장음표시 사용
71쪽
diosius exprimi potest hoc modo se Seilicet eomm
nem utrique literam h penitus negligendo. At de hujusmodi compendiis Cap. seqv. in theoria fractionum erit agendi locus. dig. PROBLEMA V. Quamcunque polynomiam quantitatem a ebraicam per aliam dividere. RAsoLuT. Imo. Scribatur primum divisor; tum in eadem linea scribatur dividendus parenthesi inelusus. Deinde dispietatur, in quonam dividendi termino contineatur totus divisoris primus terminus, tanquam unus factorum , & is dividendi terminus per primum divisoris terminum dividatur juxta regulas prae . n. 27. allatas; tum quotus scribatur post dividendum. Porro quotus iste multiplicetur per totum omnino divisorem,& factum ex hac multiplicatione enatum subtrahatur aquantitate dividenda. Quod si ex hac subtractione nurulum remaneat residuum, peracta est dIVisio tota. e. g.
Sit Divisor, Dividendus, erit quotus.
Nam primus divisoris terminus M in primo dividendi termino M X continetur per X: itaque pro quoto scribo X. Hie quotus in totum divisorem ductus dat factum m M X - - m X. Istud factum si a dividendo su
trahatur ; nullum residuum manet pro ulteriore operatione et tota ergo jam divisio peracta est, ac proinde quotus est m T .
ado. Quodsi ex subtractione memorata remaneat quodpiam residuum; eum hoc residuo repetatur eadem, quae prius, operatio. Stilicet dispiciatur. in quonam ejus residui termino contineatur totus divisoris termi nus primus, tanquam factor, & h residui terminus per primum divisoris terminum dividatur juxta regulaS n. 27. allatas; tum quotus eum suo signo scribatur post quotum priore operatione inventum. Porro no Vus iste quotus multiplicetur per totum omnino divi sorem, & factum ex hac multiplicatione enatum iu trahatur a dicto residuo. Si in hac quoque altera sub-
72쪽
tractione quodpiam refiduum maneat; eodem pactoe continuetur operatio, dum nihil denique restet e divis
termino a 6 eontinetur per a sar. reg. 3. ἔ itaque a scribatur pro quoto. Hic quotus in totum divisorem ductus dat factum m a - a ρλ; quod factum si a dividendo subtrahatur, manet residuum m -- c x a x . Cum residuo hoc repetatur eadem operatio.
Scilicet video primum divisoris terminum a in re dui hujus termino -- a α contineri tanquam tactorem; qui terminus residui si per a dividatur. quotus est - α v. reg. 3. & 4. . Scribatur ergo pro novo quoto. Novus hic quotus in totum divisorem ductus dat factum m --aδ α - ιδ x ; quod factum si ab eo , residuo subtrahatur. nullum amplius manet residuum. Peracta ergo jam est tota divisio, acquisitusque quotus
Schol. I. Quemadmodum de numeriea multiplica tione. divisioneque locnti sumus Arith. n. 56. ita etiam algebraicae multiplicationis examen per divisionem, examen vero divisionis per multiplicationem obtinetur.
Scili et algebraica quoque multiplieatio tunc est legiti ma, si facto per unum laetorem diviso, alter factor ob-Veniat pro quoto ; divisio autem tunc legitima est, si quotus in divisorem ductus restituat dividendum. Atque usi hinc elucet, per regulas superius allatas rite peragi divisionem algebraicam e si enim quotus per eas regulas obtentus in divisorem ducatur, semper restituit dividendum, ut periclitanti patebit. Schol. 2. Si, dum per allatas regulas divisio alg hraica tentatur. advertatur inter operandum . subtractione ejus facti, quod enascitur e quoto in divisorem ducto, nequaquam minui numerum terminorum in di-Videndo, sed potius augeri; id erit plerumque indicium, divisionem absque residuo peragi non posse. Quare in-
73쪽
De Natura, ct variis Transformationibus
Fractionum. a9. Uractio est quantitas, quae euiuspiam totius par-
tes, unam , Vel plures significat. e. g. Unus crucifer est fractio comparate ad grossum: quia signimeat unam tertiam grossi partem. Porro ad determinandum cujuspiam fractionis valorem opus est duabus quantitatibus, quarum alter denominator fractionis, alter ejusdem numerator vocatur. Denominator exprimit, in quotnam partes dividi concipiatur totum illud, de euius fractione sermo est; numerator autem indieat . quotnam ejusmodi partes fractio contineat. Id est, δε-Homtκator exprimit, cujusnam speciei, denominationi que sint partes illae, quas fractio in s. eontinet, an nempe sint tertiae. Vel quartae. vel deeimae &c. partes to tius; numerator autem indieat, quotnam ejusmodi pa tes fractio valeat. Solet autem denominator subscribi Numeratori lineola interjecta, e. g. 3 significat duas tertias cujuspiam totius partes. Da
