장음표시 사용
71쪽
DE ARirum a rea LIB. α arquatio quaesita. Exemplum,cubus 8c so,aequatur 6 rebus, dc alte. ra aequationum est e,,pro habenda reliqua duc 3 , dimidium prioris aestimationis in se,fit 9,hunc triplica fit Στ,abiice a ex 46, relinquis tur 39,ab huius radice ab )ce 3,dimidium primae aestimationis,habeo his secundam aestimationem,tu 39 m: 3,& eadem ratione cum hac inuenires primam aestimationem,scilicet cum iv 3 9 m: 3, eodem modo
ipsum Gin cubo aequali quadratis 5c numero. Cap. XIIII.
Vod si cubus,aequalis sit quadratis & numero, conuertestur capitulum in cubum aequalem rebus 8c numero,primo conuersionis modo,qui est 1 toto ad partem,nam secuta.dus est a parte ad totum,tertius a differentia partiu,quar
Sit igitur cubus A B, in capituli ra figura, aequalis 6 quadratis
A c,& i oo, cum quadratum A c,constet ex quadrato A B,de gnomo ite eum circim lante,erit cubus A c aequalis quadratis 5 A a , 8c gnomonibus 5 5c 3 oo,gnomo autem constat quadrato B c , 8c duplo AB, in B c, igitur cubus A c constat 6 quadratis AB & 6 quadratis B c Sc sproductis A B,in B c bis,& r oo,at ex A B in B c bis, fiunt ψ res, quia A E est res,& B c, 2,& 6 quadrata B c,sunt triplum cubi B c , quia B cest tertia pars 6,igitur cubus A c, aequalis est 6 quadratis A B, & rq retius,& triplo cubi Bc,8c roo,at constat,quod χψ numerus rerum, conat ex 6 numero quadratorum,in q,qui est duplum tertiae partis eiusdem numeri. At ex alia parte costat etiam, cubus A e,cubis A B & B c, S triplo A B in quadratu B c,8c triplo B c in quadratu A B,hoc namVin primo supponto ις capituli ostensum est,igitur cubus A c, aequalis est eu bis A B Sc 3 c Sc 6 quadratis Sc ra rebus,igitur cubus A B,& cuotius B c,& 6 quadrati,& rares,aequantur 6 quadratis & rq rebus,&triplo cubi B c & roo,constat autem,quod numerus quadratoru m net idem,quia est triplus ad B c,& B c filii tertia pars numeri quadra. torum,& numerus rerum est ex numero quadratorum in suam paratem tertiam,hoc enim aequale est semper,mplo quadrati tertiae paratis,abietis igitur comuniter cubo B csemel,& 6 quadratis, & ra re hus scilicet tot rebus,quot fiunt ex numero quadratorum in suam tertiam partem ,relinquetur cubus A B,aequalis 3 oo,& ia rebus, Sc diis plo cubi B c,manifestum est autem,quod numerus roo,manet idem,
72쪽
HIERONYΜr CARDANt8c quod numerus rerum fit ex numero quadratorum in tertiam sui partem,& quod duplum cubi B c,est is, quia B cin a,igitur cubus
A n aequalis est 3 a rebus,& 336 numero,ideo ex Prscedenti capitulo, inuenta A B,addemus et B c,tertiam partem numeri quadratorum, &conflabitur A c,&quia in qu endo Α B,reducimus tertiam parte ii meri rerum ad cubum,&haec tertia pars numeri rerum,est quadratu tertiae partis numeri quadratorum, ideo ex ultima contra mone sit haec regula.
Adde cubum tertiae partis numeri quadratorum,dimidio nume/ri aequationis,& totum quod inde fit,in se ducito, a quadrato abiicecubum quadrati tertiae partis numeri quadratorum, residui radicem
adde & minue dimidio aggregati,quod in se duxeras, habebis Einomium & Amtomen, ius Ri cubicam iunge,& eis adde tertiam pars rem numeri quadratorum,& totum quod conflatur,est rei ςstimatio. . Exemplum,ctibus aequatur 6 quadratis pc ao,adde S, cubum 2, teratiae parcis 6,ad ro,dimidium zo,fit 38,ab huius quadrato 3 et , rhce 6 cubum quadrati a,relinquitur 26o,cuius radicem adde & mi nue a i8,habebis 38 p:m 26o,oc. 18 m: Rr a Fo,horum N cubicae iun istae,addita tertia parte numeri quadratorum,constituunt rem.
