장음표시 사용
151쪽
assumpto exemplo valor ii cognitae et in numeros reso lutus. est 36; qui Valor si in aequa One V πα. θ - dioeo et substituatur, erit y m h - 36 m6o - 6 24. Denique ii porro valor iste in altera aequatione x m a -- y loco ν substituatur; erit x a - 2ψ m 25 - a zm I. Itaque jam omnium incognitarum valores det cti sunt: est nempe x I. v m aq, zm 36.
I. Herus cum suo servo hoc pastum iniit: pro quot hei die. quo laboraveris inquit herus ad servum praeter victum acquirιs a me 3 siri, et ex adveryo sngulis diebus, quibus feriatus fueris, tu mihi pro victu 7 g U-yν solves. Elapsis a pacti o diebus so nihiι servo debebatur. nec servus quidquam hero debuit. Quoeritur, guot dIebus Iaboraverit Iervus, quot item diebus feriatus fuserit. i t erat. Ima. Ponamus So - a. dies laboris m x, dies seriarnm y. Expendenti sacile paret, solutionem problematis connexam esse tam cum summa grossorum laborando acquisitorum a servo . quam etiam eum sunt ma grossorum ab eodem seriando perditorum: ac pr inde utraque summa denominetur, Oportet. Est autem prior summa zπ 3x, posterior m TF. . ι er. ada. Juxta conditionem problematis dies Ia- horis, & seriarum simul sumpti erant m so ; est ergo x-- y a. Deinde summa grossorum laborando acquisitorum erat aequalis summae grossorum feriando perditorum ; elapsis enim 5o diebus nec herus servo, nec ista illi debuit quidquam: est ergo 3xm D. Operat. via. Ex aequatione prima acquiritur xina -- y. Hic valor si in aequatione altera loco x substituatur . est qa- 3ν - ' . EX aequatione hac per communes regulas 1aM invenitur Valor incognitae 3:3a- est enim demum V m -- Ualor x compendii gratia
152쪽
erat. Asa. Literis numeros substituendo, est y s sO ' Is. Qui valor si in aequatione π - a loco ν substituatur, est x a -IS - ΑΟ - TS - M. Hoc est, servus ille 35 diebus laboravit, & as diebus feriatus est. II. Euelides hoc olim aenigma prhposuisse sertur: γDant Mulus. ει Asna vinum portantes: Afu uis pondere ingemiscenti ait Mulus: quid ita lamentaris y Si evino, quod portas, mensuram unam mihi dederis; onus meum erit duplo majus, quam tuum: In tu a me unam mensuram accep8ris, oequalia pondera feremus. Quaritur, quot menturas Mulus, quot item Asua b ulaverit.
Numerus mensurarum onus muli constituentium sit . x, & numerus mensurarum asinae impositarum sit Imprimis si asina mensuram unam mulo daret ἔmuli onus esset x - - I, asinae autem remaneret onus V -I: porro hac mensurae translatione facta. onus muli per Imam problematis conditionem duplo majus esset, quam asinae, adeoque esset aequale oneri asinae per a multiplicato ; est ergo x-1 - - a. Quodsi autem mulus asinae mensuram daret; asinae onus esset . v in T, mulo autem remaneret Onus x -I: porro hoc casu per alteram probi. condit. aequalia essent ipsorum onera; est ergo x -x Jam ex priore aequatione acquiritur x - 23 -3: qui Valor si an aequatione altera loco x substituatur, est--4
v --1. Hinc y -5. Qui valor si loco εν substituatur in aequatione x - 2 9 - 3, patet esse π - p. III. Quidam certam purae stiginis mensuram solae vendere az grosis, F eandem puri tritici mensuram 88gν os et cuperet autem ita commiscere siliginem cum triat/co, ut mensura mixti frumenti. Iervato priore uisioque pretio, valeat 3o grossos. Quarit itaque, quotam-Mam mensura partem debeat esstcere Digo, quotam trit
quaelitae portiones uliginis & tritici simul sumptae per
153쪽
eondit. probl. debent essicere mensuram unam. Deinde pretium siliginis in ea mensura contentae erit - ax.& pretium tritici hyr hine quoniam mixti frumenti mensura integra debet 3o grossos Valere, erit ax- by π e. Iam ex aequatione prima Requiritur, x-I et qui valor si in aequatione altera loco x substituatur, prita- ay - by- c. Unde per communes regulas 126
demum acquiritur ν - Γλῶ - λ -E. Hic Valors loco ν substituatur in aequatione x di x - ν; patet
e etiam x - Σ - R. Hoc est, una dimidia paraex siligine, & altera dimidia pars ex tritico est accipiendR.
