장음표시 사용
141쪽
Etiam ineognitae quantitatis valor In ipsis numeris elare videatur. Lubeat praxim hujusm. resolutionis viderae in problematis n. Tri propositis, quarum aequationes ultimas paullo superius I 26. Schol. 3. determinavimus. In Pnon L. I. AEquatio ultima, seu ad unum termia hnum, & incognitum reducta, est haee: x m Ia6. Sehol. 3. . Porro hoc in problemate est a m
-go; adeoque est xj Iso. Jam vero x est haerediistas primi filii, vii cit. loco ponitur : Itaque primo filio obvenit haereditas 3so scirenorum. Secundus filius per eonditionem problematis Ioo florenis plus debuit ac quirere, quam primus: secundi ergo haeredios est aso florenorum. Tertius tantundem aequirere debuit. quantum reliqui duo simul j adeoque hujus haereditas est ISO --asO sor. o. flori
ovicolarum numerus est m 36. Schol. Atque hae sunt generales analyseos operationes , quae in quolibet problemate resolvendo loeum habente supersunt adhuc partieulares aliquae regulae, operationesque in certis problematum classibus observandae, quas sequ. cap. pertractabimus. 8.
142쪽
1:8: Postquam solutum est problema, examinandum est, num solutio sit legitimae hoc autem modo i stituendum est examen. Singulis literis tam cognitis a, b, c, &c. quam etiam incognitis x, γ, &c. sed jam detectis, substituantur sui Valores numerici; tum singulae problematis ecinditiones ponantur ob oculos: si numeri 1lli his conditionibus exacte satisfecerint, legitima est solutio; sn minus, vitiosa. e. g. In PROBL. I. per primam conditionem, omnium trium filiorum haereditates simul sumptae debent esse m 8oo florenis : invenimus autem n. I 27. ha reditatem primi filii esse ι5o sor. adi m aso sor. alii nor. Cum ergo sit T5O--25o - 4 m 8 ἰprimae conditioni satisfit. Porro relicuae problematis conditiones erant, ut haereditas seeundi Too florenis sit major haereditate primi. & haereditas alii aequetur haereditatibus duorum reliquorum simul sumptis: eum ergo sit a5o I5O --IOD, & 4oo m I O-- 25o ; etiam Iosteriores hae problematis conditiones implentur. olutio ergo problematis fuit legitima.
De Ana*s Problematum Simplicium speciatim.
aa9. Iroblema vel est possibile, vel impossibile. μθ
hiis est, cujus conditiones non pugnant inter se, ac proinde solutionem admittunt, cujusmodi sunt tria illa problemata. quae praee. Cap. Iar solvimus. Problema impossibila est, cujus conditiones inter se pugnant. e. g. Si quaeratur numerus, qui sit pars numeri si & simul ὲ pars numeri xa; problema impostibile est: ejus enim conditiones inter se pugnant, ut expend2nti patet. TRO. Problematis impossibilitas vel illico ex ipsis
conditionibus rito apprehentis elucet; vel saltem per deserar ram Operationis se se manifestat. quatenus Analy- ta suo calculo ad manifestum absurdum deducitur: ut
143쪽
quum e calculo prodit e. g. totum esse aequale suae parti, esse Amr--4. & similia. I 33. Problema possibile aliud est determinatum, aliud in determinatum Determinatum est, .in cujus solutione cujuslibet incognitae quantitatis valor calculo eruitur. quin ulli incognitae deboat valor ad arbitrium Analystae statui. Εjusmodi sunt problemata n. IIT. proposita. Indeterminatum contra est , in cujus solutione alicui quantitati incognitae valor ab Analysta pro
arbitrio statuitur , ac tum primum valor alterius , Vel aliarum incognitarum e formulis calculo acquisitis eruitur. e. g. Si quaerantur duo numeri, quorum summa sit in I m. quin ulla alia conditio adjiciatur; unus eae incognitis numeris erit x, alter ν. eritque EX conditio
cI 26. per reg. 3O. At porro in calculo progredi non est integrum, & tamen valor incognitae x necdum patet. propterea quod ejus valorem ingrediatur incognita quantitas ν. Itaque problema est indeterminatum, d hetque Analvsta quantitati y valorem statuere ad arbitrium: quo tacto valorem x jam sormula ipsa determinabit. Si enim ponatur ν esse e. g. zα uo; erit x
I32. COROLL. I: Ex aequatione data eatenus erui tur Valor incognitae quantitatis. quatenus ita sentim transformatur aequatio, ut unum ejus membrum solitaria quantitas incognita constituat, in altero autem membro lotae quantitates cognitae reperiantur Ia5 , itaque eX uni 'a aequatione duae incognitae quantitates innotescerie minime possunt. Hinc, ut problema sit determi- . natum , necesse est tot adesse diversas conditiones divertis aequationibus exprimendas, quot incognitae quantitates divertis literis expressae in problemate continentur. Si autem plures diversae literae, incognitas quantitates designantes, reperiantur in problemate, quam lint conditiones diversis aequationibus exprimendae; problema est in determinatum.
