장음표시 사용
91쪽
eatur, & sactum enastens per et dividitur m : hoe ergo pacto assumpta divisio rite peragitur. Quae demonstrandi ratio cuilibet alteri partieulari casui aeque applicari potest.
6I. cono L. Saepe una fractio in altera bis, ter, aut etiam saepius continetur: e. g. 1 in A eontinetur 'uater. Cum ergo quotus ope divisionis quaeri solitus indieare debeat, quotiesnam divisor in dividendo contineatur; mirum Videri non debet, si ex divisione Dactionum saepe prodeat quotus, qui sit numerus integer,
aut fractio fractione dividenda major. Sic si Α dividi debeat per ἐν quotus est m .
Schol. 3. Si quaecunque quantitas integra a per d tam fractionem dividi debeat; quantitas illa converta-
tur in fractionem sibi aequivalentem, seu in hanc: tum haec fractio per aliam illam datam consueta ha-ctionum methodo superius exposita dividatur. e. g. Si
quantitas a dividi debeat per quotus est j ---
Numerus 3 per ' divisus, dat quotum 3 aTAT 6&C., Schol. 2. Examen multiplieationis per divisionem τdivisionis per multiplieationem fit in tractis aeque, ac γ in numeris integris. ii Schol. 3. Demum his , duo adbuc theoremata adjucere juvat, quorum usus est in iis, quae in Physica nostra de Catoptrica, & Diωptrica tradimus. 6α. ΤΗΕOREMA UI. Ponamus tam numeratorem, quam etiam denominatorem cujuspiam fractionis augeri. I Si augmentum numeratoris tanta quantitas fuerit comparate ad numeratorem, 'nantum fuerit augmentum denominatoris comparate ad denominatorem, e. g. s numerator dimidia sui parte, ει etiam denominator dim dia sui parte augeatur; prior fractionis valor non mut tur. a) Si augmentum numeratoris majus fuerit comparate ad numeratorem, ae fit augmentum denominatO. ris comparate ad denominatorem, e. g. s numerator di- , midia
92쪽
ntidia sui parte, denominator autem nonnis tertia Atii parte augeatur; valor fractionis crescit. 3) Si esu
mentum numeratorIS minus fuerit comyarate ad nume-νatorem. ac sis atigmentum denominatoris comparabe ad
denominatorem, e. q. si nΗmerator tertia sui parte, d nnminator antem dιmiuia sui paree augeatur; valor fractiouis decrescit.
DEMONsTR. Nam in Imo casu reapse tam numera tor, quam denominator per idem multiplicatur. E. g. Si tam numerator dimidia sui parte, quam etiam denominator dimidia sui parte augratur ; reapse uterque per Σ --- α multiplicatur. Si enim quamcunque quantitatem a per x - - multipli es ; enascitur iactum a V. a '. hoc est, quantitas a una dimidia sui parte augotur. Jam vero si tam numerator, quam etiam denominator per idem multiplicetur ; valor fractionis non mutatur
In Ido casu per majorem numerum multiplicatur numerator, quam denominator : e. g. si numerator dimidia sui parte, denominator autem tertia duntaxat sui parte augeatur; ille per x iste vero per I - duntaxat multiplicatur. Itaque in ado casu per m8jorem quantitatem multiplicatur numerator. suam denominatur: consequenter Valor fractionis erescit o . In 3tio ca per minorem quantitatem multiplieatur numerator , quam denominator. Si enies numeratore. g. sui parte, denominator autem sui parte augeatur; numerator per x-- bdenominator autem per x multiplicatur. Hoc ergo eam valor fractionis, decrescat, oportet 4o . i63. COROLL. Assumamus fractionem L. I Si numeratorem hujus Daetionis unitate, denominatorem autem numero a augeas, ut ea fractio abeat in hane: '; prior ejusdem valor non mutatur. Quemadmodum enim I est dimidia pars numeratoris et, ita a est dimidia pars denominatoris 4. 22 Si tam numeratorem, qu/m denominatorem assumptae fractionis augeas unitate,
93쪽