74쪽
go. ΤΗΕOREMA III. Si manente eostem denomia
natore crescat numerator; valor fractionis augetuquidem ea ratione augetur, qua ipie numerator, ιta ut numeratore in duplum, aut tri lMm m. crebrente valor quoque fractionis in duplum, aut triplum m. crescat. Ex adverso , s manente eodem denominatore numerator Geraseat; valor fractionis imminuitur: ει quidem eadem ratione imminuitur. qua i se numerator, ita ut. s num rator duplo. aut triplo 9c. minor evadat, ac prius fuerit, etiam valar fractionis dupla, aut tripla minor fat. DEMONSTRAT. Ima partis. Quamdiu manet idem denominator. tamdiu perdurat eadem species, denominatioque partium illarum, quas fractio exprimit: ergo,
si manente eodem denominatore crescat numerator,
fractio jam plures ejusdem speciei paries continet, ae prius continuerit; dc quidem ita, ut numeratore in duplum, aut triplum &c. crescente fractio jam duplo, aut triplo &c. plures Husdem speciei partes contineat, aciprius continuerit. Atqui istud tantundem sane est, ac
eadem prorsus ratione crescere valorem fractionis, qua numerator ejusdem crescit. DKΜONSTR. adae partis. Si enim manonte eodem
denominatore numerator decrescat: hastio jam pauciores ejusdem speciei partes continet. ipuam continuerit Irius: & quidem ita, ut si numerator duplo, aut triplo cc. minor evadat, fractio iam duplo, aut triplo &c. pauciores ejusdem speciei partes contineat, quam prius continuerit. Quod tantundem utique est, ac eadem prorsus ratione imminui valorem fractionis, qua numerator ejusdem imminuitur. - 3I. COROLL. Quodsi ergo duae fractiones eundem habuerint denominatorem; ejus fractionis major est va L Ior, cujus numerator fuerit major. e. g. ' l. 3α. ΤΗΚOREMA IV. Si manente eodem numeratore crescat denominator; valor fractionis ammiuuatur e ει quidem eadem ratione imminuitur , qua ratione denominator er6cit, ita ut denominatore in dupIum. aut tri plum&c. crescente valor fractionis duplo, aut triplo minor evadat. Ex adverso, si manente eodem numerato
75쪽
decrescat denominator ; valor fractionis augetur: re quiadem indem ratione austetur , qua denominator decrescit. ita ut si denominator duplo. aut triplo Sc. minor evadat, ae prius fuerit, valor fractionis in duplum, aut tripIum m. crescat. DRΜoNsTR. Ima partis. Si manente eodem num ratore denominator crescat; fractio totidem quidem partes sui totius continet, quot prius; at singulas eo jam minores, quam prius, quo denominator ille magis creverit: ita ut denominatore in duplum, aut triplum&α, crescente, quaelibet earum partium, quas numerator signifieati Jam duplo, aut triplo&c. minor sit, a prius fuerit. Sic quaelibet X pars totius est duplo mianor, ae sit quaelibet ψ pars; quaelibet S pars est triplo minor, ae sit quaelibet ψ pars , & sic porro. Eo ipso
autem manifestum sane est, valorein fractionis deerEscere debere, si manente eodem numeratore denominator erescat, & quidem eadem ratione debere decrescere, qua denominator crescit. DRΜONA TR. adae partis. Si manente eodem numeratore denominator decrescat; fractio totidem quidem, partes sui totius continet, quot prius; at eo jam majores singulas, quam prius, quo denominator ille magis decreverit: ita ut, 11 denominator duplo, aut triplo&c. minor fiat, quaelibet earum partium, quas numerator . significat, jam duplo, aut triplo &e. major evadat, ac prius suarii. Sic quaelibetia pars est duplo major, ac si quaelibet S pars ejusdem totius. Eo ipso autem clarum utique est, Valorem fractionis erescere, si manento eodem numeratore de dominator decrescat, & quidem eadem ratione erescere, qua denominator decreteit. 33. COROLL. Quodsi ergo duae fractiones eundem habeant numeratorem; ejus fractionis major est valor, cujus denominator fuerit minor. e. g. 1 '. 34. Si totum quodpiam in tres e. g. partes aequales, adeoque in meras partes tertias dividi concipiatur; utique tres id genus partes simul sumptae adaequant ipsum totum Arith. 35 : similiter, si totum quodcunque tu meras quartas partes dividi concipiatur; qua-
