장음표시 사용
101쪽
radicem cubicam est invenire quantItatem α', quae bis per se ipsam multiplicata dat cubum a6. Hinc quadratum, cubus, aliaeque alti res potentiae, sicuti multiplicatione nascunt tir, ita divisone dissuuntur, suasque in radices resolvuntur. 82. PROBLEMA XX. E data potentia monomia radicem quamcimque extrahere. i . REsoLUT. Exponens datae potentiae dividatur per exponentem datae radicis; quotus. qui enascetur, erit ENponens radicis quaesitae. e. g. Si eX asi extrahenda sit radix quadrata; quoniam exponens radicis quadratae
est M a 6 ) , dividatur exponens 6 pgr a. & quotus 3 erit exponens radicis quaesitae, hoc est, radix quaesita eryt a 3. Si ex as b* radix quadrata extrahenda sit, dividantur exponentes per a. & crit radix quaesita ma* b. Radix eubita quantitatis asi exponentem per Adividendo) est j a . Radix eubi ea quantitatis a b 3τα a* b. & sie porro. Scilicet. quemadmodum data
Tadix monomia ad datam potentiam elevatur multiplia . cando ejus eX ponentem per eNponentem datae potentiae Tain, ita ex adverso, ut OA data potentia monomia eX-
trahatur radix dati exponentis, exponens potentiae per exponentem radicis dividatur, est necesso Ri . Et sane radi N hac methodo inventa, si per se ipsam multiplicetur nempe quadrata semel, cubita bis &c.). semper restituit datam potentiam: ac proinde radix hac methodo inventa, genuina radiX sit, oportet,
83. THEOREMA IX. Quodlibet quadratum radicishinomice constat I quadrato termini primi radicis fucri a j duplo ejusdem termina primi per terminum secundum multiplicato, 3 quadrato termiui secundi.
DEΜoNsΤR. Quaevis radix binomia repraesentari potest . vel per a -- θ, Vel per a ,- b: consequenter radices has elevando ad quadrata) quodlibet quadratum radicis binomiae rite repraesentatur, Vel per a Iab -- b , vel per a -- aab - ιδ . Atqui considerantipatet. utrumque istud quadratum constare I) quadrato
termini primi radicis suae, et) duplo ejusdem termini primi per terminum secundum multiplicato, 3 qua
102쪽
drato termini secundi; ergo quodlibet quadratum radi-
eis binomiae &c. 84. COROLL. Quaecunque polynomia radix quadrata ad hi nomiam reduci potest. la plures ejus notae instar unius termini eoia siderentur. Igitur cujusvis quadrati quamcunque polynomiam radicem habentis partes per alterni am formularum nunc allatarum eXLiberi possunt. e. c. Assumamus quadratum numeri- eum, cujus radix trihus notis numericis constans est m I32. Quoniam est 13a m 13Ο -- a; si ponatu 13o a. & - - b, erit radix it Ia m a -- br ac proinde quadratum ipsum rite repraesentabitur per a- - - aab -H
-, 8s. PROBLEMA XXI; E data potentia algebraica
pol omia radicem quadratam extrahere. REso I. UT. Ordinetur data potentia secundum, exponentes cujusdam literae, ita ut maximus exponetis
primo loco sit; tum prae oculis tit generalis quadrato rum lex ni 88. demon st rata, quod nempe quodlibet quadratum radicis binomiae constri quatirato termini primi, duplo termini primi petitorminum secundum multiplicato , & quadrato turmini seeundi: quam legem haee formula generalis a - aab -- b ob oeruos potita non sinet e memoria esiluem Porro operatio his per
s Imo. Cum in primo dntae. riteque ordinatae potentiae termino lateat quadratum termini primi radicis; extrahatur radix quadrata e primo)termino, ea videt Cet methodo, quam n. Sa. tradidimus, & scribatur pro primo radicis termino post potentiam datam parenthesime lusam. Deinde quadratum hujus radieis subtrahatura data potentia, re1iduum pro ultiore operatione
acto. In residuo hoc larebist adhue duplum facturi termini primi in seeundum ducti, item quadratum secundi. Itaque haec duo porro fant: 13 Per duplum termini pristi jam inventi dividatur aliquis residui illius terminus. & quotus monore ius scribatur pro secundo radicis tormino. a Quotus iste m nltiplicetur tam per se ipsum. ouam per duplum termini primi, seu per divisorem: & faeta haec a dicto reliduo subtrahantur. uuodsi
103쪽
Quodsi post alteram hane subtractionem nihil reman-fetit eri data potentia; id argumento erit, eam fuisse - perfectum quadratum radicis hinomiae, ejus nempe, quae extracta jam est: hactenus enim ex data potentia nihil aliud subtractum est, quam partes quadrati. dictam radicem binomiam habentis . scilicet quadratum
termini primi, duplum factum termini primi in secundum ducti, & quadratum termini secundi. ι EXEMPLUM harum Regularum.
