장음표시 사용
121쪽
duabus dext Ia seeundi membri notis reliquunt elaudatur per triplum quadratum primi termini iam inventi, & quotus pro secundo radicis termino scribatur. Idem quotus dueatur 4n triplum quadratum termini
primi tam inventi, seu in divisorem, & factum ita
subsi ribatur assumpto numero , qui ex residuo prioris subtractionis, & adjuncto sequente cubi membro eo
stati ut dextima ejus facti nota sinistimae secundi illius membri notae respondeat: huie facto subscribatur factum alterum. selliret tripli quadrati termissi secundi inirim iam te minum ducti, sed ita, ut hujus facti notaeNtima respondeat penultimae dicti seeundi membri votae: demum subscribatur etiam cubus seeundi termi ni, ita tamen, ut ultima hujus nota ultimae secundi membri notae respondeat. Porro tria haee tacta in unam summam collecta subtrahantur ab assumpto numero, nimirum ab eo, qui eomplectitur residuum su-
re inis subtractionis, & secundum dati cubi mem
ir Mo. Si.d tus eubus pluribus, quam duobus membria' constet; ejus radix pluribus, quam duabus notis eo stabit. Itaque duae radicis notae per superiores regulas
jam inventae pro primo radicis quaesitae termino habe .ntur,. Ea Vero nota, quae proxime sequitur, latetque adhuc, pro secundo; hoc posito. si eadem operatio repetatur, reperietur tertia radicis nota. Hac inventa, in post subtractionem adhuc aliquod maneat residuum; huic reliduo adjungatur membrum sequens, ae tribus radicis notis jam inventis instar unius consideratis eadem lege repetatur operatio. Quod si in entis tribus radi eis terminis, quartus adhue lateat; tres inventi temmini instar unius primi habendi erunt, & sie porro. sto. Si lateis operandum eveniat, ut triplum quadrati semini primi majus sit numero per ipsum dividendo et pro quoto. seu pro nova radieis nota se ibatur aterus: tum eidem numero dividendo adjiciatur a deritris sequens dati cubi membrum. Porro duae dextimast hujus membri notae interjecto eommate secernantur, numerique comma praecedentes per triplum quadratum Omnium radicis notarum hactenus inventarum instat unius termini eonsideratarum dividantur: denique quo tua
122쪽
tus enascens seribatur pro nova raditis nota, operatio que more consueto hontinuetur.
EXEMPLUM Extrae. Radie. Cubis.
416 Sub lit. A est eubus in tabula tan reperius, primo
dati cubi membro proxime minor, cujus radix apro prima radicis quaesitae nota scribitur. Sub liti BPrima nota 4 est residuum, quod mansit subtrahendo Cubum in tabula repertum a primo membro, seu 8 alla ; reliquae autem notae a dextris adjunctae . sunt secundum dati eubi membrum et quarum duae postremae notae per Reg. aliam commate interjecto secemuntur. Sub lit. C est triplum quadratum primae notae rad eis, seu numeri a, per quod numerus I per res. 3tiamὶ dividitur, & quotus m g pro secunda radicis nota seribitur. Sub lit. D est triplum quadratum termini Ubmi radieis in terminum secundum ductum, quod in formula generali per 3a b repraesentatur. Sub lit. Ε est 'triplum quadratum termini laeundi ductum in termi-vum primum, per 3ab repraesentari solitum. Sub lit. F est eubus termini secundi, seu numeri 3. Denique sub lit. G est summa trium particularium factorum, rubliteris D, E, F contentorum: quae summa si a numero 416 sub lit. B posito subtrahatur, nullum remanet residuum ἔ ac proinde operatio tota peracta jam est, aequisitaque integra radix euhiea - M. Schol. Si in dato quopiam exemplo ex ultimo mem-hro post peractam subtractionem quodpiam residuum maneat; id argumento erit, datum numerum non esse
123쪽
persectum tubum. Quo ea su extractio rMIcis per approximationem continuanda est ; uti de quadrato iperlaeto num 96 Schol. locuti tum n : hoc discrimit
mines quod hic non duo, sed tres Eeri sint adjiciendi tam numeratori. quam etiam denominatori reii dui. extraeticiisque radicis iuxta leges hoc numero allatas instituenda.
De Calaula quantitatum Radicesium.