76쪽
uot 1d genus partes simul sumptae aequales sunt ipsi toti, & sic porro. Ergo generatim, si numerator fractionis sit aequalis denominatori; id genus fractio est aequalis ipsi toti. Sic vel ' partes unius florent adaequant ipstam florentim integrum. Porro id genua
totum, cujus paries fractio exprimit. per modum unius confideratur, ita ut . dum aliqua fractio dieitur esse aequalis, major, aut minor unitate, nomine unitatis intelligatur iplum totum, cujus partes ea fractio repraesentat. Itaque fractio, cujus numerator est aequalia
detio minatori, est I. Hine . quoniam manente eodem denominatore valor fractionis eo major, aut minor est, quo major. aut minor est numerator 3a ;elarum est, eam fractionem, cujus numerator major est denominatore , majorem esse unitate, eam vero esse unitate minorem, cujus numerator minor est denomi
Jor unitate, Vocatur fractio impropria; fractio autem genuina est. quae minor est unitate : igitne fractio im propria est, cujus numerator est aequalis . aut major denominatore, genuina Vero, cujus numerator est de nominatore minor. e. g. - est fractio impropria; at ,, est genuina. 36. Conor L. II. Cum valor fractionis manente eo dem denominatore ita crestat, aut deeroseat, uti crescit. aut docrescit numerator; qu madmodum fractio tunc aequalis est unitati, quum numeratorem habet denominatori aequalem, ita tunc aequivalet duabus, tri- Νhus &c. unitatibus. quum ejus numerator est duplo, triplo &c. m,jor denominatore. Hinc generatim va
lorem fractionis indicat quotus ille . qui enascitur numeratore per denominatorem diviso. e. g. Fractis lest m 4; quia si numerator 8 per donominatorem a di-Vidatur , quotus est j 4: item , seu duae tertiae sunt
ille ipse quotus, qui prodit, si a per 3 diuidatur. At
77쪽
exprimere e. e. & a divisum pre 3, & duas tertias tstilicet utrumque hoe signo r '. 37. Cono . III. Si divisor & dividendus iisdem fignis gaudeant, quotus est positivus a4 ; negativus antem, si divisor & dividendus contraria signa habeant sibi praefixa 26 . Cum ergo quaevis fractio sit ill
ipse quotus, qui enaseitur numeratore per denominatorem diviso; valor fractionis positivus est, si tam n merator, . quam denominator iisdem signis, sive positivis, sive negativis ameliditur: negativus autem, si numerator, & denominator contraria signa habeant. 88. CovoLL. IV. Quaevis quantitas integra aequia valet ei fractioni impropriae, cujus numerator sit eadem illa quantitas, denominator autem unitas. e. g. Est 3 - 1. Si enim numerator 3 per denominatorem I dividatur, quotus est 3. Eodem modo patet esse 4m fi
m. ΤΗΕOREMA V. Si fractionis cujuspiam tam
Numerator. quam denominator per idem multi licetur; vasor ejusdem Mon mutatur. Pariter non mutatur vator
fractionis, s ejus tam numerator, quam denominator per idem divisitur. 'DEΜoNsTR. Imae partis. Multiplicetur e. g. peratam numerator, quam denominator cujuspiam datae fractionis. Si imprimis numerator per E multiplicetur; hae multiplleatione valor fractionis in duplum augetur so : si deinde denominator per eundem numerum a multiplicetur, hac multiplicatione valor ejusdem fractionis duplo minor effettur ga . Ergo quum tam numerator, quam denominator fractionis eujuspiam Per eundem numerum L Vel per quemcunque alium γmultiplicatur, tantundem augetur ejus valor ex un parte, quantum ex alia parte imminuitur. Eo ipso autem clarum est, non mutari valorem fractionis, si ejustam numerator, quam denominator per idem multipli
DEΜONSTR. adax partis. Dividatur e. g. per a, tam numerator, quam denominator cujuspiam datae fractio-
78쪽
uis. Si imprimis numerator per a dividatur ; hae divisione valor fractionis duplo minor efficitur 3o. peraedam partem theor.): si deinde denominator per eundem numerum a dividatur; hac divisione valor ejusdem fractionis in duplum augetur 3a. per adam pamtem theoro: ergo quum tam numerator, quam denominator fractionis cujuspiam per eundem numerum B
Vel per quemeunque alium) dividitur. tantundem imminuitur ex una parte, quantum ex alia parte augetur.