ut abeat in hanc: ' ; valorem ejus fractionis auges. Nam I est major quantitas comparate ad numeratorema, quam sit comparate ad denominatorem 4; est enim illius dimidia pars, hujus autem nonnili purS quarta.3 Si stactionis E numeratorem uate, denominatorem autem numero 3 augeas, ut ea fractio abeat in hane: valorem ejusdem imminuis. Nam I Est minor quantitas comparate ad numeratorem 2, ac sit 3 mmparate
Schol. Esse imprimis .' L. esse deinde denique esse 1 Q A Deile M ehendes ea etiam methodo, quam n. 44. tradidimus. 64. ΤΗΕOREM A VII. Ponamita tam numeratI- rem, quam elidim denominatorem cujuspiam fractionis imminui. I Si decrementcim numeratoris tanta eliantitas fuerit comparate ad eundem numerat em . quantum fuerit decrementum deuominatoris comparate ad dem nominatorem, e. g. si re numeratis dimidia fui parte. ει etiam denominator dimidia sui parte mulsistun prior fractionis valor non mutatur. 2 Si decremeritiam inuMmeratoris majus fuerit com arate ad numeratorem. ac sodecrementum denomiηatoris eomparate ad deMommatorem, e. g. f κuuerator dimidia sui parte- deuominotor autem nonnis tertia fui parte mulctetur; valor fracriouis decrescit. 3 Si decrementum numeratonis minus fuerit comparate ad Mumeratorem, at si decrementum denomi Matoris comparate ad denominatorem, e. g. s numerator tertia sni parte, denomiuator autem dimidia sui partemiactetur; valor fratrionis crescit. DEΜoNSTR. Nam in primo casu reapso non aliud fit, quam quod tam numerator , quam denominator per eandεm stactionem multiplicetur. Si enim uterque e. g. I sui parte mulctetur; uterque re ipsa per fractionem multiplieatur, uti ex num. s3. intelligere licet. Ualor orgo Daetionis hoc in rasu nequit immutari 39 . In ado costi pariter non aliud sit reapse, qliam quod& numerator, & denominator per aliquam fractionem multiplicetur; at numerator per minorem, denominutor per majorem. Si enim ponamus numeratorem e. m
94쪽
dimidia sui parte . denominatorem autem tertia duntaxat sui parte mulctari; numerator per A, denominator autem per multiplicatur 33 . Hoc ergo casu valor fractionis imminuitur s4O).
In Stio casu rursus tam numerator, quam denomia nator per alicuam frfictionem multiplicatur; at numerator per majorem, denominator per minorem..e. R. Si numerator sui parte, denominator autem dimidia sui parte mulctetur; reapse numerator per denominator
autem per 5 multiplicatur s3 . Hoc ergo casu Valor Iractionis reapse augetur M.
SECTIO SECUNDA. DE QUANTITATUM POTENTIIS, ET RADt CIBUS. CAPUT PRIMU M.
De Quantitatum Radicibus, ta Potentiis
generatim. . t actum, quod oritur, si quantitas quaepiam semel, aut saepius per se ipsam multiplicetur, vocatur Potientia, vel Dignitas. Sicax est potentia quantitatis se itees 16 m. 4 est potentia numeri ψ.&c. Ipsa multiplicatio quantitatis per se ipsam, Voca tur ejusdem quantitatis elevatio ad potentiam. 66. Si quantitas semel duntaxat multiplicetur per se ipsam. dicitur elevari ad adam potentiam, seu ad quadratum; si brs per se ipsam multiplicetur, elevatur adpoteutiam Aliam; seu ad cubum : si ter, ad 4tam; & sic porro. Ipsa quantitas. quae elevatur, aut elevari potest ad quadratum, euhum , vel aliam quamcunque altiorem potentiam, Radix . vel etiam Potentia prima nuncupatur. e. g. Quantitas a est radix, cujus adar .3 PD-
95쪽
potentia, seu quadratum est a , potentia tertia. seu cubus est a 3, querta potentia a '. & sic porro. Si enim quantitatem a semel per se ipsam multiplices, onascituramim se a*: si eandem bis multiplices per se ipsum , id est. 1i, postquam ex prima multipli atione acquisivisti factum a . hoe factum rursus per radicem a multiplices, acquiris factum a : & sic porro.