i 33. CORO L. II. Quodsi plures dentia diconditio nes. quam sint quantitates incognitae divertis literis HXIrimendae; problema est plus quam determinatum. Sed uiusmodi problemata plerumque sunt impossibilia ob
144쪽
Uagnam conditionum, quae eo casu plerumque adeste potest tamen evenire nonnunquam. ut postquam ex ne cessariis, simulque sufficientibus eonditionibus valorea incognitarum quantitatum erutae sunt, reliquae etiam superesuae conditiones veri ficentur. I34. Problemata tam determinata,' quam indeterminata, alia sunt simplicia, alia composita, seu altiorisphadus. Simplicia sunt, in quorum aequationibus incognitae quantitates ultra primam potentiam non assurgunte composita autem, seu altioris gradus sunt . in quorum aequationibus aliqua, vel aliquae quantitates incognitae ad quadratum, vel cubum, vel altiorem ali quam potentiam sunt elevatae. e. g. Problema illud, eujus haec est aequario: x a - b, simplex est ; compultum autem, si hac e. g. aequatione gaudeat: αλ --
Schol. Hoc cap. nonnisi de problematis simplicibus acturi sumus: ae imprimis quidem de problematis simplicibus determinaris, unicam incognitam quantitatem continentibias ; deinde de simplicibus determinatis plurium quantitatum incognitarum ; demum de simplicibus indetorminatis.
135. PROBLEMA XXXI. RUOIvere problematas plieia determiuata, in quibus unica occurrit quantitas
REso I.UT. Pro resolvendis hnjus generis problematis haud opus est aliis regulis, quam iis, secundum quas, generat S analyseos operationes n. mo, & seqv. pertra-ἐtatae institui debent. Itaque statutis juxta num. IIo denominationibus, eruatur per n. XIa aequatio ; tum per regulas n. Ia6. traditas ad unum terminum incognitum, & solitarium reducatur et denique resolvatur innumeros Iar).
I. Quidam interrogatus. quot m habe et famulos, sic respondit: dimidia pars meorum famulorum laborat in vinea ; Ears tertia piscatur ; tres autem famulos misDeuatum et jam plares non hab8o. Quaeritur, quot iam famulos habuerit.
145쪽
operatio Ima rio . Sit sma; numeras omnium
Oper. ada crast . Quoniam adaequatum famulorum numerum juxta problematis conditionem constituunt para eorundem dimidia, pars tertia, & praeterea tres a
Operat. 3tia Ias . Per reg. X. T26 tollendo primam fractionem, adeoque totum multipl. per
6. Igitur hos valores literis substituendo in aequatione, quam operat. da invenimus, debetet esse 18 πας -- 6 -- q. Quae aequatio eum stet, solutionem legitimam esse evincit. II. Abiit ornavis C us Romam ante dies λ qui singulis diebus emetitur milliaris 3 : nune Titius itidem Tyrnavia Romam movet. idem accurate iter, quod Ca-jus, emensurus, at fingulis diebus confecturus milletaria f. Quaeritur, intra quot dies sit Titius Clum assecuturus Sit 6ma. 3ππο, 5 c, quaestus dierum numerus x. Clarum est, duos hos peregrinos eo temporis. momento conVentur s. quo milliaria ab utroque emensa suerint totidem ; itaque amborum milliaria algebratre exprimenda sunt, & inter se aequanda. Porro Cajus intra dies a. Titii iter praecedentes, consecit milliarium numerum a 4 eonfecturus adhue intra dies x milliarium
146쪽
a tum numerum m h x: hine numerus milliarium a Ca-jo, dum ipsum Titius assequatur, emetiendorum est ab . bx. Titius, qui, antequam csum assequatur. Perget tantum diebus x, conficiet miliarium numerum m ex. Hanc itaque habemus aequationem: cx m ab - b Transponendo bx namcx b x est: ex - θα -- ab; Dividendo totum per c -- b 28. reg. T. est:
AEquationem resolvendo in numeros, est x - - ΚSeu est x III. Data summa, F disserentia duorum numerorum
invenire numeros imos. Sit summa data m s. disserentia m d. Numema quaesitus major sit mx: eo ipso numerus minor est in u.- d. At idem numerus minor est etiam m s - x; si enim ex summa duorum inaequalium numerorum su trahatur numerus major, clarum est, remanere debemnumerum minorem. Itaque est : x - d s - x IOI . Transpon. imprimis - x, deinde α est r
Dividendo per a , est x Hoc est, generatim quicunque sis inaequales numeri asesumantur; semper numerus major es aqualis 'sorum I μ nisummoe addita semidisserentia.
