae areae ipsa IEF - h - ha L. - - Newtoni constructionem revocare adamaritiamuems . qua es, ait o ubi FI - - eva eam per punctum N et asymptoto, o ad partes sest fit ma est Q ---bari hau pmducta describendam. ideo ae IEF - hau bc halo. punctum C reprimenιab insimum .. . M. - se, V omissis 1runctum Nam cycloidis punorum '
175쪽
infimum Miloidissimorum, ehet erit m ut vis a gravitate oriunda, qua arpus in D secundum tangentem moidis urgetur, eamque habebit --tionem ad longitudinem penduli e quam habet vis in D ad vim gravitatis. ponatur igitur vis illa per longitudinem GD, et vis gravitatis per longiatudinem penduli, et si in Dae capiatur DAE in ea ratione ad longitudinem pendae quam habet resistentia ad gravitatem, erum K exponens resistantiae. Centro C et intervallo C A vel in construatur semi-circulus B De A. Describat autem corpus tempore quam minimo spatium D d, et erectis perpaeadiculis Di di circumferentiae occurrenturus in E et 'AMN a
erunt haec ut velocitates quas corpus in vacuo descendendo a puncto B,
acquireret in locis D et d. Patet hoc per Prop. LII. Lib. I.ὶ Expo
nantur itaquo hae velocitates per perpendicula illam Ε, d e; sitque D velocitas quam acquirit in D cadendo de B in medio resistente. Et si centro C et intervallo C F describatur circulus 4 Μ occurrens rectis es et B in s et erit, locus ad quem deinceps sine ulteriore resistentia ascenderet, et dri velocitas quam acquireret iura Unde Mininsia designet velocitatis momentum quod corpus D describendo spatium quam minimum D d, ex resistentia medii amittit; et sumatur m se. lis erit, locus ad quem corpus deinceps sine ulieriore resistentiri ascenderet, et m erit decrementum ascensus ex velocitatis illius rini sione oriundum. Ad dri demittatvi perpendiculum , et vel untis Di decrementum Fg a resistentiam . genitum, erit ad velocitatisi ejusdem incrementum fis a vi Cm genitum, ut vis generansi in
fimum arcum quem eorpus In medio non resis
tente oscillando deseribit in duas parte aequales dividit. eri ci in via a gravitate Oriranda, δα patet per demonstri Prop. LI. Lib. I. Quam habet is in D ad vim gravis eis, per Cor. I. Prop. LI. Et not. 462. Lib. I. Erit u Deius ad quem, c. Eamdem Enim velocitatem a re eo us in D, ne in Melusa omni resistentia percurrisse spata
C D, et ideo per modo demonstrae mala loeo diaberet velocitatam dri, et in laeo anullam.
sim generantem, D. Sunt aera involocitatum elementa dato temporis momae eo Mnita, ut vires generantes is Lib. I.).
176쪽
punctum mobilem erigi semper intelligatur ordinata rectangula aequalis indeterminatae , quae motu continuo ducatur in totam longitudinem a et trapezium ex illo motu descriptum sive huic aequale rectangulum
A a, b a B 'haequabitur summae omnium Μ Ν, C, ideoque summa omnium D d, DA, id est, Messi cure a. Q. e. d.
MOL Hinc ex lege resistentis et arcuum differentis A acolligi potest proportio resistentias ad gravitatem quam proximλΝam si uniformis sit resistentiam , figura BAE T a rectangulum erit sub B a et D ; et inde rectangulum sub HB a et Ala erit aequale MN angulo sub B a et D , et D K aequalis erit L a. Quare cum D sit exponens resistentiae, et longitudo penduli exponens gravitatis, erit resistentia ad gravitatem ut L a ad longitudinem penduli omnino ut in Prop. XXVIII demonstratum es o Si resistentia sit ut velocitas, figura BAE T. ellipsis erit quam prori . misi corpus, in medio non resistente, oscillatione integra describeret longitudinem B A, velocitas in loco quovis D foret ut circuli diametro B descripti ordinatim applicata DAE Proinde eum B a in medio re
eaeu commaunia angulus Q C, remanebunt anguli aequales eam,
c F D. Tria igitur triangulas m cr g o F D C aequales angulo h
bent, stantque proinde similia.
