장음표시 사용
131쪽
II. Proponatur istud problema. quidam parens ga, ι nnis senior efflio sis. quod aetati Parentis addas ιjusdem caetatis dimidrum, se praeterea A partem retatis 1 Iii; pro summa totali obvenient Io anni. Θαν Itur , quot amorum si parens, quot annorum flius. Quantitates, quae hoc in problemnte denominandae occurrunt, sunt: 3O, M. aetas parentis, aetas filii. dimidia pars de aetate parentis , ω ἱ pars de aetate filii. Anni 3o, quoniam sunt disserentia aetatum, ponantur esse α; 8o m a. , AElas parentis sit x: quo posito aetas fili erit m x --d, icilicet per illud compendii genus, quod superiu in reg. ada descriptimus. Hine dimidia
parentis aet s erit pars aetatis filii erit m
III. Detur problema sequens. Quidam interrogatus, quotuam oviculas kaberet, hoc modo respondit: s adhuc totidem haberem, quot habeo, S propterea A partem earum. item partem, es adhuc unam; tunc essent Ioo. Quaeritur, quotnam oviculas habuerit. Sit roo M a; quae situs ovicularum numerus x. Hujus numeri parax π erit m &ἱ pars Schol. Tria haec problemata probe imprimantur me moriae et ea enim in singulis sequentibus operationibus
Wa. Altera analyseos operatio est dati problematis ad suas aequationes reductio. Scilicet post probe cognitum quaestionis statum, institutasque singularum quantitatum ad problema pertinentium denominationes. Rccurate Videat Analysta. quamnam aequationem in se eontineat quaevis conditio problematis ; tum quamlibet conditionem propria aequatione exprimat, inter quan-
132쪽
Algebrae. ' I 23tltates, quae per conditionem problematis aequales sunt, signum m interponendo. Hoc est . propolitum problema signis algebraicis per unam. vel plures aequatiΟ-nes adaequare exprimat. Quod si aliqua problematis condit quod aliquando evenit non aequali nem. sed aliquam proportionem in se comineat; ejusmodi proportio methodo suo loco tradenda in aequationem transsormetur Schol. 1. Altera haec anal Visos operatio, seu aequationum inventio maximi laboris est. & quasi lapis lydius , in quo egregium ingenii sui speeimen Analysta
dare possit. Immo praeter acre ingenium longiori etiam exercitio opus est, ut facilitas aequaticines in cuibusvis problem iis inveniendi acquiratur. Quare Tirones , cumprimis initio, in statuendis problematum ipsis proposito m aequationibus juvkndi erunt. Lu-heat resumere tria illa problemaeta. quae num. m. propo1ita sunt, & pro iis aequationes detorminare. IN PHonL. Ι. III Filii primi haereditas est re msecundi m x-- b. tertii in I x- - θ, uti eo locci dictum est. Porro ex problematis conditione patet. Omnium trium filiorum haereditates simul sumptas esse Eoo Bois renos. seu esse m a : itaque in hoc problemate est x
IN PROBI . II. m .ssitas parentis est x, hujus dimidium m aetas filii x - d, hujus 4 pars m
Cum ergo per conditionem problematis aetas parentis eum suo dimidio, & simul eum L parte aetatis Glii debeat essicere So annos, seu esse M a; erit in hoc
IN PROBL. III. eit. Ex data conditione facile patet , quaesitum ovicularum numerum x bis sumptum , addita Z sui parte, & ἱ parte, ac praeterea unitate esse
133쪽
Schos. a. Patebit ex sequentibus , non esse plures aequationea ad solvendum problema necessarias , quam sint in eo problemate incognitae quantitates diversis literis expressae: eum ergo in quolibet allatorum trium problematum nonnisi unica litera x designet quantitatem incognitam ; pro singulis eorum unicam aequati nem invenisse fatis est. Schol. 3. Τertiae analyseos operationi praemittenda sunt quaepiam atatomata, & theoremata. 113. AXIOMA II. Si aqualibus quantitatibus eadem quantitas. ves aequales quantitates addantur; jummae
xi . AXIOMA III. Si ab aequalitas ouantitatibus
eadem quantitas, aut inqualas quantitates jubtrahantur; Mesrdua quantitates erunt aequales. E. g. Si sit a--b c - d; erit ab utroque idem e subtrahendo a --b
xis. ΤΗΕΟREMA X. Quivis requationis terminus ex uno membro in alterum transponi potes cwm fgno
contrario, retenta me rarum oequalitate. e. g. Si ut a ---c - d; potest e. q. quantitas d transponi in alterum aequationis membrum, dummodo ejus signum -- in contrarium -- transmutetur, eritque a--h--d - c.
