장음표시 사용
81쪽
Elementa s. PROBLEMA VIII. Datam framonem ad sis
pistiorem expresponem, seu ad minorem numeratorem, Maenominatorem reducere, qNin prior ejus fractionis valor
REsoLUT. Si per aliquam quantitatem exacta div di possit tam numerator, quam denominator ; per eam dividatur uterque. Hoe pacto termini fractionis imminuentur, & tamen prior ejusdem valor retinebituri 39 . e. g. Fractionis I , tam numerator, quam de- Dominator exacte dividi potest per 4; qua divisions peracta, hactio illa abit in hane umpliciorem: quin prior ipsius valor immutetur. Quod si termini fractionis per aliquam quantitatem unitate majorem nam unitas nihil dividit non possint exacte dividicid g nus fractio ad simpliciorem expressionem reduci ne quaquam potest. e. g. Fractio . non potest reduci ad expressionem simpliciorem; eum nullus sit numerus , qui tam numeratorem, quam denominatorem ejus exacte dividat. 46. COROLL. Itaque si e. g. a b c per a d dividi debeat ; quotus cliteram a utrique termino communem bc omittendo: est m δ' Quippe ' quotum ex ea div sione oriundum exprimit fractio
quae fractio, si tam numerator abe, quam denominator ad dividatur per se, retento priore Valore suo abit in
hanc: -' Item, si a be dividi debeat per ahe'; quo-
tus utrumque terminum per ahc dividendo est m&hod. Divi r numeratori, & denominatori communis in literia sacile perspieitur; at dimellius in numeris, praesertim paullo maJoribus. Quare aliqua hane in rem adjumenta subnectere non erit superVaeuum. Scilicet I) videatur, an non uumerator eMacte metiatur denominatorem e id enim si eveniat, fractionem ad simpliciorem expressionem reduces, per numeratorem di-. A Vide
82쪽
videndo tam seipsum, quam etiam denominatorem. e. g. M Si tam numerator, quam denominator fuerint numeri pares ; uterque per a dividi poterit. E. g. ψ. - τι ; quia Video, in hac quoque reducta fra-etione tam numeratorem, quam etiam denominatorem esse numerum parem, adhuc continuari poterit per et divisio, eritque demum qim q. 3 Si tam numerator, quam denominator in fine Zeros habuerint; poterunt dividi per Io, vel Eoo &c. delendo utrobique unum vel
duos&C. Ter S. e. g. Jἶm y4 4 Si tam numerator, quam denominator pro dextima nota habuerit an- merum S, aut alter numerum A, alter Eerum; ambo dia Vidi poterunt per s. e. N. A in
ή . PROBLEMA IX. Datam fractionem impropria
48. PROBLEMA X. Datam quantitatem integram convertere in flamonem dati denominatoris. REsoLUT. Data quantitas integra multiplicetur per datum denominatorem. & facto idem denominator subscribatur. e. g. Si data quantitas integra sit m a, datus a b denominator m b; quaesita fractio erit radi Nam fractio haec est dati donominatoris b: porro ean dem fractionem esse aequalem datae quantitati integrae a facile patet. Est enim imprimis quaelibet integra
quantitas a m- 38 : deinde tam numeratorem, quam deaominatorem hujus fractionis multiplicando per .da-
83쪽
tum denominatorem b, acquiritur
est ergo etiam a Eodem modo, si e. g. numerus 4 convertendus sit in fractionem, cujus denominator sit 3; multiplicetur 4 per 3, facto Ia subscribatur idem denominator 3 : quaesita fractio erit
0. THLOREM A XI. Cujuscunque data quantit iis fractio=iem quamcunque invenire. e. g. Invenire partes alicujus quantifatis. REso I.UT. Quantitas data multiplicetur per numeratorem fractiopis, & factum dividatur per ejusdem fractionis denominatorem : qu*tns enascens erit ipsa fractio quaesita. Quaerantur enim v. g. . partes cujuscunque quantitatis a. Quantitas saec multiplicata per a.
di simul divisa per 3, aequivalet ζ sui partibus, seu est
' - a, quod si declaro. est pars quantitatisaa: si enim quaecunque quantitas per 3 dividatur. utruque pro quoto Obvenit A pars ejusdem quantitatis. Jam Vero , pars quantitatis za emcit partes quantitatis a , eum a a sit duplum quantitatis a: ergo a. Quae demonstrandi ratio cuilibet alteri partiaculari casui aeque applicari potest. 5o. COROLL. Quodsi ergo e. g. l. partes quaeran- eur de numero 6o; multiplicetur 6o per 3, & factum m 18o per 5 dividatur: quotus πα 36, partes quaesitas exprimet.