Sit potentia data; Erit ejus radix quadrata.
Seilicet imprimis per reg. Unam, ex quadrato monotvio n* extrahatur radix u, scribaturque pro primo quaelitae radicis termino; tum ejus quadratum u- sub' trahatur a data potentia e manebit residuum m -- 4u-- 4. Deinde juXta reg. adam. hujus residui terminus
4n dividatur per duplum termini jam inventi, seu per
an , & quotus m -- a scribatur pro secundo quaesitae radieta termino. Porro hic quotus seu -- a multipli. tur tam per se ipsum, quam etiam per divisorem an .& factum - - 4n ab eo residuo subtrahatur. Post alteram hane subtractionem nihil remanet amplius a data potentia: unde patet, da is in potentiam esse pers ctum quadratum radicis binomiae n -- a. Et sane si haec radix in se ipsam dueatur, non aliud enascitur quaadratum, quam data illa potentia, ut periclitanti patebitiatio. Quodsi eVeniat, ut post alteram quoque subtractionem aliquod reliduum e data potentia remaneat; id indicio erit, radicem quaesitam tertio quoque termino constare, qui adhuc extrahendus supersit. Quo casu hoc modo procedendum est. Duo Primi quod litae radicis termini per superiores regulas jam inventi, instar unius accipiantur, habeanturque pro 'rimo radicis quaesitae termino, ille autem. qui adhuc latet, pro secundo. Hac facta hypothesi. hactetus non plus subtractum est a data potentia quam quadratum termini primi: adeo de in ejus residuo latet adhue duplum factum termini primi per terminum primum deinceps
104쪽
tornm in seeundum ducti, D quadratum termini seia eundi s8 ). Itaque rursus ut in ara reg. dictum est haec duo si ante x Per duplum termini primi jam in venti dividatur aliquis relidui illius . quod adhuc remansit, terminus , & quotus monomius scribatur pro novo radicis termino. a) Quotus iste multiplicetur tam per se ipsum . quam per duplum termini primi, &facta haec a dicto reu duo subtrahantur. e. R. Sit polentia data, Erit radix quadrata
av-αa - 4ab- - 4b - 4b--T a. I- ab. Nimirum I per reg. Tmam, ex quadrato monomio a extrahatur radix quadrata a, scribaturque pro primo quaesitae radicis termino; tum ejus quadratum a R subtrahatur a d sta potentia: manebit residuum m --aa
a Per reg. adam , hujus residui terminus - dividatur per duplum termini jam inVenti, seu per za,& quotus m -- 1 scribatur pro secundo radicis quaesitaetermino. Porro hic quotus, seu -- I multiplicetur tam per se ipsum, quam etiam per divisorem sa, & factum
-aa -- I subtrahatur a reliduo superius adnota- o. Post hane subtractionem alteram adhuc remanet edata potentia residuum πα- - 4ab - 4b ' - b. Itaque
D Per reg. viam, duo quaesitae radicis termitii has ctenus inventi instar unius accipiantur, & per eorum duplum , seu per za - a dividatur postremum isthoe seuduum. Scilicet quaeratur, quotiesnam primus dia risoris terminus aa contineatur in primo residui diviadendi termino --4ab a8. Reg. Ima . & quotus - - ab scribatur pro novo radicis termino. Porro idem quotus ab multiplicetur tam per se ipsum . quam per in tegrum divisorem eta - 2, & factum m Mb-- 4h - 4bx ab eodem residuo postremo subtrahatur. Post tertiam hane subtractionem nihil amplius remanet e data potentia e ac proinde data potentia est perfectum quadratum, cujus radix est m a - Ι - - ab.