De cubo 5c quadratis aequalibus numero. Cap. XV.
ος rapitulum conuertitur secundo modo,disserentia aute
est,quod primus modus ostendit addendam tertiam Paratem numeri quadratorum,& secundus minuendam, sit igitur,in figura ιχ capituli,cubus A B cum 6 quadratis A B, aequalis 3 oo,& ponatur B c tertia pars numeri quadratorum, & compleatur cubus A c,erit igitur cubus Α c aequalis cubo ΑΒ,&6 quadratis,& 12 rebus,& cubo B c,ex primo supposito 6' capituli,loco igitur cubi AE &6 quadratorum ponatur a oo,nam illa erant aequalia I oo, igitur cubus A c,aequalis erit ra rebus,& cubo B c,& a oo, at a a res ex A B desciunt a ra rebus ex A c in I a B at illud ia,ut ostensuiri est in praecedenti,fit ex triplo quadrati B c igitur ra B c,in triplum cubiv c,igitur cubus A c & triplum cubi B c aequantur ra rebus, & cubo B c,& 3 oo,abieeto igitur cubo B c communi semel, t cubus A B cuduplo cubi B c,aequalis 3 a rebus,& roo, duplum autem cubi B C est ις,& numerus rerum est triplum quadrati B c, tertiae partis numeri
73쪽
quadratorum,& ideo inuenta aestimatione A c,abriciemus v c tertiam Partem numeri quadratorum,& relinquetur A a cognita, secundum hoc erit regula.
Duc tertiam partem numeri quadratorum,ad cubum, & duplica
illum cubu,& disterentiam numero aeqtionis ab eo sume,inde tripliaca quadratum tertiae partis numeri quadratorum,& habebis res,quae aequantur cubo & numero,si duplum cubi fuit maius numero aequa. tionis,uel res cum numero,aequales cubo, si duplum cubi minus sit numero aequationis,uel res aequales cubo, ubi differentia numeros rum nulla sit,inde inuenta aequatione,minue ab ea tertiam partem numeri quadratorum residuum est rei estimatio. Exemplum. Cubus& 6 quadrata aequantur roo, duc a ad cubum sit 8,duplica fit 3 o,abrice ex roo habebis cubum, aequalem 8ψ p: Ia rebus, sunt aute ιχ res, triplum quadrati 2,tertiae partis6numeri quadratorum, res igitur est, ex capitulo ra. Rrvet cubica Aa prin oo p:R: U: cubica q2 m: iur Oo,as hoc abiice 2,tertia partem 5 erit rei aestimatio quaesita, quando cubus & F quadrata aequantur roo , haec,R V: cubica ψa P: Rr a Too P mv: cubica 42 m in 1 oo m: a. Rursus, sit cubus & 6 quadrata, aequalia as,& abisscio is duplum cubi tertiae partis e , ex 2ς, fient s. 8c rares it prius,aequales cubo,res igitur ualet Rr svp: a δε ab ace Σrelinquitur aestimario quaesita,Rr s .m: et . Rursus,cubus& 6 quadra ta aequantur 36,abissce duplum cubi 2,scilicet 36,ex 36 numero relinquitur nihil,deinde sume triplum quadrati & eiusdem tertis partis numeri quadratorum,& est 32,numerus rerum,aequalium cubo,quare quadratum aequatur la,quare res est Rr 3 a,abiice 2 tertiam partem 5 relinquitur rei aestimatio,W aa m: a. Rursus,cubus 8c 5 quadrata, aeo
plum cuborum est maius numero aequationis,& numerus rerum est, ra,ut prius, habebimus cubup:o,aequalem larebus , ideo res ualet
3,uel in s im: r l,ab'lce et, erit aestimatio cubi & 6 quadratorum 3, uel ut ς 4m: hoc est in re m: quia 3 -m maius est quam im ς ,&ε quadrata sunt 1 os m: Rr o ac, r,cubus uero est Rr 'ae a m 98, si igis tur iungantur cubus & 6 quadrata, fient 7 praecise,ut patet. Ex hoc est manifestum,cur capitulum, cubi & numeri aequalium Coi
quadratis,non demonstratur ex capitulo cubi & quadratorum aequaulium numero. Quemadmodum capitulum cubi & numeri, aequalium rebus,demonstratum est ex capitulo cubi aequalis rebus & numero.
