장음표시 사용
161쪽
solitarium ferminum. si nempe-za transponatur, ut sit x V ab --- a a. Porro dictum Est superius, investigandum esse. nnm quadratum termini secundi radicis reperiatur in altero aequationis membro tum fgno negativo. Si enim ejusmodi quadrato in altero illo aequationis membria lidinum positivit m esset praefixum ; pro tertio quadrati binnomiam raditem habentis membro haberi nequaquam posset. Assumam iis enim hanc e. R. aequationem: x - .lax h -- 4a . Γametsi - - 4ay sit re ipsa quadratum secundi termini; si i men mutato signo ad alterum aequΑtionis membrum transferretur, ut sit x . t qax - ψa ah, in eo membro quadratum binomiae radicis non compleret: nam -- qa non potest esse quadratum termini secundi. Cum nec positivus. nec negativus terminus possit habere quadratum negativum a I. reg. a .
sto. Quodsi autem peractis iis, quae regula glia exl-git, quadratum secundi termini radicis in silero aequa-t1onis membro solas quantitates cognitas continente non reperiatur cum signo negativo; quadratum illud cum ligno positivo addatur utrique aequationis mem-hro. Hoc pacto comprehitur in uno aequatinnis mem-hro quadratum raditis binomiae, ut clarum est, & si Imembrordm aequalitas retinebitur. e. g. Sit x -- x
drati binomiam radicem habentis membro, &--aam pro seeundo. Erit primus radicis binomiae terminus mper cujus duplum, seu per ax si dividatur -- Iax, ωbtinebitur secundus radicis terminus --a: adeoque totara ix erit in x -a, & quadratum secundi rermim radic)s erit a . Iam quadratum istud , cum non reperi tur in ultero aequationis membro, addatur utrique membro aequationis. ut sit x - - a--ax Σαθ -- a : hoc pario primum aequationis membrum erit completum quadrui um radicis binomiae x-- a. Hinc eR trahendo utrinque radicem quadratam. erit x-a ira
S transponendo a, erit demum x U- - a. Quarta pnalyseos operatio more consueto fit. liis is numeros substituendo Ivj. e. g. In aequatione
162쪽
Sehol. Ex his intelligere jam liter, quidnam sit quadratum incompletum & quando. ac quomodo compleri debeat. Scilicet, quando in aequatione secundi gradus ut de altioribus aequationibus nihil dicam ad regulam primam superius allatam exacta, membrum unum pra ter quadratum incognitae adnexos habet alios etiam terminos unum Vel plures) eandem incognitam, sed simplicem eontinentes ; membrum illud est quadratum incompletum raticis binomiae: nam continet quidem quadratum termini primi radicis. & duplum termini primi ductum in terminum secundum, ut ex tertia regila intelligi potest; at caret quadrato termini secundi. oc ergo eam complari debet ejusmodi quadratum a
secus enim ex eo radix eXtrahi non posset retenta mem-hrorum aequalitate . quae tamen extractio ad detegendum incognitae valorem necessaria est. Hoc autem
Ordine proceditur in complendo quadrator per regulamst iam invenitur uterque radicis terminus, S terminus Leundus ad quadratum elevatur; tum investigatur, num quadratum isthoe reperiatur in altero aequationis membro cum signo negativo, an non. Si reperitur; regula 4ta suppeditat methodum complendi quadratum: fin minus; regula Sis.