ψto. Si post tertiam quoque subtractionem aliquod residuum maneat e data quapiam potentia; id erit imescio, quartum quoque radicia terminum latere ia
105쪽
potentia. Itaque radi X quatuor ferminorum redue tur. ad duos, ita ut pro primo termino accipiantur tres sim qi terimini iam inventi; cetera autem peragontur utant c., Si post hanc quoque Operationem aliquod adhuc re cidi uni superesset, in ulteriore operatione quatuor primi termini jam insenti pro uno accipiendi essent, re Operatioc'nstanter eadem, quam hucusque secuti sumus. lego deberet contii iunxi, cum vel evadescat Olmiere1Isuum. vel abeatur in seriem quandam infinitam. . sto. Si data potexitia fuerit fractio; per easdem regulas radix tam e numeratore, quem etiam ex den minatore extrahi de bit 68. &8 . t .
EXEMPLA ALIA Extram Radis. Quadrat. '
SchoI. Legitime peractam esse operationem id evi cet, ii radix inventa per se ipsam multiplicata dederit ejus rnodi quadratum, quod cum data putentia prorsus si idein ' . , ἡ Ω6. PROBLEMA XXII. Inuenire, quibus partibusiqnset cubus radicis sjnomia. a RESOLUT. Id elucescest, si a --h ad cubum elevetur. Est autem ejus cubus mi a --3a b- ΘM, uti patctit, it eam radicem bis per se ipsam multiplieam veris. . Itaque cubus radicis binomiae constat x cubo termini primi radicis suae; a triplo saeto quadrati te mini primi in terminum secundum dueti; triplo fameto terris di primi in quadratum secundi duecti; 3b cubo termini secundi. Schol. Lxtractione radicis tubicae ex quantitate polynomia sive algobraica . sive numerica neque in hoc, neque in phy sicis opuscujis nostris utemur uspiam: methodum tamen eam extraetionem peragendi. 1i quis nosse desiderat, in soquentibus adnotatam habet. 8 . PROBLEMA XXlII. Ε data poteutia algebraica polyuonam radicem cubicam extrahere. .
106쪽
REgoLUT. Ordinetur data potentia secundum exponentos cujusdam literae , ita ut maXimus exponens primo loco sit; tum ponatur ob oculos sormula gen ratis a 3 --33ab --b . partes cubi binomiam
radicem habentis repraesentans 86), & hae denique regulae observentur.
Imo. Ex inspectione formulae generalis patet, in primo datae , riteque ordinatae potentiae termino latera cubum termini primi quaesitae radicis: itaque extrahatur radix cubica ex primo datae potentiae termino i
8a , & scribatur post datam potentiam parenthesi inclusam pro primo quaesitae radicis termino. Deinde cubus hujus raditis nunc inventae subtrahatur a data potentia, & residuum pro ulteriore operatione notetur. ado. In hoc residuo latebit inter cetera triplum sactum quadrati termini primi nunc inventi in secundum radicis terminum ducti; quod factum in generali soris mula per 3a b repraesentatur. Itaque si ex termino primo nunc invento fiat quadratum, & per triplum hu-Jus quadrati dividatur primus rite ordinati residui ter minus, pro quoto obveniet seeundus quaesitae radicis terminus , priori post potentiam datam parenthesi inclusam addendus. Porro triplum quadratum termini primi multiplicetur per terminum secundum nunc inventum, deinde triplum quadratum feeundi huius te mini multiplicetur per terminum primum, denique idem terminus secundus elevetur ad cubum, & sacta haec a residuo superius notato subtrahantur. Hoc pacto totus jam radicis binomiae hactenus inventae cubus &nihil aliud) subtractus est a data potentia, uti formulast
generalis contemplatio palam facit. Hi ne si post ait eram hane subtractionem nihil amplius remaneat e data Iolentia ; id argumento erω eam potentiam esse per ectum cubum radicis binomiae, ejus nempe, quae ex tracta jam est.