I. PROBLEMA XII. Invenire, quoties data unit tis fractio in quacunque data quantitate contineatur. e. g. Fractio quoties in numero 4 contineatur. V Ego I. UT. Datam quantitatem multiplica per denominatorem datae fractionis, tum factum divide per ejusdsm fractionis numeratorem et hoc pacto quotum quaesitum
84쪽
Alebraristum obtinebis. Sic si quaeratur, quoties L in 4 contineantur; 4 multiplica per 3, & factum M Ia divido pera: quotus enalcens m 6, indicat, Daetionem 3 in 'numero 6 sexies contineri.
DEMONsTR. Quaeratur enim, quoties e. g. . partes unitatis contineantur in quacunque ι data quantitate a. Quoniam j pars unitatis in qualibet unitate ter eontinetur 34 ; si quantitas a per denominatorem 3 multiplicetur, factum enascens 3a, indicat, quoties ' pars unitatis contineatur in quantitate a. Postquam autem depreheudi, numerum tertiarum unitatis partium inquantitate a contentarum essem 3a; ut innotescat quo- tiesnam duae tertiae unitatis partes in eadem quantitatos contineantur, Utique 3 3 per numeratorem 2 dividere debeo: ut adeo numerus partium unitatis in quant i et atate a contentarum sit - - Hoc est, si quaeratur.
quoties unitatis fractio 3 contineatur in quaeunque' quantitate a; quaesitus quotus erit aequalis quantitati a multiplicatae per fractionis denominatorem , & simul divisae per ejusdem numeratorem. Quae demonstrandi ratio euilibet alteri particulari casui aeque applicari potest, ac proinde legitimam esse probi. resolutionem generatim evincit.
sa. PROBLEMA XIII. Datam quamcunque auan titatem quacunque sui fractione, e g. ζ sui parte mulctare. REsoLUT. Datae fractionis numeratorem a denominatore subtrahe, & per horum differentiam multiplica datam quantitatem; tum factum enascens divide per deno natorem ejusdem fractionis datae. e. e. Si numerus 3o mulctandus sit sui partibus; imprimis subtrahe a a 5. & per disserentiam m 3 multiplica num rum 3o. tum lactum m 9o divide per 5: quotus enascens I 8 aequabitur numero go duabus quintia sulpartibus mulctato.
85쪽
quantitas x mulctanda sit A sui parte, residuum erit mzag--: si 3 mulctari debeat sui partibus, residuum est i si a mulctanda sit ἱ sui parte, residuum erit ΣαAa - &e. Εκ horum autem residuorum eontemplatione clare sane patet, tune datam quantitatem aliqua sui fractione mulctari, si multiplicetur per differentiam terminorum datae fractionis, & per ejusdem fractionis denominatorem dividatur. Sic si quaecunque quantitas a mulctanda sit x sui parte, residuum, uti diximus, est α-r jam vero prorsus idem acquires, si datae fractionis numeratorem a denominatore subtrahas, & per dinferentiam reta a multiplices quantitatem a, tum factumca per ejusdem fractionis datae denominatorem 3, d vidas. COROLL. Igitur datam quantitatem data suifrastione mulctare tantundem est . ac eam quantitatem . multiplicare per aliam novam fractionem, cujus novae fractionis numerator sit ipsa disserentia terminorum datae fractionis, denominator autem idem sit cum d nominatore ejusdem datae fractionis. Sic si quantitas a mulctanda sit 3. stat parte; re ipsa quantitas illa multiplieari debet per quo pacto acquiretur quantitas
- aequalia quantitati λιsui parte mulctatae.