a potentia est M a , 3tia j a 3. quarta a', & se porro; clarum est. per exponentem quanti ratis accurato indicari gradum potentiae illius. ad quam ea Guantitas elevata sit. Hinc generatim aη3 est ea quantitatis a potentia, quam exprimit e&ponens numericus tot unitatibus constans, quot unitates m in se continet. e. g. Si ponatur esse ni 3; ani est potentia tertia, seu cubus quantitatis a.
evehenda sit; ejus numerator per se ipsum, & den minator itidem per se ipsum multiplicari debet. e. g. α a Quadratum fractionis est m Σα Quae-3 - , 3 is enim quantitas tunc elevatur ad aliquam potentiam. quum per se ipsam multiplicatur 65): fractio auit m tunc multiplicatur per se ipsam, quum ejus tam numer:itor per se ipsum, quam elism denomina;ΟP per
radix quadrata; comparate ad cubum suum dicitur radix cubica ἰ comparate ad quartam potentiam radix quarta, & sic porro. Sic a comparate ad a* est radix quadrata; comparate ad a 3 in radix cubica: pariter a comparate ad 4 est radix quadrata, nam a A 2 δὲ Coinparate ad 8 est radix cubiea, nam a A a A a m R
eubicae est V, radicis quartae est , radieis denique
96쪽
indetermina, est Quantitas signo radieali insertipta, uti est numerus 3 in signo radicis cubicae, voeatur ex ouens radicis: ea vero quantitas, cui tale signum praefixum est, quantitas radicalis appellatur. e. g.
Mab est quantitas radicatis, signifieasque radicem cu-hicam quantitatis ab instar cubi consideratae. Qua do designanda est radix cujuspiam complexae quantitatis ; id genus quantitas plerumque parenthesi includitur, tum praefigitur ipsi signum radicate. e. g. Radix cubica de quantitate complexa a - - b plerumque
hoc modo scribitur: V sa -- b); interdum vero hoe
modo: V a -- b. Ipsae etiam potentiae quantitatum complexarum saepe indicantur duntaxat, hoe nempe modo: a -- b) ; hoc est, quadratum quantitatis com-
plexae -- b: Vel etiam hoe modo: a -- b. I. Radix alia dieitur rationalis, alia irrationalis, alia denique imaginaria. Radix rationalis, seu vera est, quae numeris exacte exprimi potest. e. g. Numerus 3 est vera radix quadrata numeri 9. Radix irratio-νralis, seu furda Vocatur illa, quae non potest numeris exacte exprimi. licet in lineis geometrieis dari queat. e. g. Videbimus suo loco, radicem quadratam numeri 8, seu V 8 lineis exprimi posse, tametfi numeris exprimi nequeat: itaque IZ 8 est radix surda. Denique radix imaginaria, seu impossibilis illa est, quae nec tineis, nec numeris exprimi potest. e. g. V - 4 est radix imaginaria, seu impossibilis. Quippe impossibile est , ut ulla radix per se ipsam semel multiplicata det quadratUm - - 4. Vel enim -- a, vel - 2 deberet esse radix illa: atqui neutra haec radix dat quadratum - 4; nam & --a A - a, & - a -a est 4 a7. Reg. Ata . a. PROBLEMA XIX. Datam potentiam monomia am ad aIiam dati exponentis otentiam eis re. e. g. Quantitatem αδ elevare ad rubum suum. RESOLUT. Exponens datae potentiae monomia multiplicetur per exponentem datum potentiae quaesitae:
97쪽
tum factum se matur pro novo exponente datae potentiae. e. g. Si a se levari debeat ad cubum ; creponens datae potentiae est m a, exponens autem quaesitae potentia . seu cubi est m 3: itaque a multiplicetur per 3, ct sactom - 6 adscribatur potentiae a pro novo eXponentari acquiretur quantitas asi, quae erit cubus datis
tipli. ari debet; si ad Atiam, per 3; & sic deinceps. Hoz
est. ejus eXponens per datum quaesitae potentiae exponentem est multiplicandus. 73. COROLL. I. Si ergo quaecunque potentia amelevari debeat ad potentiam exponentis n; quaesita po
lentia erit amne si an debeat elevari ad potentiam