Nam cum capitulum hoc perueniat aliquando ad capitulum cubi ScI a numeri
74쪽
Ex Hill RONYMI CARDANI numeri aequalium rebus,melius est igitur ducere capitulum cubi&numeri aequalium quadratis,immediate ad capitulum cubi & numeri in qualium rebus,quam ad idem capitulum,medio capituli cubi & qua dratorum aequalium numero,nam &operatio longior.& demonstrotio magis confusa euaderet.
Demonstratio alia Ludovici, similis nostrae uniuersali, capitulidi',& suit inueta haec a Ludovico de Ferrarris. Sit cubus A c & 6 qua drata, gratia exempli,c D aequalia 1 oo,quia imistur a D,est altitudo 6 quadratorum, erit B D 6, posita igitur A D quadrato aliquo, erit A B qua dratum m 6,A c igitur superficies est a qdqMP: 3 6,m: 32 quadratis, N haec est basis corporis A E,quare corpus A E est 3 id p:Horatism: 12 qaqdratis,& hoc est aequale ε oo, igitur
Io,radix oo,aequatur I cub. 6 corradici a cae
drati p: 3 6 qdratis,m: a et qdqdratis, aestim tio igitur rei est cognita,qua in se ducta,quia A D posita est a quadra/tum diabebitur Α ma qua detracta B D , quae fuit 6, relinquetur A p, quaesitares. REGULA. Regula igitur est, pone numerum quadratorum,numerum rerum, quae cum Rr numeri propositi aequantur cubo,& inuenta aestimatione in se ducito, a qua abrice productione numerum quadratorum seu rerum,residuum est rei aestimatio. Exemplum, cubus & F quadrata a Mentur Ao,dices igitur,cubus aequatur 6 rebus & in εο, aestimatio rei,est ex suo capitulo,ru V: cubica in t o p:N 2 pzm V: cubica m 3 o mzm 2, hanc in se ducito producetur in v cubica 32 p:nt 8o p:N V: cubis in ram: Ri 8o P:4, abi j 6 numerum rerum, relinquetur aestimatio quaesita,Nu: cubica rap: in Sop:mv:cub. 32 m: N8om: 2. Idem inuenies ex prima regula operaticis,Probatio est,ut in exemplo, bus 8c quadrata 3 ,aequentur 23 ,aestimatio ex his regulis est, in W: cubica
75쪽
' in capitulum per se patet, ex demonstratione τ' capituli,
regula est,duc Rr cubicam numeri,in numerum quadrato rum,producetur numerus rerum aequaliu cubo, & eidem numero,inuentis autem aestimationibus, duc in cubicam
numeri in se, & producitum diuide per quamlibet aestimationem in uenta,exibit aestimatio quaesita utra . Exemplum, I cubus pro ,a quetur r8 quadratis,duc 38 in ψ Rr cubicam o fit Ia,numerus reruaequalium cubo p: ι , huius aestimationes sunt ex capitulo suo, 8 & nt24 m: ,cum quibus diuide 36,quadratum 4,N cubicae 6 exit 2, dc my6m S,& hae sunt aestimationes. DE NONsTRATI . Et sit una aestimationum habita Ie a,uolo habere reliquam, facio quadratum A B,quod sit A c,& detraho A B ex numero quadratorum di relinquatur A D,& ducatur A D,in aggregatu ex A B,& quarta parete AD,& superficiei prodii De sumatur latus quod in eam potest,& ei addatur dimidium