86쪽
o Additione . Subtristione, multiplicatione, ae
Diuisone Fractionum. M. DROBLEMA XIV. Datas quotcunque fractiones
REsoLUT. Si fractiones sunt homoganeae; num ratores earum in unam summam addantur, tum summae huic communis denominator subscribatur. Si autem fractiones fuerint heterogeneae; convertantur primum in homogeneas, ac deindo numeratores ipsarum, ut modo dictum est, in unam colligantur summam,huicque summae communis denominator subscribatur.
e. g. Si addendae sint hae fractiones homogeneae:s, 1; mmeratoribus in unam summam collectis erit summa Si autem addi debeant hae e. g. fractiones heterogeneae: Γ S; convertantur primum in
in unam summam addi non posse clarum est: nam ea summa neque partes dimidias, neque tertias denotaret. Itaque stactiones addendae, si heterogeneae sunt, primum in homogeneas convertantur, oportet. Porro homogenearum fractionum summam a uiri, si num ratoribus in unam summam collectis communis den minator subscribatur, perspicuum est e quis enim non idet, .m g. unam quartam, & duas quartas emcerct summam trium quartarum' Scilicet denominatores non indieant numerum partium, adeoque summam nequa augent, neque imminuunt, sed tantum indicant, cujus- nam speciei partea sint illae, quarum numerum numerator exprimit. . Schα
87쪽
SehoI. Si fractiones integris quantitatibus adiunctae
fuerint; primum addantur integrae quantitates meth do consueta . tum fraetiones methodo nunc deseripta in unam colligantur summam. Quodsi summa fractio- nutu fuerit se actio impropria ; ea reducatur ad integra, numerusque integer reductione acquisitus summae integrorum adjiciatur. e. g. Debeant in unam summam addi hi numeri: - ' . M, ' Imprimis summa integrorum est m 7. Deinde fractiones A, .h convertan. 12, 16. 18 tur in has homogeneas: ' ' quarum summa est 24 ναα Haue summa, si ad integra reducatur 47 , est m 1 3ἰ; ex qua si integra unitas transferatur ad summam integrorum superius inventam, seu ad 7, summa totalis erit m 833. At haec fractio, utrumque ejus terminum per a dividendo. ad minores terminos reduinei potest, id est, converti in hane, M s4s et itaques totalis summa demum acquiritur R S
ss. PROBLEMA XU. Datam fractionem ab altera
s trahere. . Esiso .u T. Reductis fractionibus ad Eundem denominatorem, fractionis subtrahendae numerator methodo consueta subtrahatur a numeratore alterius: reiiduo subscribatur communis denominator, haecque nova fractio erit quaesitum residuum. e. g. Si ἱ subtrahi debeat a J; fractiones istae convertantur in has homogeneas a . Porro subtrahendo numeratorem et a numeratore 8, residuus numerator est 5; cui si denominator communis subscribatur, acquiritur residuum quaesitum m
SchoI. Examen additionis aeque per subtractionem fit in fractionibus, ac in quantitatibus integris; examen vero subtractionis per additionem.
56, PROBLEMA XVI. Datam fractionem per δε-
ium numerumIntegrum mustiplicare, aut dividere.
88쪽
Rκ sorare. Si fractio per numerum integrum muai plicanda iit ; lassicit solum numeratorem per integrum Illum numerum multiplicare. e. g. m 4 m 3 Si autem Dactio per numerum integrum dividenda sit a solus denominator ejus fractionis per numerum illum integrum multiplicetur. e. g. 3: QDRΜONSTRAT. Ima partis. Manente eodem de .
nominatore valor fractionis ita crescit. uti crescit ejus dem numerator 3o : ergo solum fractionis numeratorem per datum numerum integrum multiplicare tantundem est, 'ac fractionem per eodem numerum integrum multiplicare. DEMONSTR. ada partis. Manente eodem numeratore valor fractionis ea ratione decrescit, qua erestit ejusdem denominator; ita ut, si denominator evadat duplo, triplo &c. major, Valor fractionis ex adverso fiat duplo, triplo &c. minor 32 r ergo solum fractio nis denominatorem per datum numerum integrum mutatiplicare tantundem est, ac fractionem illam per eundem numerum integrum dividere.