IV. Quidam volans emere factarum vidit ad 7 I bras factari exsolvendas deesse Hi a florenos: itaque nonnis 4 Iibras emit; quibus exsolutis r duos adhuc habuit grossos. Quorritur imprimis, quanti scierit una Ii-hra sachari, deinde quantum pecuniae is emptor habuerit. Omnem pecuniam in grossos resolvamus, adeoquen florenos in εο grossos. Sit autem εο - aς pretium sachari in grossis sit M peeunia tota emptoris itidem in grossis sit V . y. Est imprimis ' - ν- a; est deinde 4x -- y--5. Unde x - 15, & ν - 65. Hoc est. lachari libra vendebatur Is grossis, & emptor habuit Θ grossos, seu 3 florenos, g gro S. V. Determinare generatim factum duorum numero rem, quorum uterIibet decadest minor: e. a. quantumst septies octo. Unius numeri a deeade differentia sit
posterior -IO-y; consequenter factum ipsorum 1o-x multiplicando per To - r erit generatim - ΙΟ - IOx-I- -- . Ex cujus facii contemplatio. hoc theorema eruitur: in aequiratur factum duorum Humerorum, quorum uteriiset decade fit minor; ex Ioo subtrahantur tot decades , quot sunt unitates in utriusque
numeri a decade differentia , s res o addatur factium
earundem disserentiarum. E. R. Quaeratur, quot sint septies octo. Numeri r a io differentia est 3, numeri s. a; adeoque utraque simul differentia est 5, & factum earundem differentiarum est 6. Itaque s deca
154쪽
des seu so subtrahantur a roo, & residuo 5o ad dantur ci; acquiretur numerus 56 - 7 μ 8. Scho I. Ex hujus problematis solutione intelligi
po sit rheori , ejus multiplicandi l raxeos. quae Vulgo Tubula Pigri nuncupatur. Nimirum concipe IO d pressos man Mun tuarum in pugnum contractariim digitos esse totidem decades: eritJumma pser Omnes limul digitos exprecta i OO. Deinde erige tot distitos in una manu, quot unitates continet unius facto, is ital axo dissi retitia - x; in alit in autem manu erige tot digitos, quot unitates continet ulterius factoris dati a Iodifferentia - ν: porro erecti digia non amplius decades, sed simplices unitates Valere concipiantur. Clarum est, per residuos digitos depressos quorum unusquisque, uti monuimus, deradem Valet exprimi summam - I IOx - Iis; quia tot jam delades su tractae sunt a ioo, quot in utraque manu digitΩs erexiasti. Denique si erinos unius manus digitias per erectos
alterius manus digitos multiplicaveris, factum erit --: ii enim digiti datorum factorum a io disserentias exprimunt. Ita e summa per depresios digitos veluti per totidem decadas expressa, addito facto digitorum
erectorum manus unius in erectos alterius manus digitos ductorum. Erit - -- - --xyι Rdeoque erit iplum factum ex datorum factorum multiplicatione ena scenS. e. g. Quaratur, quantum fit 7 R. Quoniam Io - 7 - 3. & Io 8- a, erige in manu una 3 digiatos, in altera a digitos. s deprelli nigiti valent S decades, seu so; quibus si addas erectorum unius manus digitorum in erectos alterius ductorum iactum 6. acquires 56 - 7 8. Item: quaratur. quantum sit moυια novem, seu 9 κ0. Quonism ΤΟ - 9 - Iέ tam in una , quam in altera manu unicus duntaxat digitua
erigatur: depressi 8 digiti valebun r 8o; digiti erecti in se ducti dant sactum x, nam IAI i: est itaque 9 9 - 8 I. Schol. a. Ex his sicile patet, ope tabular pigri nonnisi ejusmodi factorum factum posse compendio obtineri,
155쪽
neri, quorum neuter est minor numero s. & alteruter major eodem numero S.
130. PROBLEMA XXXIV. Resolvere problemata
simplicia indeterminals . . . . .