EXEMPLUM haram Regularum. Sit potentia data Eiit ejus radix cubicα
107쪽
ivximis per reg. 1 nam, primo datae. riteque ordinatae potentim termino 3 si extrahatur radix eubica ax hsa), scribaturque pro primo quaesitae
radie is termino; tum ejus cubus 8asi subiiciliatur a data potentia: manebit residuum m - Iaxq u -- aut
- n 3 . i ... . Duin e juxta reg. adam, hujus residui terminus u dividatur per triplum quadratum primi quae litae radicis termini nunc inventi, seu ser Izx ' , & quotus -n scribatur pro secundo radicis thrmino. Porro hie quotus: multiplicetur per triplum quadratum termini primi. leu per divisorem, Minde triplum quadratum ejusdem quoti, seu termini sed di ducatur in termi-
mim primum, denique idem ter in tauq secundias elevetur ad cubum. & facta naec - 12xΦ n - - 6x n a residuo superius notaro subtrahantur. Mosi altera m hane subtractionem 'iiihil jam remanet e data potentia; evidenti argumento , eam sitim, perfectum eu-bum radicis binomiae ax - n. Et sane, 1i hfie radix bis in se ipsam ducatur, non alitis enascemes cubus , quam data illa potentia, uti periclitanti patebit. Atio. Quodsi eveniat, ut post alteram quoque subtractronem aliquod residuum e data potentia Temaneat* indicio erit, radicem quaesitam tertio quoque termino constare. Quo casu hoc modo procedendum porro est. Duo primi quaesitae radicis termini. per superiores regulas laesiuitenti, instar unius accipiantur, habeanturque pro primo quaesitae radicis terminor ille autem, qui adhuc latet pro laeundo. Hoc stante hactenus non plus subtractum est a data potentia, quam subus te mini' primit adeoque in ejus residuo latet adhuc trDilum quadratum termini primi per terminum primum einceps intelligendo sinomam duorum terminorum jam inventorum) in seeundum ducti, triplam quadratum termini secundi adhue latentis multiplieatum per terminum primum, & cubus ejusdem termini secundi. Itaque rur ut in rem etsi diei in haec duo fiante Imprimis ex termino primo seu ox summa duorum eminorum iam inventorum fiat quadratum, & pertriplum hujus quadrati dividatur sequens rotaut rite ordinati terminus 3 tum Quotus enascans seribatur pro
108쪽
novo radicis termino. Deinde triplum quadratum te mini primi, seu divisor ducatur in terminum secundum nunc inventum, triplum autem quadratum termini seeundi ducatur in terminum primum, denique ter minus secundus elevetur ad cubum; tum laeta haec a residuo illo , quod post alteram subtractionem remansit, subtrahantur. 4to. Si post tertiam quoque subtractionem aliquod residuum e data potentia manserit, id erit indicio. quartum quoque radicis terminum latere in data potentia. Itaque radix quatuor terminorum reducatur ad duos. ita ut pro primo termino accipiantur tres simul termini jam inventi; cetera autem peragantur, ut ante. sto. Si data potentia fuerit fractio ; per easdem reingulas radix cubica tam e numeratore . quam etiam . idenominatore extrahenda erit c68, & 8i . SthoL Consideranti facile patet, methodiam extrahendi radicem cubicam cωngruere eum methodo ex trahendi radicem quadratam; hoc uno discrimine, quod in extractione radicis quadratae formula a - ab H h doceat, quorum divisorum OPE inveniendi sint termini radicis, & quae subtractio instituenda sit invento quovis termino radicis , in cubicae autem radicis extractione formula -- 3a b gab -- b 3 praeluceat,
Extractione Radicum e numeris.