98. Onantitates radicales eae dieuntur, qu imas senum c. radica te spo) praefigitur. e. g. U8. Hujusmodi quantitates . tametsi plerumque irrat. Onales . seu sis Ia 71 sint. eapaces tamen lunt variarum transso marionum. additionis, subtractionis &c. Quapropter aliqua de quantitatibus radicalibus problemata resoluturiri sumus: monentes interim , ea a Tironibus nostria 'sine dispendio doctrinae sibi necessariae praetermitti posse. 90. Quantitates radicales inter se comparatae dico tur ei e vusdem denominationis, si una eundem habeat exponentem signi mi radicatis. quem habet altera. e. g. V a & V b stant ejusdem denominationis, quia exponens ligni racicalis utrobique est idem, scilicet a, qui plerumque non ponitur expresse, sed subintelligitur c M. Pariter ejusdem sunt denomirationis V 3 & υ s. Diaversa denominationis autem eae vocantur, quae dive sos habent signi radicalis exponentes: e. g. V a M
1ω. PROBLEMA XXVI. Quantitates radicalis
diversa denominationis ad eandem denomiuationem reducem.
124쪽
exponentes sint fractiones heterogeneae; reducantur ad eundem denominatorem methodo consueta 43), ae
Πην, quin prior earundem valor immutetur 77 . Eodem modo si reducendae sint . 5 & s ; eae eonin
s. & s j. sellii et fractiones ad commutem d nominatorem reducendo: istae denique quan itates commu-thntur demum in has eadem denomauatione gaudentes:
xo t. AXIOMA I. Qua sunt requalia uni tertio, aut duobus requalibus, sunt aqualia inter se. e. g. X Si sita b, &c b; erit etiam a e. a, Ponamus a b c dr si merit b d, erit Eliam a1oa. PROBLEMA XXVII. Quantitates radicales reducere ad mιnores terminos, Ira ad simpliciorem expresponem. REsoLUT. Quantitas post signum radieale posita resolvatur in suos factores. Quod si unus ex iis factoribus suerit potentia ejusdem gradus, quem signi radicalis exponens indicat ἔ extrahatur ex eo radix , &ponatur ante signum pro coefficiente, ceteris factorinus post signum radicate relictis. e. g. Quantitas ra-
diealis ' χηθε, habet post signum radieale factores am& hn; quorum alter nempe bis cum sit potentia ejus- dem gradus. quem signi radicalis exponens n indicat, ejus radix b ponatur ante signum. altero factore post fgnum relicto et hoc pacto quantitas illa radicalis abi-
hit in hane jam simplieiorem: b Iram. Porro non mu
125쪽
haec in suos factores resoluta abit in hanc e V 8. 3. Ex factore 3 extrahatur radix rubica a, & ante signum radicate ponatur: erit eadem radicalis quantitas ad sim
plic. expressi reducta m a V 3. Et vicissim coemelena ante signum radicate politus transferri potest postidem radicate signum, quin prior quantitatis radicalis valor immutetur, modo coiniciens ille elevetur ad eam potentiam, quam inescat exponens signi radicatis. e. g.
In quantitate radieali a V 3, coeffciens a elevetur ad Cubum, isque cubus ponatur post signum raditiae enova quantitas radicalia 3. 8, seu V a4 erit aequalis
/ Schol. Quantitas radicatis, quae aut non potest in factores resolvi, aut non habet factorem, qui sit potentia exponentis datae radicis, est irreducibilis. e. g. V DXo4. Si duae, vel plures quantitates, ad simplieissimam eXpressionem reductae, suerint imprimis ejusdem denominationis, deinde habuerint eandem quantitatem post radiole signum positam; id genus quantitates di-Cuntur communicantes. e. g. 3 a & st, item aUb& e Ub. Eae vero quantitates radicales, in quibus aruterutra harum conditionum, aut utraque deest, incommensurabiles Vocantur: e. g. 3 Ua & s υ 3. xos. PROBLEMA XXVIII. Addere, vasubtrahere quantitates radicalis.