PROBLEMATA Determinata Iar graduS. I. Aliquot Patres familias cum suis singuli servis .
ad persciendum quodpiam opus confluxerunt. Singuli patres familias totidem Iervos habuerunt, quot fuerunt omnes smus patres familias: numerus autem servorum erat 6as. Quaritur numerus patrumfamilias. Sit 625 a, numerus patrum similias x. Per condit pro lem. Est x a. ut consideranti patet. Itaque per reg. adam) lassicit mox utrinque radicem quadratam extrahere: ae proinde est x a sag. II. Duo Iusores ex theatro reduces hunc in modum sermocinantur. Primus adsec-dum : tu 4 formis plus Iucratus ra, inquit, quam ego. Secundus ei respondet: fiam mei Iucri. quam etiam tui numerus elevaretur ad
163쪽
quadratum; duo haec quadrata simul sumpta accurate 4 forenos micereΗt. Quoeritur, quot forenos primuS, quot fecundus sit lucratus. ι
erat. Ima. Sit e a, 4 α h: numerus floreno rum, quos primus lusor lucratus est, 1it m x; erit numerus florenorum secundi lusoris α -- a. Operat. ada. Quadratum quantitatis x est Σα x , &quadratum quantitatis x -- a est Σαούλ - aax a 83 et est ergo per condit. probi. 2αδ--2--- a b. Operat. Atia juxta regulas paullo superius allatas facienda. Ut regulae Ima satisfiat, transponatur a ,& tota aequatio per a dividatur: erit α* - a κ αα ' h a -- Porro si per reg. 3tiam' x pro primo, &--ax
pro secundo quadrati binomiam radicem habentis membro assumatur ; primum aequationis membrum contin bit quadratum incompletum, in quo solum secundi termini radicis membrum desideretur. Itaque compleatur id quadratum hoc modo. I Per reg. 3tiam scribetura: pro primo radicis termino. a Per hujus duplum, aseu per ax diridatur ax, & quotus pro se- 2enndo radicis termino scribatur; cujus quadratum est
- 3) Isthoc quadratum, quoniam in altero aequatio-
q. ιnis membro non reperitur, per reg. stam utrique aequa- , a tionis membro addendum est, ut sit x ax -- -
a at -- - - Quo facto anterius membrum arquationis jam completum quadratum est, habens radicem bruanomiam x -- - Hinc extrahendo utrinque radicem
164쪽
κ- I96 - 2 rq - a m II. Itaque primus lusor ducratus est sor. II, alter sor. ΣΩ -- 4 zzz I 6. III. carus agricola ait ad nilum: ego 4 metretis minus feminavi, quam tu feminaveris; re tamen. si me tretor simulor, quasjeminavi, tantum procrear ut, quan tum tu Ieminasti. inferrem in horreum metretaS 65. Quorritur, quot metretas seminaverit Cajus, quot metre tas Titius. , . Sit I 65 m ae numerus metretarum a Titio seminatarum sit α; erit numerus metretarum a Cajo leminatarum m x - 4. Hinc, si metrotae singulae a Cajoseminat 32 tantum procrearent, quartum seminavit TitiusJ Csjus inferret in horreum metretas x - 4 α - α' x. Consequenter est per condit. probi. α - 4x m a. . rPorro quod ad operat. 3tiam per regulas superius allatas instituendam attinet: aequatio haec ad primam e*li regularum exacta jam est. Per rest. 3tiam in 1inisteriore ejus membro habeatur acypro primo qii ad rati binomiam radicem habentis membro, - 4x pro altero zerit ρrimus radicis terminus x, & secundus. - 4xperax dividendo erit - a. Hujus quadratum m 4 si utrique aequationis membro per resi. 5lana) addatur, eomplebitur quadratum in dexteriore aequationiS membro , eritque: xv - 4x - 4 m a - 4. Extrah. rad. quadr. est: Transponendo a, est ἔκ- a m V cI- 4 . x m V a -- ο) - a.