A D,& fiat E p , quam dico esse secundam aestimatio nem,fiat quadratum E F,& sumatur Ε G,quae cu B p iuncta, aeqlis sit aggregato A B & A D. Quia igitur E F quadratum, aequale est produeto ex tetragonali in se,& dimidio A D in se, & prodi isto tetragonesis in A D ex ψ' a' elementorum,erit quadratum E F, aequale producto A D in aggreogatum ex A B,8c dimidio A D , & tetragonali ex io' es elementorum, igitur E E media inter A DR aggregatum A B & tetragonalis & dimidio AD, dimidium autem AD&. tetragonalis conssii mi E.'F,ex supposito, E p igitur proportionalis est, iter A D & ag
76쪽
quale est ei quod fit ex E E & E G,in aggregatu ABNE p,quia ex suae
polito E F,& E G, uantur Α Β,& AD&ABREF manent ide, quod autem fit ex AD in AB&E F,ex probatis, aequale est quadrato E F,igitur quod si ex A B in Α Β & E F,cum quadrato A p,aequale est ei quod fit ex E p R E GH E F & Α B, abiecto igitur communi quadrato E F, erit quod fit ex A B in ag egatum AB&E r,aequale producto A B &B F in E G,cum eo quod hi ex E F in Α B,detracto igitur communi iterum producto,A B in E F,relinquetur quadratum A B,aequale Prodii cto ex A B & E F in E G,quare Α Β media inter E G& aggregatum A BR E F,suerat uero,ut dictum est,E F media, inter A D & aggregatum ABNE p,sunt igitur tres quantitates proportionales,in duobus ordinibus,quarum prima in utrow ordine eadem est, A B & E puidelicet aggregatum A B R E F , igitur ex δέ AB E pnostri super Euclide, E G ad A D,ut AB ad E F d, BG AD plicata,quare ex o' elementorum, E G ad A D, ut A c ad quadratu B p,igitur ex Jς ι ' elementorum,corpus quod ex A D in A c, a qua Ie est corpori ex E G in quadratum E F,sed A B fuit inimatio rei igitur corpus quod ex A D in A c aequale est numero aequationis posito avgregato A D& Α Β numero quadratorum,per demonstrationem ha bitam in capitulo 8',igitur productum ex E G in quadratum E F , ea aequale numero squationis,ciim igitur E F & E G, sint aequales nume in quadratorum,quia aggregato AB&AD, Rex G E in quadratum E F,fiat numerus equationis,erit per 3' capitulum, E 3 rei aestimatio, quod erat probandum. R E GULA.
Regula igitur est,minue primam aestimationem a numero qua dratorum,& residuum duc in aggregatum ex prima aestimatione, &quarta parte eiusdem residui,& producti accipe radicem,cui adde dismidium eiusdem residui,aggregatum est aestimatio rei quaesita. Eraemplum,sit cubus cum aq aequalis 3 quadratis, & aestimatio cognita a,abricio 2 ex 8,numero quadratorum relinquitur 6,hoc duc in squod constat ex a ,prima aestimatione,& quarta parte ε residui,fitar ,cuius radici adde dimidium primae aestimationis,quod est 3,fit mas p: i ,aestimario quaesita.
De cubo, quadratis & positionibus aequalibus numero. Cap. XVII.