Pariter potest E. g. b transponi in membrum alterum mutato ita contrarium signo ipsius , eritque a -- d c- b. Et sic porro. .. DEM TR. Terminus, quem ex uno aequationis membro in alternm transferre cupis, vel est positivus, veI negativus. Si est positivus ; eum ex uno aequati nis membro in alterum signo mutato transferre tam tundem est, ac positivum illum terminum tam ab uno, quam ab altero aequationis membro subtrahere. Sit enim a -- b- c: sib mutato signo transseras, illud priamo membro, ex quo avssers. utique subtrahia: at idem h subtrahis etiam ex membro altero , in quod mutatosgno illud transfers: addere enim alicui quantitati quantiti, tem --b tantundem utique est, ac ab eadem
subtrahere b. Atqui aequatio non turbatur, si eκ
134쪽
utro PE ejus membro idem subtrahatur II4 e ergo
terminus quivis positivus ex uno aequationis membro in alterum transferri potest mutato signia. quin aequatio, seu mutua membrorum aequalitas turbetur. e. g. Cum sit 6-- 4 α Io, est etiam 6 MIo- . Quod si autemgrminus ex uno aequationis m. mbro in alterum transferendus, negativus fuerit; eum mutato signo trana ferre tantundem est, ac unam eanden que politivam quantitatem addere tam uni. quam alteri aequationis membro. e. g. Sisita ππί-h: utium ex membro dextimo transfers -- b. ritique eidem membro addis h. tollere e uim quantitatem 1 egati a m est aequalem
positivam addere e at etiam membro siniitimo addis ea translatione quantitatem -- h, ut clarum est. Cum ergo non turbetur aequatio, quum idem utrique membro additur s113); etiam quantitas negativa ex uno aequationis membro in alterum transferri potest. quin turbetur aequatio. e. s. Cum sit 6 m To - 4 ; est etiam fi - IO. Totius ergo theorematis veritas manis sta est. II6. COROLL. I. Potest ergo quaecunque aequatio reddi aequalis nihilo; si nempe omnes unius membri termini mutatis signis in alterum transforantur. e. n Si est a -- b m e - d; est a - , -- e -- u m G. Item eum sit Io - 3 a. etet I -- 3 - 5- 2- O. Ii 7. CoRom.. ΙΙ. Si in aequatione quapiam omnium utriusque membri terminornm signa mutentur in contraria, quin ullus terminos transseratur ex uno membro in aliud; mutua membrorum aequalitas non turbatur, dummodo fingulorum omnino terminorum nullo neglecto signa mutentur in contraria. e. g. Cumst 6 - - 4 mxa - 2; est quoque --6-4 m - Xa -- Ω. Periclitanti enim patebit, noe compρndio idem praestari, ac si omnes omnino utriusque membri termini ex una aequationis parte in alteram mutato signo successiave transferremur: quae luccessiva translatio aequalit
tem membrorum utique non turbat xxs). At si vel in uno termino negligatur signi immutatio; jam prior hypothes termino Sie si est a ' θ
135쪽
enim aequationem successiva terminorum ex uno membro in alterum translatione nunquam commutabis in hanc posteriorem, uti periclitanti patebit. 118. COROLL. III. Quivis terminus, qui in utroque aequationis membro, eodem signo affectus reperitur, retenta membrorum aequalitate utrinque deleri . potest. e. g. Cum fit 6 - a D 4 m IO--a; utrinque delendo - - est 6 -- 4 IO. Νam delere utrinques eandem quantitatem positiVam tantundem est, ae ure1nque eandem quantitatem subtrahere: delere autem utrinque eandem quantitatem negativam, idem est, ao utrinque addere aequalem quantitatem positivam.