Porror numerus minor est, uti diximus, rata x--αae proinde loeo x substituendo Valorem nunc inven-
tum, est numerus minor mTotumhoe multiplicando per a. acquiritur numeri minoris duplum m s -- d --2d a - ου 8 r quod duplum a s - 4 dividatur per et, acquiritur numerus minor
147쪽
Hoc est, generatim quis que duo inaequalas numeri afjumantur, semper minor es aqualis i sorum semifummae dempta jemissiferentia.
e. n. Si assumantur numeri Tet & 8, quorum semifumma est απIO. semiditarentia M a; erit major, seu Ia I -- 2, & minor, seu 8 Io - a. Schol. Duo adhuc exempla subjicimus ; sed compendio, ut Tirones in iis uberius se te exercere queant. IV. Interrogatus quispiam, quoream flarenos Iucr ' tus sit, respouuit: ' partes mei Iucrι additis ejusdem Iucri l partibus sciunt 34storenos. Quoeritur, quotuam is sorenos sit lucratus. Sit 34 ma, numerus quaesitus x;
U. Aliquot milites certam aureorum fummam hostereptam habuerunt inter se arquatiter dividendam. Pr mum teutarunt Drguli aco ere ex summa aureos 7; at Saureos experti junt deesse fbi ad oequam divisimvem: dum autem leutarunt finguli accrpere aureos 6; examsuccessit diviso , quin ullus ex jumma aurei s aut deesset , aut jupere set. Qiurritur, quot nam fuerint millites illi. Sit
numerus militum m x; ex conditione problematis haec obtinetur aequatio: 7x --- 5 6x. Hinc κ 5. Unde innotescit etiam numerus aureorum m 5 λ 6 3P. 136. Si in quopiam problemate determinato plures occurrant quantitates incognitae, adeoque etiam aequa- tiones 13a); fere quaelibet id genus aequatio plures, quam unam, complectitur incognitas quantitates. Jam Vcro eX aequatione plures ineognitas quantitates complectente nullius incognitae quantitatis valor potest erui; quia nequit ejusmodi aequatio ita transformari. ut unum ejus membrum uniea incognita quantitas solitaria constituat, in altero autem diembro solae cognitae quantitates reperiantur. Itaque ex qualibet id genus aequatione eliminandae sunt incognitae quantitates praeter unicam', ac tum demum unicae hujus relictae valor EX ea aequatione eruendus. Praxim hujus eliminationis dabit sequens., 337.
148쪽
Mes eandem incognitam qnantitatem complemutes t quai titatem illam incognι tam ex alterutra issarum Climinat e.
REsoLUT. Plures id genus eliminationis praxes habentur, quarum jam hanc, jam illam pro Variis problematum propositorum adjunctis Analysta usurpare Ioterit. Ima praxis est persubsut ιtionem: si nempe va-or cujusdam incognitae quantitatis ex una aequatione erutus in altera eidem incognitae substituatur. e R. Ponamus aliquod problema per Edam analuseos operati nem in has duas aequatipnes resolvi: x-- y a. & 3x mari. In priore transponendo V. acquiro x a-yzquem valorem si loco ac substituam in altera aequaticine,
loco 3xm ety aequiro 3a - 3y - 29; hoc est, incognitam x hoc pacto ex aequatione altera Elimino. Ida praxis est per compositionem duarum quantitatum uni eidemque tertiae aequalium: scilicet si e duabus aequationibus totidem valores ejusdem incognitae AEliciantur, & in unam aequationem componantur. 8. g. In exemplo pro prima praxi allato , prima aequatio in hanc transformari potest: x .a-ν; altera in hanc:
x scilicet ope theorematum, & regulinum ad Itiam analyseos operationem pertinentium. Hoc est, duo diverti ejusdem incognitae x valores acquiruntur:
qui cum inter se aequales ese debeant io 1 , in hanc aequationem incognita x jam carentem componi possunt: a ' ν - 3 Curandum autem est, ut duo diversi ejusdem Incognitae Valores, in novam aequationem componendi,
ex ejusmodi do abus diversis aequationibus eruamur, quarum una non dependeat ab altera, seu quarum una in alteram Ope generalium regularum Ia5 transformari non possit: secus enim alores illos componcndo ejusmodi aequatio acquirctur. cujus membra post varias' transformationes demum utrinque sient aequalia nihilo;