126쪽
RRsor,trae. Reducantur datae quantitates ad expressonem simplieissimiam croa); tum, si deprehendantur esse communi cautes, addantur, vel subtrahantur earum coemesentes ante signurn radicate positi, & summa, vel differentia communi quantitati radicali praefigatur. e. g. Dentur quan itates, radieales V ar & U xa, ut in unam summam addantur, Vel Vero ut posterior a priore subtrahatur. Reductione ad simplicistimam expressionem abeunt in has : 3 1μ 3 & 2 V 3 Ioz). Earum ergo summa est s V si differentia autem m Q 3. Ratio est; si enim V 3 ponatur esse m a; quantitates illae radicales aequivalent his: 3a & aa; harum autem summa est utique m 5a, & differentia m a. Sehol. Si quantitates irrationales ad expressionem smplieissimam reductae deprehendantur non esse communicantes; tractentur ut heterogeneae 17. reg. s .i . PROBLEMA XXIX. Quantitates radicales imter se mult*Iicare. REsoLUT. Si quantitates radieales non fuerint ejusdem deni minationis, ante Omnia reducantur ad eandem denominationem si OQ; tum eoefiicientes multiplicentur inter lo, & quantitates post radicate signum positae itidem multiplicentur inter te, communi signo radicati
Tetento. e. g. Si Uam multiplieari debeat per V be; reductae ad eandem denominationem abeunt in haar
. v am de in bur sxoo . Itaque fastiren erit lambu Ratio est ; nam assumptae radicalep his aequivalente
an & b a; quae inter se multiplieatae dant factum m
hus afficiantur; eae radieales debent in se ipsas duet. quae totidem radicalia signa ante se habent. o. g. Sit
127쪽
idem est, si V s -- V V a multiplicanda per V sm V V 4. Quantitas radicalis 3 per 5. & a per ε multipli ari e ebebit. eritque hymn totale m V 15 AU V 4- 5 8. Sit enim x et a, V 4 - b. V 4 V s m a. Reapse datur θ -- V a multiplicanda per dx c. Jam vero . uti ex Re Iut. problem. patet. --ctum ex hae multiplicatione enascens est j bd δι- d Iae . quod factum si literis valores numerici resti
ior. PROBLEMA XXX. Datam quantitatem radi
calam per aliam radicalem dividere. REsoLUT. Si quantitates radicales non fuerint ejusdem denominationis . ante omnia reducantur ad eandem denomii a ionem; tum coefiiciens dividendi divudatur per coem lenitem divisoris, S quantitas, quae individendo post dignum radicato posita est . dividatur per quantitatem in divisore post signum radicate positam. e. g. Sit dividendus 6 ab. divisor erit quotus et a Nempe divisio prorsus contraria est multiplicationi, ita ut id totum dissuat divisio, quod multiplieatio componit: quemadmodum ergo in multiplicatione coemotentes multiplicari debent inter se. &quai titates post signum radices e politae itidem inter isi Io6 . ita ex adverso indivisione coeffciens dividendi per coemesentem divisoris. & quantitas in dividendo post signum radi ale posita per quantitatem in divi ore post signum radicate positam diVidatur, oportet. Schol Si quentitates pluribus assiciantur signis radi- ealibus, illae debenr per se se dividi, quae post totidem signa radiealia positae sunt.
128쪽
DE PROBLEMATUM RESOLUTlONE, SEU ANA LYSI. CAPUT PRIMUM.
De Proetipuis Anal eos inerationibus.
1o8. Droblematis nomine hoc tot o venit ejusmodia propositio. qua petitur, ut e datis quibusdum quantitatibus alia incognita quantitas. una vel plures detegantur. e. g. Si quaeratur, quisnam sit ille numerus , qui tribus septimis tui partibus additus e Sciat summam m 6O; problema soIvendum proponi dicitur. Methodus hujusmodi problemata ope calculi algebraici resolvendi vocatur Ana Uis. Porro manifestum est, non posse e datis quantitatibus erui quantitatem incognitam, nisi inter hanc, & illas nexus quidam. & relationes intercedant. Ejusmodi nexus, & relationes nuncupantur conditiones Fr hiematis. e. g. In exemplo nunc allato hae' adnectitur conditio, ut numerus inveniendus, si tribus teptimis sui partibus addatur, accurate emcisi summam α
6o. Quodli inveniatur quantitas , quae id genus datis conditioni ius satist i/t; problema solutum esse dicitur.