Eo ipso autem clarum est, non mutari valorem fractionis, si ejus tam numerator, quam denominator per idem dividatur. 4o. COROLL. I. Quodsi ergo numerator fractionis per majorem quantitatem multiplicetur, quam denom
nator; valor fractionis ex una parte magis augetur, quam imminuatur ex parte altera e eo ergo casu Valor ejusdem fractionis reapse augetur. Ex adverso, si numerator fractionis per minorem quantitatem multiplicetur, quam denominator; valor fractionis ex una parte minus augetur, quam imminuatur ex parte altera:
Consequenter valost ejusdem fractionis reapse imminuitur.
41..COROLL. U. Si numerator per majorem quantitatem dividatur, quam denominator; valor fractionia ex una parte magis imminuitur, quam augeatur EX par te altera: tunc ergo valor ejusdem fractionis reapse imminuitur. Ex adverso, si numerator per minorem uuantitatem dividatur , quam denominator; Valor fractionis ex una parte minus imminuitur, quam augeatur ex parte alterar consequenter valor ejusdem fractionis reapse augΘtur. 42. Duae, aut plures fractiones, quae eundem hahent denominatorem, tametsi numeratores ipsarum ai- versi sint, inter se comparatae vocantur homogenecae, Item ejusdem denominatoris. Sic homogeneae fractiones o c bo ef
79쪽
Ex adverso fractiones heterogenear, seu disres denom natoris sunt, quae non habent eundem denominatorem.
43. PROBLEMA VI. Ilanu quotcunque fractiones
heterogeneas reducere ad eundem communem denominatorem. seu convertere in homogeueas, qκin prior earun-jem valor immutetur. REsoLUT. Sint e. g. tres hae fractiones heterogeneae ac mo & reducendae ad communem denominatoremiana OΙmprimis omnes denominatores multiplirentur inter se: factum enascens bdo erit communis den minutor. Deinde cujuslibet fractionis numerator multiplicetur per Omnes reliquarum fractionum denominatores, non tamen per proprium; tum facta enascentia scribantur pro novis numeratoribus. Sic in assumpto exemplo, primae fractionis numerator a multiplicetur per den minatores u & a , & factum a do scribatur pro noVonumeratore primae fractionis. Similiter numerator educatur in denominatores b& o, factumque hea feribatur pro numeratore novo secundae fractionis &c. Hoc
men quaelibet hamo priorem valorem suum aecurato retinebit, quod sic Ostendo. Quando denominatores Omnes inter se multiplicati sunt, & factum pro novo primae fractionis denominatore scriptum est, reapso prior primae fractionis denominator per denominatores omnium reliquarum est multiplicatus : at etiam numerator ejusdem primae fractionis multiplicatus est per denominatores omnium reliquarum , & factum istnoeest pro novo numeratore scriptum e ergo prima fractio a ad o
tam numerator ipsius , quem etiam denominator per idem
80쪽
idem est multiplieatus, nempe per do. Atqui valor fractionis prorsus non mutatur, si ejus tam numerator ,.quam denominator per idem multiplieetur 3'. ergo prima fraetio abeundo in novam, prorsus ejuscem , ae prius, Valoria manet. Simili ratione patet . neque secundae. aut tertiae fractionis valorem esse dicta operandi ratione immutatum.. Schol. Compendii gratia, communis denominator semel duntaxat subscribitur numeratoribus reductis. e. g. Fractiones modo reductae sic scribuntur: ad o, b eo, b d mo acta EMPLA Hujusm. Reduction. . Reducend. V Reduff. S,
44. PROBLEMA UII. Inuenire. visa sit majoris
valoris ex datis duabus heterogeneis fractionibus. REsoLUT. Datae fractiones heterogeneae reducantur ad eundem denominatorem c43 r cujus major fuerit numerator, ea erit majoris valoris 313. Si autem idem fuerit utriusque numerator, idem erit utriusque valor. e. g. Si fractiones 3 & l reducantur ad eundem denominatorem; abeunt in has: & M. Est ergo posterior priore major, seu est .