cujusmodi aequatio solvendo problemati apta prorsus non est. Sic si quis ex his duabus aequationibus: a -
149쪽
eram, dividendo per a. transformatur duos diversos incognitae x valores eruere, eosque in noVam aequationem, e qua deinde alterius incognitae ν valorem detegat. componere Vellet ἔ irrito conatu laboraret, ut perlatitanti patebit. 3tia praxis est per additionem unius aequationis ad alterami. e. g. Si in aliquo problemate hae duae aequationes inveniantur ex-yma, & x - Η b; addendo sibi has duas aequationes, erit x --yx - y-a, seu erit ax m a - - b r si enim aequalibus addantur aequalia, manent aequalia. Consequenter acquiritur nova aequatio, in qua incognita y non amplius eomparet. At haec praxis nonnisi tunc potest adhiberi, quum per additionem id obtinetur, ut quantitas incognita ob contraria sua signa, quorum unum in una, alte rum in altera aequatione habuerat. se se elidat. 4ta praxis est persubtractionem unius aequationis ab altera. e. g. Sint rursus in aliquo problemate hae dnae
aequationes: x--yma. At x--y h. Posteriorem a priore subtrahendo acquiritur residuum m x -- ν - ω- v m a-b; seu acquiritur zy a - b. At neque
hanc praxim posse semper exerceri, clarum est: ut adeo plerumque alterutra e duabus primis sit arripienda.
138. PROBLEMA XXXIII. MDIvere problemata
simplicia detarminata, in quibus pIures occurrunt quant tales incognitiae. RESOLUT. I Per primam generalem analyseos operationem fiant denominationes more consueto rio . e. g. Sit propositum sequens problema: Mater de trium fliorum ortote rogata respondet: primus cum secundo hahet annos etsi secundus cum tertio annos 6O; tertius eum primo annos 37. Quaritur aetas singulorum. Sint anni
di) Operatione altera totidem aequationes eruanture datis eonditionibus, quot fuerint quantitates incognitae diversis literis denominatae. Atque adeo in assumpto exemplo tres eruendae sunt aequationes: nempe expri-
150쪽
prima conditione hacter x -- ν a; ex secunda haec r&--Σ b; ex tertia denique haec ins Quod ad tertiam analyseos operationem attinet: in id incumbendum est, ut aequationes datae reducantur ad unam . in qua nonnisi uniea incognita reperiatur, ceteris eliminatis; tum ex nova hae aequatione Valor ejus incognitae, quae in ea adhuc continetur, eruatur. Id genus reductio praxibus n. 137 allatis . accedente Analystae judicio, frequentioreque exercitio haud dis- ficulter peragetur. e. g. In assumpto exemplo, ut eliminetur imprimis incognita x, duo istrius Valores , tametsi ab ineognita
nondum liberi, eliciantur, primam aequationem transformando in hanc e xma-ν, tertiam Vero in hanc rx e -- z. Hos duos ejusdem x Valores componendo acquiritur nova aequatio e a - y m c - z, in qum incognita x jam non comparet. Deinde ut acquiratur aequatio, in qua neque x, neque V compareat; aequatio nunc inventa transformetur in nance V m a - c-Σ, & aequatio secunda ν --zm b in hanc: ν b -Σ:hoc pacto aequiruntur duo valores ejusdem incognitam V, solam incognitam E complectentes; quos valores .
componendo exurgit haec aequatio: a -e-z m b-z, in qua jam neque x, neque ν, sed sola ineognita aereperitur. Habita hae aequatione, valor ineognitae E iam per solas generales tertiae operationis leges n. Izo allatas emi potest: juxta quas ea aequatio in hane demum θ - a-c 'ι abit: Σ . Porro inVento Valore incognitae z, facile jam innoteseunt valores Etiam ineomiatarum Wyt at compendii gratia sos in solis numeris sequente operatione invenire satis erit.
Quarta analyseos operatio cra7 hoe modo in
stituenda est. Ualor unius εκ incognitis operation. praecedente plene detectus resolvatur in numeros m thodo consueta; tum valor ille numericus substituatnx eidem incognitae in aequatione altera, alterius incognitae valorem exprimente: hoc pacto jam alterius quoque incognitae valor innotescet, & sic porro. Sic in