77쪽
' It gratia exempli cubus A B,& quadrata,& ro positiones
aequalia 3 oo,& addam B c ad A B,quae fit 2,tertia pars numeri quadratorum,& describitur cubus uniuersalis Ac, se cundum quod componitur ex suis odio partibus, erit igis tur cubus AB, FD superficies cum sua stitudine, & cubus B c 8, quia B c in a,& A D corpora, 6 quadratis AB, aequalia , 8c corpora des a A B seu duodecuplo A B ex sexto capitulo huius libri, quia igitur cubus AB&6 quadrata &ao positiones, aequantur roo, addam tur 8 positiones, quae sunt reliquum V .ao Positiones, cubo Ac,
qui iam equebatur cubo A B,& 6 quadratis,&r a positionibus,& cubo B c, erit cubus A c cum 8 positionibus, o silis ros, nam cubus Ac excedit tria
est8,at quia 8 positiones An deficiut A e , 8 positionibus A c cubi maioris,in 8 n c seu o stuplo B c,quae est 2,ad demus igitur oerii plum B c utriq3 Parci,& fiet cubus p: 8 rebus,cqualis sa nota igitur ex capitulo suo A c,auseremus B c, relinquit A B. Sit rursus cubus A B,& s quadrata Sc ra res,aequalia roo,i gitur addito coomuni cubo B c,erit cubus Α c squalis 1 o 8,& A c Ri cubita r os,& A aa m: quam A c cognita,sit denuo cubus 8c 6 quadrata An 8ca positiones aequalia x oo,additis igitur x o positionibus residuis,ad complena dum corpora D E,8c addito cubo B c,fiet cubus A c aequalis 3 o posistionibus superadditis ,& 3 o 8,sed 3 o positiones A B deficiunt a i o positionibus Α c in i o B c,addemus igitur 3 o B c utri parti, fiet cubus A cp:zo,aequalis r o positionibus P: o8,abrice 2o m utraq; parte, relinquetur cubus A c aequalis 1 o Positionibus P:88,inuenta A c ,mia me B c& relinquetur Α Β necessario cognita.
Regula igitur communis est,duc 3'' partem numeri quadrat rum quam hoc signo, T d: demonstramus ) ad cubum, adde
numero inde duc numerum quadratorum in sui tertiam partem , 8c produm disserentia a numero rerum,est numerus rerum addendam cubo,ubi productum fuerit minus numero rerum propositarum uel addendarum numero,ubi productum fuerit maius numero rem prospositarum.Si igitur disserentia est nulla, producti Sc numeri rerum erit
78쪽
Hill RONYΜI CARDANI erit cubus aequalis numero iam coaceruato,inde sumpta radice Obbra numeri, minue ex ea Tmd:& residuum est rei aestimatio,quod si positiones Sc cubus, aequentur numero, duces numerum positionum in τp d:& produetum addes numero iam aggregato,& habebis ei v. Sc res iam inuentas,aequales numero iam aggregato,inde ab aequatione minue τphd: ,& residuum est aestimatioQuod si productum fuerit
maius numero rerum,duc disserentiam,qitae est numerus rerum, in
τpqd:& productiam minue ex numero,que habebas, gregato,& si nihil superest,habebis cubu,sqlem rebus iam Propositis tantu, quare deducendo ad minorem denominationem habebis qd' aequale numero,& res erit Rr quadrata numeri rerum, a qua minue τpqd: Sc restaduum erit aestimatio rei. Quod si in detractione producti ex numero rerum in Tpqd: a numero aggregato,supersit, numerus ille cum re bus iam propositis,aequatur cubo,inde ab aestimatione minue τpqd:& residuum est estimatio quaesita. Sed si producium numeri rerum in τp id maius esset numero iam aggregato,disteretia est numerus, qui cum cubo aequatur rebus iam propositis, inde habita aestimatione minue Tpqd:&residuum est aestimatio rei. Ex hoc patet,quod tale capitulum resoluitur in quin y capitula, cubus &res squales numcm.
cubus aequalis num m. cubus aequalis rebus.
cubus aeqlis rcbus 8c numero cubus & numerus aeqles reis quae sunt haec in margine posita, Scnon possiunt resolui in plura, in alis quibus aulcm sequentium resolustio fit in tria postrema tantum, in omnibus autem capitulis quatuor
denominationum,comune est, cum
fuerint resoluta in capitulum trium uel duarum denominationum,ut xstimationi inuenis addatur aut minuatur τpqd: ut in hoc capitulo semper minuitur,& commune est etiam omni capitulo, ut rerum nusmerus Sc numerus ipse constituantur eodem modo, uelut hic num rus rerum, est disserentia numeri rerum assumptarum in capitulo quatuor denominationum,& producti ex numero quadratorii in sui ter. tiam partem,& numerus capituli in quod resoluitur, est disserentia producti ex numero rerum iam inuentarit,in Tmd: dc aggregati excubo Tpqd:& numero aequationis primo.