d, I K, erit summa omnium M N, C, aequalis summae --nium D , D Κ, modo simul inesseant simul Η Μ dueatur in totam langitudinem A a, eritque disinant. Incipit autem summa omnium rapinum aequale summis omnium
177쪽
sistente, et B A in medio non resistente, Phaequalibus circiter temporibus describantur; ideoque velocitates in singulis ipsius B a punctis, sint quam proxime ad velocitates in punctis correspondentibus longitudinis B. A, ut est B a ad B A; erit, elacitas in puncto D in medio resistente
'hideoque figuram ellipsis erit quam proximδ. Cum resistentia velocitati proportionalis supponatur, sit os exponens resistentis in
puncto medio O; et empsis BAE V S a centro semLaxibus Ο Β, Ο descripta, figuram BAE V ra, eique sequale rectangulum B inaequabit quamproxime. Est igitur Αaκ BO ad OV κBoe ut area semuellipseos limus ad Ο id est, x ad Ο ut area semia
banι-. Quia resistentia minuendo corpori vel citatem tempus Producit in descensu a B ad C, illudquo contrahit tu ascensu a C ad a, longitudines B A in medio non resistente et B a in medio resiatente, earumquelongitudinum partes Proportiona. ad Bin hoc est, ut velocitas in lomi in medioremstente ad velocitatem in loco D in massio non resistente et ducta ordinata ME, erit Etiam oti figurarum similitudinem MEM DE ut Bain Α, ideoque ut velocitas in medio rasistente ad velocitatem in medio non reaistente. Vel eitas igitur in medio resistente erit semper ut ordinata variabilia Δ Ε.
quam proximλ dum enim ex modoram monstratirivelocita in loco quoviso ait
semper uit, nare.,s ad circulum, et per
Hyp. resistentia Δ nin hac figura, vel D K in figura textus, sit semper ut velocita Δ Ε, eritin isti E; et quia Δ ν' - - κων ex natura circuli), erit etiam Δα ut aΔχ- , et ideo figura BAVTa ellip- ais, cujus centrum O, semuaxea a , et O , si O V exponat resistentiam in punctomedio in is a B. les, aequalibus ineste temporibus deseribunturi area em ellipseos AQua ad O Uoc Sunt autem vellaeitates ut spatia eodem temporis i. Est enim ama via -- amri a B pee momento descripta Il); quare velocitates inpar Prop. hanc , et a B - B, per eo tr. tibus longitudinum B A, B a correspondentibus 'L in area semitici culi ad quadriatim radia, arant quam proximo ut longitudines B A, B a, α rea ellipaeos cujuscumque est ad recta id est, in ratione data Centro ine diametro gulum sub axibus in ratione data nimirum im B describatur circulus B in a, iique ratione areae circuli ad quadratum diametri 2SQ.
178쪽
eirculi ad quadratum radii, sive ut II ad 7 circiter et propterea ri Maad longitudinem penduli ut corporis oscillantis resistentia iura ad ejusdem
Quod si resistentiam, sit in duplicata ratione velocitatis figura BA sere parabola erit verticem habens V et axem 'hide quo aequalis erit rectangulo sub DB a et O V quam proxime. Est igitur rectangulum sub DB a et Ala aequale rectangulo sub DB a et O , idemque os aequalis L a et propterea corporis oscillantis resistentia in ad ipsius gravitatem ut ad longitudinem penduli Atque has conclusiones in rebus practicis abund satis accuratas esse censeo. Nais cum ellipsis vel parabola in V S a comgruat cum figura in puneto medio V, haec si ad partem alterutram rus vel V excedit Muram illam. Τ deficiet
L . I. eurulus enim est alipsis orius sunt quod Vaccuratia exhibeat resistentiam in puncto axes ariu ea; unde area semi-ellipseos B KVTa medio O, quod4ue parabola vel ellipsis persun est ad quartam partem rectanguli sub axibus, seu tum V descripta sit. adiectangulum sub semi-inthus O v, η ' Deficiet ais ede ad pariem alteram. area inmi-circuli ad quadratum radii. Sed si cir Quia duae ellipseos vel parabolae partos B R euli radius sita erit semi-peripheria 22 circiter, et a S V similes aurit et aequales, at reaiatomiminet area ---circuli κIl, ide6que areae omi demens a B ad majores sint quam pro tareuli ad quadratum radii ut II ad 7 circiter tione ordinatarum est ad Ellipsim vel paris Est igitur Aa ad OV ut II ad , et proindo lam, ad alteram Partem minores erunt; et contra. - 'ει Sit resistentia in rivione sesquiplimia O V - a. Et pmpterea per Prop. hanc a
UB - Δ Sed in parabola uius ver et hinc mi V MD, is soris V et aris Vi differentia abscissarum a foret semper ad differentiam quadratorum ordi a natarum in utriusque abscisa extremo ductarum, monium Dd x - ωὐχ Quam in data ratione. Iam vero Lex Κ dueatur in
179쪽
ab eadem ad partem alteram, et sic eidem aequabitur e quam proxi-
Si corporis oscillantis resistentia in singulis retium descriptorum partibus proporti inlibus augeatur ve minuatur in datd ratione j disterentia inter arcum descensu descriptum et arcum subsequente ascensu descriptum augmbitur vel diminuetum in isdem ratiane. ' oritur enim disserentia illa ex retardatione penduli per resistentiam medii, ideoque est ut retardatio tota eique proportionalis resistentia