13. In qua vis data problematis conditione in voru itur quaedam aequalitas quarundam duarum quantitatum . quae aquatio. appellatur. Unde consequens est. Problema in tot aequationes resolvi posse, quot adjectas habuerit conditiones: scilicet quaevis conditio aequatione sua exprimi potest. e. g. Si proponatur problema de inveniendis duobus numeris, quorum summa sit m io, differentia - a; duae aderunt conditiones, totidemque aequationes. Sed haec ex sequentibus cla
StasI. Universam hanc problemata resolvendi a tem tu quatitor praecipuas operationes generatim dist m
129쪽
hnere Iubest In quibus si Tiro probe exereitatus su rit. etiam in difficilioribus problematis solvendis eum luceessu versabitur.
Ho. Prima analyseos operatio consistit in aecurata omnium conditronum problemata adnexarum dise pone, b apta quantitatum tam cognitarum , quam incognit rum denominatioue. Scilicet Analysta problema quodpiam resoluturus rite consideret imprimis, quisnam sit fatus quaestionis , & quae conditiones problemati adiectae. His probo cognitis dispiciat deinde, quaenam sint quantitates cognitae, quae Incognitae; tum cogniatas quidem quantitates ,rimis alphabeti literis a. b, ecte. denominet, incognitas Vero ultimis x. ν, α. e. g. Si proponatur problema do inveniendis duobus num Tis. quorum summa sit in is, factum autem m 56; Ponat Is 6 m b. unum numerum inveniendum:zz x, alterum m yr scilicet in calculo deinde loco earum quantitatum his literis usurus. Porro denominationes hae ad Iatus quodpiam folii adnotandae erunt; ne eκι idate memoria, quaenam litera hujus quantitatis Ioco usurpetur in calculo. I. Saepius ex ipsis problematis conditionibus d ligenter expensis patet. pro statuendis denomination hiis non dei ere totidem diversas alphabeti literas assumi. quot diversas quantitates problema continet, sed plures quantitates seu eae co*nitae sint, seu incogniatae paucioribus literis exprimi pose. Quo casu eiu modi compendio in statuendis denominationibus utendum omnino est: sic enim facilior evadet problematis solutio, uti deinceps apparebit. Quam in rem tres sequentes regulas. notasse juvabit. Imo. Si in dato problemate duae sint incognitae quantitates, clarum autem sit, unam earum esse duplam alterius; prima d nominetur 'x: at altera non denominetur ν, sed a x.
Si autem altera quantitas esset dimidia prioris, & ista
prior denominaretur x; altera illa deberet poni aeta Et se porro in aliis quoque similibus casibus sive inc gnitarum quantitatum, sive etiam cognitarum. ad .
130쪽
udo. Sint duae quaecunque incognitae quantitates i. dato problemate, quarum differentia d nota sit. Si major quantitas ponatur m x; minor ponenda erit m m- a : si autem minor ponatur m x ; ma 'nda erit m x -- d. Clarum enim est, Ex duaL g quihus-eunque inaequalibus quantitatibus minorem semper esse aequalem maj ri, dempta disserentia; maiorem vero aequalem esse minori, addita disserentia. Sic si assumamus numeros si & 4. quorum disserentia est,a; est utique 4 m 6 -- a, & 6m ΑΜ- a. 3tio. Sint quaeeunque duae quantitates inaequales, quarum summa vocetur s, differentia d; demonstrabi-
mus sequ. Cap. quantitatem majorem esse α'
minorem autem Σα Hoc est, majorem quantita tem semper esse aequalem semisummae addita semidisserentia; minorem autem semisummae dempta se differentia. Unde hoc corollarium eruitur: si duae id e Dus quantitates occurrant in problemate, quarum sum-rha s nota sit. non item disserentia; non est necesse duas illas quantitates duabus diversis literis x & y denominare, sed satis est earundem semidisserentiam ponere m x. Hoc enim posito major quantitas erit m
EXEMPLA Prima operationis AnalysΙ. Detur sequens problema. ' Quidam parens tribuafiliis Dis reliquit hareditatem goo florenorum had Iesse, ut secundus situs I florenis plus acquirat ex ea haerediatate, quam primus οῦ tertius autem tantumdem accipiat, quantum primus, ct secundus smus. Quaeritur, quantum unicuique ex ea nare ditate obtigerit 7 Quantitates, quae hoc in problemate denominari debent, sunt duae cognitae, scilicet numerus 8 . & Ioo; deinde tres in cognitae, nempe singulorum filiorum haereditates. Itaque ponatur imprimis 8oo m. a, Ioo b. Deinde hae
reditas primi filii ponatur m x: quo posito haereditasH s lacu