119. AXIOMA IV. Si ualia per idem, aut presqualia multiplicentur, vel diridantur; etiam facta, vel quoti inter se inquari debent. e. g. Si sit a m θ; erita hetiam sta - 2b, item , m T aedio. ΤΗΚΟREMA XL Si tinus, aut Iures termini
fine in uno duntaxat, sive in utroque requationis membro per eandem aliquam quantitatem divisi Mi; is disiforin eo, vel iis terminis deleri potes. dummodo reliqui omnes utriusque membri termini per eundem diviserem
DEΜoNsTR. Delere alleuius hactionis divisorem tantundem est , ae fractionem illam per suum diviso-
rem multipliearer si enim E. g. stactio T ' debeat per
u multiplicari, factum est m maz Quodsi ergo
alii quoque omnes utriusque membri termini in quibus ea deletio non usurpatur, per fundem divisorem multiplicentur; reapse utrumque aequationis membrum per idem multiplicatur: aequalitas ergo membrorum pror ius non turbatur, 119).
136쪽
Istr. PisoLL. Si ergo omnes utriusque membri termini per eandem quantitatem divisi sint, su i scit commvn m illum divisolem ubique delere. e. g. Si sit
titatem ; hae quantitas, seu eo utens In eo, MDιs ζe minis deleri potes. modo reliqua omnes termini in uir que aequationis membro per eundem coe si e se is uιυμ dantur. e. g.1 Si fit aa - ici; erit a ci- a m s. DRMONsTR. Delere ali. ujus termitii coellicientem tantundem est, ac eum terminum dividero per eundem eoessicientem : si enim e. g. aa dividi debeat per a. quo-aatus est ma Quodsi ergo alii quoque omnes utriusque mambri termini. in quibus ea deletio non
usurpatur, per eundem coefficientem dividantur; reapse utrumque aequationis membrum per idem dividitur raequa itas ergo membrorum prorsus non turbatur IIs . I M. COROLL. Itaque si omnes utriusque membriter tia Mundum habeant coemtientem; eo coessiciente deleto aequalitas membrorum aion turbatur . modo is ubique deleatur. e. g. Si sit aa- ah ae -ad; est
12 . THEOREM A XIII. Potes utrumque aquati
nis membrium retenta aqualitate mutua ad eandrim potentiam elevari; vel ex utroque membro eadem radix ex
trahi. e. g. Si sit a -b; est imprimis qm m ω', est
DEΜoNsTR. Ima partis. Assumamus quascunque duas radices a & b. inter se aequales. Has ad eandem potentiam quamcunque elevare . reapse non aliud est, quam easdem per aequalia semel, aut saepius multiplicare. Sic si radiees illae eleventur ad cubuin; a per a, b per b bis multiplieatur 66 ; est autem ex hypoth. Iaemb. Iam vero si aequalia multiplieentur, iacta qu que intor se aequari debent cx19 : ergo potest utrum qu r
137쪽
Elementaque aequationis membrum retenta aequalitate mutua ad eandem potentiam eis vari. D ΕΜΟΝsΥN. Ida partis. Fieri nequit, ut duae inaequales quantitates eandem habeant potentiam secundam, tertiam &e. Secus enim quantitas minor e g. bis in seipsam ducta prorsus idem factum daret, quod daret quantitas major itidem bis in se ipsam ducta; quod absurdum est.. Itaque si duae ejusdem exponentis potentiae fuerint aequales; etiam radices ipsarum eodem emponente gaudentes aequales sint. est necesse. Noe est, altera quoque Theorematis pars manifesta est.
xas. Tertia Analyseos operatio est requationis ad unum terminum incoguitum, F DIitarium reductio. Νimirum inventa per adam analyhos operationem aequatione, in id incumbere debet Analysta, ut retenta semper membrorum aequalitata ita pedetentim transformet aequationem, ut unum aequationis membrum sola quantitas incognita constituat. in altero autem membroc merae quantitates notae nullis incognitis permixtae habeantur. e. g. Si per ad am operationem c ira haee obtenta est aequatior x - b c; Ea per regulas sequentes transformanda est in hanc: e --b, ut unum aequationis membrum sola incognita quantitas x constituat, in altero autem membro sint merae cognitae quantitates c&b. . Hoc enim pacto jam innotescit valor incognitae illius quantitatis , ae proinde problema propositum solVitur. Sic si in inumpta aequatione sit it m 8, b m 3; est xm 8 -
gibus est peragenda. amo. Si in aliquo, vel utroque
aequationis membro occurrant fractiones; eae ante Ο- σnia tollantur, ita tamen, ut membrorum aequalitas non
turbetur: & quidem, si plures diversae fractiones o eurrerint, iuvabit confusionis vitandae gratia tollere unam post alteram. Tollitur autem fractio, quin tur-hetur membrorum aequalitas. si ejus denominator dein, leatur, & per eundem denominatorem reliqui omnes utriusque membri termini multiplieentur Iao . e. g.