165쪽
complendo pu reg. 3, & s quadratum erit:
a a U. Quidam interrogatuS, quoream aureos nummos, quot item argenteos in marsupio suo haberet. sic respon- ait: s numarus aureorum jubtrahatur a quadrato amemteorum, residuum es ' 395s autom Padratum argenteorum addatur quadrato aureorum, summa es m 425. Quaeritur, quoream habeat aureos nummoS, quot argen
166쪽
- x a, & per stdam est x ν 'mb. Quoniam duae adsunt incognitae, alterutra eliminanda sest. Scilicet ex prima aequatione est y a --x. & ex altera est y b - x . Quos duos ejusdem v Valores com
Tum per regulas superius allatas continuando Dperationem, demum acquiritur π m s. Qui,Valor si in aequatione v a- x. loro x substituatur; est y a
s: unde innotescit ν - sto. Schol. Quandoque accidit, ut aequatio secundi gra-dns inter operandum abeat in simplicem. quin opus sit
eompletione quadrati. e. g. Ouarantur duo numeri,
quorum jumma si ' so, re disserentia quadratorvm
minor m y. vi per condit. probi. imprimis x - - y αa; est deinde α - γ b. Jam ex priore aequatione eruitur esse x - νr , itaque totum elevando ad quadrat. est x m a* --2π-- M . Qui valor si in aequatione altera loeo x substituatur, est a - 2ay - yy-y πα h ; seu est a * - αυ- h. Hoc est , aequatio composta adi gradus jam in simplicem, adeoque communi methodo I38 solvendam abit. Qua quidem methodo reperietur demum esse ym 8, &hoc Valore in aequatione x : a -ν loco νsubstituto reperietur esse x - Σ2.
x ff. PROBLEMA XXXVI. Resolvere problemata
indeterminata secundi gradus. REsoLUT. Incognita quantitas, eui valor quod nimirum ea non possit EN aequatione eliminari) pro arbitrio statui debebit, tractetur interim instar quantitatis
cognitae, omnisque operatio methodo n. IAI traclita instituatur, dum perveniatur ad quartam analyseos operationem. Ad hanc ubi perventum suerit, statuatur ad arbitrium valor ei incognitae, quae hactenus instar eognitae tractabatur: at in eo valore statuendo judicio opus erit, ut nimirum is valor intra limites ab intermediis aequationibus determinatos statuatur, quemadmodum
167쪽
dum monuimus etiam in resolutionIbus problematum indeterminatorum simplicium 130 . e. g. Sint inveniendi duo numeri x re V, quorum factum additum quadrato primi eficiat summam Io5. Sit Ios - a; erit per condit. probi. x -- a. y i y
SECTIO QUARTAE DE VARIlS QUANTITATUM RELATIONIBUS. CAPUT PRIMUM.
De Ratione tam Arithmetica, quam Geometrica; item de Proportione Arithmetica.143. Putio est habitudo quaedam duarum quantitan tum ad se invicem comparatarum. Comparantur autem duae quantitates inter se, ut innoteleat,an. u quantum altera excedat alter8m, Vel quoties una in alia contineatur. Hinc dupfex est ratio: nempe alia est arithmetica, geometrica alia. Ratio arithmetica est habitudo duarum quantitatum quoad diserentiam; ita ut ea disserentia , quae obtinetur unam qu9nhitAtem ab altera Lbtrahendo, indicet earundem quantitatem ratio- ooste
168쪽
nem arithmeticam. Sic rationem arithmeticam numerorum 8 & Io, indicat eorundem disserentia πι 2. I 44. Ratio geometrica est habitudo duarum quantitatum quoad quotitatem; ita ut is quotus, qui obtinetur unam quantitatem dividendo per alteram , indicet rationem geometricam earundem quantitatum. e. g. Si quaeratur ratio geometrica numerorum a & 6; divido 6 per et, & quotus 3 indicabit, numerum 6 esse triplum numeri a. ac proinde a esse tertiam partem numeri 6 r
vel vero divide a per 6, & quotus - α -- indicabit,
numerum et esse tertiam partem numeri O, ac proinde hune esse illius triplum. Unde patet, duarum quarumpiam quantitatum a & b rationem geometricam perinde innotescere, sive a per L . sive b per a dividatur. I 45. Quantitates. quae ad se inVicem comparantur, tam in Arithmetica, quam geometrica ratione voeantur termini: scribuntur autem in eodem uterque ordine, interjectis inter ipsus duobus punctis. e. g. a: o; id quod in ratione arithmetica sic enunciatur : a dissert a 6; in geometrica autem sie: et se habet ad 6. Prior te minus Vocatur antecedens; posterior consequens. Sic in ratione ae 6, antecedens est a, consessuens autem 6.
i 6. PROBLEMA XXXVII. Conspuere formulam
generalem, quae repraesentet quamcunque rationem arithmeticam.