uer. PROBLEMA XVII. Fractionem unam per est
ram fractionem multiplicare. REsoLUT. Multiplicentur inter se numeratores da tarum fractionum, & similiter denominatores inter se; tum factum numeratorum scribatur pro novo numera tore, factum Vero denominatorum pro novo denominatore : nova haec fractio erit ipsum factum ex multiplicatione hactionum enascens. e. g. Si multiplicari debeat per 1; est factum mes Pariter, si g& inter se multiplicentur; factum est mDEΜoNsTR. Sit e. g. fractio ζ multiplicanda per
Multiplicare quamcunque quantitatem tantundem est, ae eandem toties sumere, quot unitates in multiplicatore continentur Arith. 4 ij. Cum ergo in multiplicatore 1, unitas ne semel quidem contineatur integra. sed tantum secundum tres quartas sui partes; Da-aonum per ' multiplicare, est eandem ne semel
89쪽
quidem sumere Integram, sed sumere tres duntaxat
quartas ejus partes. Porro si tres quartas cujuselinque quantitatis partes sumere vis et eas obtinebis, quantitatem illam primum pes 3 multiplicando, deinde dividendo per ψ 49 . Ergo etram stactionis tres quartas partes acquires, ac proinde eam per i multiplicabis , si eandem primum per divisoris numeratorem a multiplicaveris, deinde vero per ejusdem divisoris denominatorem 4 diviseris. Atqui hactio A per 3 multiplicatur, si ejus numerator multiplicetur per 3; & eadem ractio per 4 dividitur, ii ejus denominator per Amul-
tiplicetur 56 . Ergo est τα α Η est. assumptarum Dactionum multiplicatio rite peragitur. si numeratores inter se, & pariter denominatores inter se multiplicentur, tum factum numeratorum pro noVO numeratore. factum vero denominatorum pro novo denominatore sumatur. Quae demonstrandi
ratio cum alteri cuilibet particulari casui aeque applicari queat; Veritas resolutionis generatim patet. 58. COROLL. I. Igitur factum, quod enascitur eκ multiplicatione fractionis unius per alteram, est fractio fractionis multiplicandae, & quidem determinate ejusmodi fractio, quae per multiplicatorem exprimitur. e. g. Factum seu A, quod enaseitur ex multiplieatione
fractionis per ', est fractio fractionis multiplicandae & quidem ejusmodi fractio, quam multiplicator lexprimit. Hoc est, factum/aequivalet tribus quartia partibus fractionis .: nam in eo facto fractio multi-rieanda ne semel quidem potest integra contineri, sed
ecundum tres duntaxat quartas sui partes, uti superius demonstravimus. Unde patet generatim methodus in veniendi quamcunque fractionem cujugeunque datae fractionis. e. g. Si cupis tres quartas partes obtinere
fractionis ἶ- multiplica ψ per 3 : factum enascens mm 4 erit aequale tribus tertiis partibus fracticinis Pariter, si eupis unam dimidiam partem fraetionis A obti.
90쪽
Oblineres 3 multiplica per L: factum m A aequi valebit uni dimidiae parti stafitionis &c.
59. COROLI.. II. Quoniam tunc, quum una fractio genuina per a teram multiplicatur. Dactio multiplicanda in sino ne semol quidem denet integra contineri ;mirum vi eri non debet, quod laetum ex multip. icatione duarum id genus hamonum enascens semper minus sit isomone multiplicanda. - t .r6o. PROBLEMA XVIII. Fractionem unam per alteram framonem diuideri RESO .UT. Divisor invertatur, ita ut ejus denomiamator abeat in numeratorem, & vieisiim; post inve 1ion om lases in numeratores inter se; & dem minato res isdem inror se multiplicentur: denique factum numersit rum sumatur pro novo numeratore', sarium autem donominatoriun pro novo denominatoire. Nova Baetio erit quotus' qu situs.., e. g. Sit immo i divi, denda per . . Invertatur divisor. ut abeat in tandi
ctum S erit quotus quinsitus. ., ε ε 3
DEMONATR. Sit e. n. fractici dividanda per Divisionem hane instituere tantundem est. Sic ita luir re in quotum, qui indicet, quotiesnama sinei ov* tu Rcontineatur Arria. 5o. . Jam vero . si inveniendum sit, quoties data fractio in quacunque data quantitate Contineatur, haec quanti as data multipliebri Hebri per denominatorem datae stadrionis, tum factum dividi per ejusdem fraetionis numErat rem sx . Ergo etiam, ut iii veniatur quotus, qui indicet, quotiesn2m isamo S in i contineatur, fractio ' multiplicari debet per alterius denominatorem 6 , tum per ejusdem numeratori rem a dividi. Atqui tune, quum lismo ' invertitur, & numeratores infer se, parierque denominatoreSter se multiplicanturi reapso fraetio ἶ her 6 multipli Hor th. Mathesis. Tom. I. F u