exponentis n; potentia quaesita erit m au M am. 74. Conor. L. II. Si data potentia monomia pluribus i onstet literis; eujuslibet litorae exponens muli plicandus est per datum quaesitae potentiae eXponentem. e. g. Quantitas ainbr ad quadratum elevata , est aet a b r: eadem quantitas elevata ad potentiam exponentis it , est atmom. Quippe quadratum ejusquLntita is est M a--r is a m/ r. cubus autem -ιν Mambr Mambr m a Smb3r, I. Reg. 4. . ΗΟ est, ut data quantitas pluribus literis constans ad potentiam aliquam eleVetur, per datum quaesitae potentiae exponentem singularum literarum exponentes multiplicari debent. s. Cono xx. III. Si quantitas algebraica monomia ad aliquam potentiam elevanda , habeat eo essicientem numericum ; is coefiiciens pariter ad potentiam illam EleVetur, est necesse. e. q. Quantitatis a quadratum est qa 3n, cubus scilicet etiam coemeientem a clevando ad quadratum, cubum. Nam gavi A et am
98쪽
. 76. THEOREM A UIII. Potentia habens pro exponente zerum es requalis unitati. DEMONsTR. Omnis ojusmodi potentia repraesentari potest per aD; esse vero b0 I sic ostendo. Si a dividatur per am, quotus est aQ 27. R g. 3fia): atqui is quotus. qui ex hac divisione enaseitur. debet ossem I, nam avi in iam semel continetur; est ergo a* m x. r. In libris Mathematicis occurrere solent quantitates algebraicae habentes pro exponente quantitatem integram negativ m, aut fractionem aliquam. Jam positivam. jam negativam. Cujusmodi expressionum va-' Iores squibus quidem eXpretiionibus nos neque in hoc. neque in physicis opustulis nostris utemur siquis noste
desiderat, ii se habent. I. Veneratim an est iam.
Elevetur enim imprimis 'nam ad potentiam eX ponen- i . v Ntis m quaesta potentia utique erit cm: nam por mnon aliud significatur, quam ea radix, quae si elevaretur ad potentiam edi ponentis n, ferct m avi. Elevetur
deinde etiam an ad eandem potentiam . scilicet expo-
nentis κοῦ quaesita potentia erit a 73 , seu erit rursus M an 45). Atqui nequiret sane utriusque radicis potentia n esse eadem , nili radices illae essent Equales , hoc est, nisi esset an Unde haeo
teneralis regula fuit: Si quamnque quantitas au haeus Pro exponente fractionem postivam exprimi debeat s Ivini radicatis, quin prior torus valor iminutetur; νIris rarimerator fractionis relinquatur ei potentire pro C Oriente , denominator autem ejusdem fractionis Ino Uadicati pro exponente raduis ivsseribatur.
99쪽
Deinde multiplicetur etiam per idem factum
potentia, habens pro exponente quantitatem integram negativam exprimi debeat cum exponente positivo. quin prior ipsius valor immtitetvr; ejus quantitatis coeficiens sumatur pro numeratore fractionis, pro denom/natore autem sumatur eadem tIIa quantitas cum priore suo emponente, Ied jam postivo, non negativo. Hinc est R
ter unitatem reperiatur alter coeffciens.
8 ; ergo idem est, sive per a m, sive per du.vidatur quantitas b: atqui, si b dividatur per a
quotus est ut clarum est, si autem idem b
dividatur per ' quotus est- 61. Mol. ; est hergo m bo. Eodem modo ostendi potest esse.
100쪽
Si enim imprimis quantitas ba elevetur ad potentiam n;
tentiam n; ejus fractionis tam numerator, quam denominator elevari debebit ad potentiam n 68 , adeo- huque quaesita potentia erit m Ergo eadem acqui-m hritur potentia quaesita, sive ba u , sive is ais telQVetur
ad potentiam n. Atqui istud evenire utique non pos-m hset, nisi esset L ergo. Sed, uti jam n.
et7. innuimus, haec a Tironibus nostris praetermitti posse existimamus.
De Extractione radicum e potentiis algebraicis.
81. Dadicem extrahere e data potentia, est ex eadem eruere eam quantitatem. quae aliquoties per se ipsam multiplicata potentiam illam generavit. e. g. Extrahere radicem quadratam ex asi est invenire quantitatem a quae semel per se ipsam multiplicata gignit quadratum ast et ex eadem quantitate ad extrahere radi