Deo extrahenda radice quadrata, vel eubiea E m meris simplicibus in promptu Esse debet tabula. sequenacin qua series prima est radicum , altera quaeratorum iis respondeutiuin, tertia Varo stubiarum.
109쪽
m. Si η quadrato numerico, cujus radix enatas , aut pluribus notis numericis constet, radix extrahenda sit; reapse eaedem regulae, quae in extractione ra- dieis quadratae polynomiae e potentiis algebraicis 84 , observandae sunt. & eadpm sormula generalis a aab --- b , quadrati partes exhibans prae oculis habenda est, qua illic usi sumus t hoc tamen discrimine, quod partes quadrati, quas generalis illa sormula exh1bet. non aeque incurrant in oculos in quadratis numericis, .ae in algebrateis, sed in iis veluti confusae. & permixtae Iateant. Itaque praeter regulas n. 35 allatas aliis adhue regulis opus est in extractione radicia quadratae numericae, in quibus statuendis sequentes animadve sones taeem nobis praeferent. m. Animadverso Ima. Imprimis, si datum quadratum numericum unica, Vel duabus tantum' notis numericis constet; eius radix nonnisi unita nota constabit, quae proinde in Tabula n. 88 allata quaeri debebit e nam minima radix quadrata, quae duabus notis eonstet, esse potest numerus Io; hujus autem quadratum m Ioo jam trium notarum est. Deinde, si datum quadratum tres, Vel quatuor notas complectatur; ejus radix est duarum notarum. Nam maxima duarum
110쪽
notarum radix est 99 . cujus quadratum m 0rax ultra
quatuor notas non assurgit: & minima trium notarum radix Loo gaudet quadrato IOOoo, jam ad quinqua notas assurgenta. Denique, si datum quadratum quinque, vel sex notarum sit; ejus radix tribus notis constat. Nam maxima trium notarum radix est M'. cujus quadratum m 998oox ultra sex notas non assurgit; γ & minima quatuor notarum radix I o habet quadra tum M IC ooo, iam ad septem notas assurgens. Eadem methodo ostendi potest, radicem quadrati septem, vel octo notas eompleetentis constare quatuor notis pradicem quadrati novem, vel decem notas complecten iis esse quinque notarum, & sic porro.
9I. COROLL. Quodsi ergo a dextris inchoando post binas quasque dati quadrati numerici notas inseratur Virgula, seu comma ; ejus radix tot notarum erit, quot fuerint in quadrato hujusmodi membra virgulis distincta. e. g. Radix quadrati I, 7 4, 24 tribus notis
. Animadverso ada. Assumamus quodcunque - quadratum nuniericum, in sua membra virgulis ea te Re, quam nunc s*I) descripsimus, interjectis distributum, e. g. hoc: S. 47, 56, cujus radix quadrata est
M . x Sinistimus radicis terminus a, quoniam locum centenariorum occupat, est re ipsa oo padeoque eius quadratum 4, est reapse m 2 A IOo
4 m. Unde patet, quadratum illud latere in sinistimo dati quadrati membro, quod membrum sinistimus numerus S constituit. Eodem modo deprehenditur in quoeunque alio quadrato numerico. quadratum sinistis' mi termini radieis in sinistimo quadrati membro conci- eri. a Seeundus ejusdem radicis sempera sinistris sumendo initium terminus 3, decadum locum oecupat, adeoque est re ipsa m go. Hinc, quum duplum termini primi in secundum dueendo aequiris factum m xa, reapse factum istud est m 4ω Μ 3o m Iamor consequenter factnm istud mi a terminatur in seeundo a sinistris membro quadrati, & quidem in sinisteriore ejus membri notae quippe terminatur in quarta a dextris nota, quae in assumpto quadrato η, 47, 56 est sinisterior secundi a sinistris membri. Lodem modo dein '' . G S prο-