138쪽
ado. Videndum deinde est, an quantitas incognita, cujus valor quaeritur, in unico duntaxat, an in uir que aequationis membro reperiatur. Si in utroque; ex uno membro transseratur in alterum mutato signo 11s , ut deinceps in unico duntaxat membro compa reat. At hae in trana latione judicio opus est, ut nimirum ad illud membrum transferatur quantitas ineognita, in quo demum valor ejus sit positivus, non negativus. e. g. Si sit aequatio 3x - - b - a -- x; ex parte dextra ad 1inistram transferenda est quantitas incognita x, seu seribendum M -- α -- h a: si .enim ex parte sinistra in dextram transferretur, id est, si scriberetur h m a x - μ; facile patet fore, ut demum valsr quantitatis x 1it negativus. Eandem ob caussam. tametsi quantitas incognita in unico solummodo membro compareat, si tamen ea sit ibi valoris negat vi, in membrum alterum mutato signo est transferenda. E. g. Si sit a -x b ; mox initio transferatur x ad partem alteram, ut sit a - θ - - α 11s . Atio. Si terminis incognitam quantitatem continentibus adhaereant quantitates cognitae , fgno - - Vel unctae ; eae omnes mutatis signis transferantur ad mem-hrum alterum IIS . e. g. Si si a x - - b - e b d ι termini h & e mutatis signis transferantur ad partem alteram, seu seritatur: ax bd - θ - c.
4to. Si quantitas' incognita coea1eientem aliquem habeat; ls eoessiciens deleatur, & per eundem dividantur omnes reliqui termini membri utriusque: hoc patito quantitas incognita liberabitur a suo messiciente, & ta
sto. Si ineognita quantitas a cognitis plene iam se
parata, ad aliquam potentiam e. g. ad quadratum eis. Vata ene deprehendatur ; ex utroque sequationis mem bro extrahatur radix ejus gradus, quem indicat eXp.
139쪽
nens potentiae. Quae quulem extractio in quantitate incognita reapse perficienda est methodo num. 8a. allata ; at in altero membro quantitates cognitas complectente sum it nunc adhuc eandem praefixo radicali 1igno indicare duntaxat. e. g. Si 1it demum a - θ; scribatur x - . a - , . Quod si autem ex adverso quantitas incognita deprehendatur esse signo radicali affecta; elevetur utrumque membrum ad eam potentiam, quam indicat exponern signi radicatis. e. g. Sisit U x a -- b; erit x a -- θ . Neutro enim casu turbari membrorum aequalitatem, num. X24. demonstratum est. Schol. I. Si quis in tollendis per reg. Imam fractionibus compendio uti velit; cujuslibet in utroque aequationis mωmbro fractionis numeratorem, item quamlibet utriusque membri quantitatem integram multiplieet per factum omnium utriusque m*mbri denomi
d per 3 A a: frit 8a -- a4b - Iac m a x - - 6d. Seho I. I. Si quantitatis incognitae valorem demum aliqua fractio expresserit, quae ad simpliciorem eXpressonem reduci possit s45 , ea reduetio negligenda non erit. e. g. Si per regulas praecedentes demum acquira-8a x fractionis tam numeratorem, quam de-
4a- nominatorem per a dividendo, sat x Schol. s. Praecedentes quinque generales regulae memoriae probe imprimendae sunt, eodemque, quo propositae sunt, ordine doto problemati applicandae. Li-heat earum ope tertiam analyseos operationem in problematum num . m. propc 1itorum aequationibus, n. II a. Schol. I. inventiS eXPrestre. PRO PROBL. 1. hanc invenimus n. III. Schol. 1. . aequationem: ib M a.
140쪽
Algebriae. Jam xma, & ada viae hujus operationis regula hoe in
Per 4tam reg. dividendo per ψ, est: x Seu est:
Iam per reg. I. tollendo fractiones utamur compendio superius in Schol. I. allato) est:
Per reg. 3 transpon. 8, est: - - Per reg. 4 divid. totum per aa, est
Ta7. Quarta analyseos operatio est aquationis, adtinum terminum incognitum. ει solitarium am reati in numerus resolutio. Scilicet postquam' per tertiam analyseos operationem Valor incognitae quantitatis erutus, perque noti Valoris literas expressus est; litoris illis valores proprii in numeris substituendi sunt, ut e Ia etiam