Si eurum cujusvis ira arcus totus B, Rem grave descensu per B C at subsequente ascensu per Cis in medio resistente describit, extendatur in lineam rectam Bis, et ad singula hujus rectae punctam erigantur perpendiculam, proportionalia medii resistentiis quas mobilo in homologis curvae B C punctis D subit, sitque curva quam punctum K perpetuo tangit area curvilinea B, A B aequabitur rectangulo PM, G Hex recta P C, quae gravitatem constantem op nit, in disserentiam G H abscissarum G tam Careuum deseensu et subsequente a
Eae punctis D, d infinia propinquis demittantur ad G perpendiculam E, di, et ex punctod ad Ei perpendiculum d F; et vis gravitatis P C erit ad vim tangentialem n loco D, qua motus corporis in curva acceleratur, ut in in F d. Nam ductam, parallela Ρ σε - incurvam perpendiculari, exprimati, gravitatis actionem, exprime si vim taugentialem sed
rd ut vis gravitatis ad vim tangentialem, qu-Propter cum D d sumatur ubique aequalis ut est actio gravitatis, ubiqui Ud exprimet vim tam gentialem est Fra et ne, si itaque P -- Praesentet vim gravitatis erit D dci 4 - ad vim tangentialem 1 adeoque via illa tange P C, Dotialis Sed corporia des Me tis vis aeceleratrix aequalis est excessu vis --
180쪽
retardans. In superiore Pro sitisne rectar tum sub recta Lam et a euum illorum C B, C a disserentia 4 oqimiis erat areae AE T a. Et area illa, si maneat longitudo a B, augetur vel diminuitur in
ratione ordinatim applicatarum ' hoc est, in ratione resistentiae,
e Ideoque est ut longitudo a me resistentia conjunctim. aeroindeque
gantialis supra resistentiam; erit igitur vis nee
eatur haec via in elementum iasii R et sεt
Oruti eiam disterentia illa eae retardatisne penduli per resistentiam me Dividantur reus a duobus pendulia deseripti in partes proportistiales infinia parvas, et totum illud moddeest singulo arcui poterit eo ipi ut assiectus
retardationum qua corpora passa sunt ingui
rum inamim Particularum initio, patium vero quod Propter singulam retardationem deficit, est ut itia retardatio et tempus per quod eo uamotum fuit post illam retardationem Temptam quo ad finem oscillationis; sed quoniam in Glationssius utut inaequali a tempora qui a similes arcuum partes deseribuntur sunt aequalia, in medio non reaistente, et in medio resistenta saltem quam proxime, IMyspatia quae deficiunt
Wopter retardationes in proportionalibus armum partibus sceptas, sunt ut illae retardationea. radia distinentia arcuum est in retardatio mea, eique proportionatis resistentia retardana, quantitates materiae corporum pendulorum rant aequatas, retardatio in singulis reuum descriptorum partibus est ut resistensa in si dem locis, sed ut resistentim sunt in data quadam lage velocitatem ex hypothesi et cloeutiam in arcuum partibus proportionalibus sunt Tatione data, ideo resistentia in singulis alleuum taenibus Proportionalibus sunt no tilano dat eonaequens omnes etard
tiones sunt in eadem ratione, summa ergo
tardationum erant in eadem ratione data, ergo tota spatia deficientia illis retardationibus proportionalia erunt in eadem ratione asserensis ergo ivier arctim deacevisu dra ψι- et arcum ascensu Maequeiae deac tum iri varus arctibus
ab eodem empore deseriptis, sum in datari r
183. χοροι I. Disserentiae reuum respectuar um descensu descriptorem eamdem sequum tur Nem quam resisterulae sequuntur respectu velocitatum. Nam rem tempora quibus corre Pondantes et proportionales Meuum partes ineri-huntur in aequalia, velocitates erim semper utilis arcuum partes, sive ut arcus toti, I 8ο. quam proin ergo resistentiae, retardationes et differentia arcuum eamdem legem sequuntura spectu arcuuis ac respectu vel intum. Cor. 2. Si eorpora pendia a erantes n-ιίωι materiae, disserentia arcuum sunt direcia misy data arcuum et inveria, quantitates materiae nain eo in casu retardationes in singulis arcuum partibus sunt direcia ut resistentiae et invere ut quantitates materiae; nam resistentia motus iacturam produest, quae motus iaciuta est
Letum ex retardatione et inama retardata per Dei. 2. Lib. I. . Ideo a es in longi, - να retitios. tia ovunctim Area illa si maneat longitud
a B amotu vel diminuitur inrasona resistentia D K4 si vero conatana maneat resistantia Ebordinatam , sed augeatur ara omnesquo qua partes di in ration totiua a B augeantur, area illa ametur vel diminuitur in ratione longitudinis a B unde a longitudo a B variabilis
ait et resistantia seu ordinata D K in singulis longitudinum a B Iocis eorrespondentibus a