Exemplum. Est corpus quadratum undequam,quod ciim super sciebus 8c lateribus est aa,dices igitur,ciibus Ac 6 quadrata & ia rex
aequantur 22,cuba igitur 2,tertiam partem numeri quadratorum, fit
1,adde ad ra sit 3o, deinde duc 5 numerum quadratoru in a sui par,
79쪽
Exemplum secundi. Inuenias quatitor numeros continue proportionales, quorum primus sit 3,&rcliqui tres sint ν', pone a' a rem, erit tertiusv iurati,&quartus erit cubi, igitur 3 positio et qdrati, cubi,aequantur ro, duc ad integra habebis cubum 8c 3 quadrata Scst res,squalia 37ν , in omnia ducuntur per o,adde igitur cubum tertiae partis numeri quadratorum ad ντι ,& est ι, fit i a, deinde due 3 numerum quadratorum in sui tertiam partem fit*, huius producti,&s numeri rerum,differentia est 6,numerus rerum, quaecum cubo aes
ex qua habebis reliquas. Exemplum tertii modi. Cubus Sc s quadrata Sc 3 positio,aequantur νψ, adde cubum 2 Tmd qui estit,ad sq,fit aa, deinde duc 5 nuis merum quadratorum in a tertiam sui partem, fit Ia,ditirentia cuius
i numero rerum est ιν ,numerus rerum squalium cubo cum numero, quia numerus prodiretus 32 fuit maior numero rerum,duc igitur rain a tertiam partem numeri quadratorum,fit 22,disserentia cuius Scnumeri prioris aggregati est nulla,quare habebimus cubum equalem ii rebus,igitur quadratum aequatur I r,res igitur est Rr ri, a qua minue a Tpqd fit rei aestimatio Rr ii m: a ,sumpsisti autem disterentiam in numero Zc non aggregasti,qu ia res squabantur cubo,& non cubus
cum rebus aequabantur numero,ut in praecedente exemplo. Q V AE S T I o m.
Exemplum quarti modi. Ex oraculo iubet princeps fieri sacram aedem cuius spacium sit Mo cubitorum, Sc longitudo latitudine maior fit 6 cubitis latitudo altitudine 3 cubitis maior, quaeritur quan titas. Pone Altitudine rem, titudo erit 3 pr&Longitudo o p: ducia inuicem
80쪽
Hi ERONYMi CARDANI inuicem habebis i cub. p: 3 a quadratis p: a positionibus, aequalia oo,adde ad Mo,cubum 4 rmd: qui est σε fit lis duc ia numeruAltitudo Latitudo sLongitudo a
quadratorum in tertiam tui Partem,
fit V, cuius disterentia a 2 , est 21,
numer rerum, quae aequantur ora cum numero, quare duc a I uaq
tem,fit 3r,disserentia a 2,numero rerum est o,numerus rerum, duc in a Tp id: fit Σo,cuius disserentia ab li ,est' numerus, qui cum cusbo aequatur 3 o rebus,quia Prodiustum Σ' maius est numero aggreo avo, ioco autem producitum secundum, quod fit ex numero rerum
inuento,in qd: aestimatio igitur rei quando cubus & y aequalia sint i o rebus est 3, uel re 9 4 m: l, a ce igitur a V id: fient duae imationes quaesitae,altera m 9 m: a Palia m: 3. De cubo,& rebus aequalibus quadratis & nu
Itin eadem figura, cubus A c cum Ac, aequalis squa dratis Ac p:ι oo, gratia exempli diuidatur cubus Ac, posita a c τpqd: scilicet a,in suas partes,erit cubus A c, ae j qualis cubo A B, bo B c,sex quadratis A B,& 3 2 positionibus A B at 3 3 A c,sunt 3 3 A B,& 3 3 B c,quae sunt 66,oseia B c est et,igitur cubus A c,& 3 3 A c,aequantur cubo A B , cubo B c , sex quadratis A n & ς A B positionibus,& 66,haec eadem igitur aeqlia sunt o quadratis A c,& 3 oo,at 6 quadrata A c,diuisa A c in B, per ψ' χ' elemen torum, aequalia sunt 6 quadratis A B,& 6 quadratis a c,& a a superfira ciebus s