Rκsor ui. Problematum indeterminatorum solutio iisdem legibus peragitur, quibus determinatorum: hoc uno diserimine . quod in problemate indeterminato cibdefectum lassicientium aequationum non pollint 'Omnium incognitarum Valores calculo erui, sed incogn1tae cuipiam, uni, vel subinde pluribus etiam valor ad arbitrium Analystae statui debeat, atque tunc primum reliquarum incognitarum Valores consuetis analyseos operationibus detegi possint. e. g. Sit propositum problema sequens. Quidam statuit ioci florenos expendere in coemenda triplicis ypecier uina. ma unius vini venditar renis; asterius urna ς florenis; tertii urna 3 sorenis. I ult autem universe emere tantum I 8 urnas. Quaeritur, quoinam tirnas accivere denat ex prima specie, quot ex secunda, quot ex tertia, ut pro Iη urnis nec plus, nec manus DIvere debeat, quam 'Orenos I . . Sit 18-a, XCo - b; numerus urnarum accipiendarum ex prima specie si ν, accipiendarum exspe
dae debeant esse 18, Atque haeduntaxat aequationes possunt ex datis conditionibus erui: hinc quoniam incognitae sunt tres, problema est indeterminatum 13a . Jam aequatio altera transformetur in hanc: x tam a -- ω-Σ & valor iste in aequatione prima substituatur loco x ; erit: Ta - TV
Atuue ex postrema hac aequatione non amplius potest ineognita et eliminari, ob desectum aequationis ter
156쪽
tiae, sed ejus valor ad arbitrium Analystae determinari debet. Qua in re judicio opus est: ne tantos statu tur valor quantitari Z. ut pro alterutra ceterarum deinde ex cali ut 3 prodire debeat Valor negativus. aut nihilo aequalis P namus ergo ese z m 3. Hoc Valore loco et substituto, postrema aequationum praecede T - htium abit in hane: y - - 6. . conte aven er valor incognitae 9 jam innoteseit: si enim literis' numeros substituamus, est:
porro ut etiam valor incognitae x innotescat; inaequatione x a - ν'et substituatur toto y valor nunc inventus m 7 , & loco et valor ruperius ad arbia trium statutus m 3. Hoc facto erit x m 38 -- 7 -- 3m 8. Atque ita habemus jam valores determinatos omnium trium incognitarum e scilicet si ponatur Z . 3,
Ι. Sint inveniendi duo insequalas numeri, quorum facto 1i addatur junima, prodeant 79.
Sit 79 - a. unus numerus quaestus x, alter zzzyr erit eorum laetum - xy, ct summa x- - ν. Itaque per condit. probi. est: xy-- x--yma.
TranSponendo ν, est: Dividendo per ν ---I, est
157쪽
II. Sint inveniendi duo numeri, quorum factum fl
ΙΙΙ. Aoreni roo di ibuendi sunt inter go pauperes, ita ut si vii viri acquirant sor. T. 'gulae mulieres sor. s. re snguli pueri flor. I. Q rratur numerus Grorum ,
. Dividendo per 6, est, ' Α- - 6.
Hoc est, si ponatur 9 m 8, est etiam x ἰm 8, ω ae
158쪽
De Analo Problematum compositorum δε- di gradus.
14o Ci in aequatione composite maximus exponens O quantitatis incognitae sit m a; id genus aequatio dieitur secundi gradus; si dictus exponens fit m 3, vel - 4 &c. aequatio est 3tii, Vel 4ti &e. gradus. Nos, qui solis Tironibus scribere statuimus, praetermissis altiorum graduum aequationibus, utpote quarum resolutionem sublimior Analysis sibi vendieat, nonnisi methodum solvendi aequationes seeundi gradus strictim
x x. PROBLEMA XXXV. Resolvere problemata determinata secundi gradus.
RRsoLUT. Prima , & secunda analyseos operatio 1 Io, & 112 more consuero peragatur: tertia Vero Uperatio, seu aequationis ad unum terminum incognitum, & solitarium reduetio sxas his legibus fiat. Inro. Per communes leges in praecedentibus tradia as, & hactenus usurpatas ita transformetur aequatio, Ni in uno aequationis membro sit imprimis quadratum incognitae, per nullam quantitatem multiplicatum, Vel divisum, deinde omnes illi, siqui adsint, termini, in quibus eadem incognita, sed simplex eomearet; in Hiero autem membro merae cognitae quantitates contianeantur. Hinc si plures diversae incognitae adfuerint in aequatione problematis; consueta incognitarum es minabio 137 instituenda est, priusquam ad sequentes regulas transeatur. Porro dicta sequationis transso matio ita instituenda est, ut imprimis quadratum ineogi nitae sit positivum . cum nullum quadratum possit esse negativum, uti ex n. aT. resi. a. intelligere licet; deinde ut idem quadratum in eo aequationis membro, ad quod pertinet. primo loco scribatur. e. g. Si per adam nalyseos operationem haec obtineatur aequatior 4axo - ax ἔ ea per communes regulas cxis eous-
159쪽
que transsormanda est, dum in hane demum abeat r
ado. Exacta ad regulam primam aequatione, si in uno aequationis membro solum incognitae quadratum fuerit repertum; facile jam absolvitur reductici: nihil enim amplius restat faciendum . quam extrahenda est utrinque radix quadrata sIa6. reg. s . Quae quidem radiκ eX quadraro incognitae reapse extrahatur 8a : in . altero autem aequationis membro extractio radicis nunc adhuc indicetur duntaxat. praes xo radica i ligno. e. n.
Haec aequatio: x a --bin hanc commutetur. x
V a -hi. 3tio. Quodsi autem in uno aequationis ad primam regulam jim exactae membro quadratum incognitae habus rit udnexos sint alios terminos unum vel plures incognitam simplicem continentes, uti superius in eXemplo r=gulae Ima videre est; hoc modo procedatur et uadratum incognitae habeatur pro primo membro qua- rati binomiam radicem habentis. quod membrum in formula generali 83 per a repraesentatur; reliqui adjuneti termini. incognitam simplicem continentes. con-hderentur ut alterum ejusdem quadrati membrum . in formula generali 83 por-aab. Vel per--aab reprae lentari solitum. Hoc pacto illud aequationis membrum erit quadratum incompletum radicis binomiae: scilicet carebit toto quadrato termini secundi radicis. e.
tur αλ pro primo, & --4ax pro secundo quadrati bi- nomiam radicem habentis termino, in formula generali 83 per - stab repraesentari solito; primam aequationis membrum α' - 4ax erit quadratum incompletum
radicis binotitiae. i quo solum quadratum secundi ter mini radicis, per hy repraesentari solitum desideretur. JRm ut valor incognstae in hujusmodi aequationibus detegatur; id genus quadratum incompletum prae-vie cCmplendum est: quae completio priusquam persequentem regulam ψtam, aut stam peraga fur. haec saetenda sunt: I) extrahatur radix ox eo termino. qui pro primo quedrati binomiam radicem habentis membro assumptus est. seu in assumpto eNemplo ex xx; TR-dix illa erit primus radicis binomiae terminus . 83j: a per
160쪽
por duplnm hnins termini primi dividatur alterum quadrati binomiam radicem habentis membrum, nempe in assumpto exemplo dividatur - 4ax per 2ax; quotus enascens qui in asumpto exemplo est -aa) erit secundus radicis binomiae terminus 83 . Porro haec radiκ binomia notetur ad latus solii, tum secundus ejus dem radicis terminus elevetur ad quadratum, quod pariter notetur. In assumpto exemplo radiκ binomia est - x - za; adeoque quadratum secundi termini est
to. His peractis investigetur, num quadratum te mini secundi radicis nunc inventae reperiatur in altero
aequat ion is membro, meras cognitas quantitates continente, idque tum 1igno negativo, an non. Et siquidem repertum fuerit; transseratur mutato signo ad membrum illud, quod incognitas continet. Hoc facto illud aequationis membrum, quod incognitas continet. jam Erit completum quadratum, cujus radix binomia per reg. tertiam determinata jam est: quippe praeter quadratum termini primi radicis, & duplum termini primi iusecundum ductum aderit jam in eo membro etiam quadratum termini secundi radicis. Sic in Exemplo regulae gliae, seu in aequatione x - ub-- 4a , quadratum secundi termini radicis, quod est Aa reperitur inter cognitas quantitates cum signo negativo: quo quadrato in aliud aequationis membrum translato, ita ut sit x --D 4a ab, membrum illud aequationis jam evadit completum quadratum radieis binomiae x- 2a: quippe continet imprimis primi termini radi- Cis quadratum m x , deinde duplum termini primi in secundum ductum m - 4ax. denique termini secundi Iadratum m -- 4a' ; quae partes simul sumptae conituunt completum quadratum radicis binomiae 83 . illaque extrahatur utrinque radix quadrata: ac ejus quidem membri, quod completum quadratum est, radiκ quid rata jam per 3tiam regulam innotuit; in altero autem aequationis membro extractio radicis nunc adhuc indicetur duntaxat, praefigendo signum radicate. e. g. Assumpta superius aequatio - 4ax - qa htransformetur in hanc: x- eta Iah. Quo facto