R Asotu T. Cujusvis rationis arithmetitae antee dens potest appellari a, disserentia d. consequens Vel erit major antecedente. vel minor; quippe hujusmodi comparationes nonnisi inter inaequales quantitates institui solent. Si fuerit major; constabit ex antecedente addita differentia, adeoque erit m a -- d: sin autem minor lacrit; constabit ex antecedente dempta disserentia , ac proinde erit m a - d. Ergo quaevis ratio arithmetica bene repraesentatur hac formula: a: a id est, vel hac: a: a --j, Vel hae: a: a - β.Schol. Tam et si quaelibet ratio arithmetiea seorsim considerata bene repraetentetur hac formula: a: a --d; nihi-
169쪽
nihilominus si duae rationes arithmeticae antecedentibus. & disserentiis discrepantes comparemur inter se, Iron hene reprae entatur utraque per ea noem sormulam: sed si una repraesentetur pεr dictam formulam, altera, quemadmodum alium habet antecedentem, & differentiam, ita per formu an aliis literis constantem repraesentanda erit. e. g. Antei edens alterius rati nis dicatur θ, disserentia c: eam rationem rite tepraesentabit formula, b: h-- e. Quodsi tamen eadem luerit utrius que rationis disserentia ς litera d in. utraque formula r tinenda Erit, ita ut rationem primam formula a: a -- Lalteram formula b: θ -- d repraesentet. gr. Quotus ille, qui duarum quarum piam quantitarum rationem geometricam exprimit I 44 , vocatur exponens rationiS geometricae. Jam aliqui pro exponente sumunt eum quotum. qui acquiritur antecedentem dividendo per eou equentem; alii autem eum. qui nascitur ex divitiones conis quentis per antecedentem. Uterque quotus perinde exprimit rationem geometri- eam duarum quantitatum ad se invicem comparatarum, uti n. 144 Vidimus: consequenter perinde est. sive eum quotum assumas pro exponente rationis geometricae, qui nascitur ex diYisione anteeedentis per consequentem, sive eum, quem dat consequens per antecedentem divisus. At si alterutrum lemel elegeris, eundem deinceps modum constanter retineas, oportet. Nos constanter pro exponente eum quotum habebimus. qui ex divisione consequentis per antecedentem enascitur. Sici
in ratione ae 6, nobis exponens est m -- m 3.21 8. Quaelibet quantitas a dicitur eo majore in ratione esse eomparate ad aliam quampiam quantitarem b, quo eadem quantitas a comparate ad b major fuerit. Sic I numerus 3 comparate ad 6 est in m jori ratione. quam comparate ad 9: nam 3 comparate ad 6 est Apars, & comparate ad 9 est tantum k pars. a Numerus 8 est in majori ratione comparate ad a, quam com
parate ad 4; quippe S est quadruplus numeri a, & nu
170쪽
meri 4 est tantum duplus. 3 Numerus xa est in majori ratione comparate ad 4, quam sit 6 comparate ud 3; nam Ia est triplus numeri . & 6 est tantum duplus numeri 3 &c. Unde si pro exponente rationis geometri- eae uti nos constanter laeturi sumus) is quotus assumatur, qui nascitur di Visione coniequentis per antecedentem; eo majori in ratione est ameredens ad con sequentem. quo minor fuerit exponens rationis, & contra. Sic si assumamus rationes st: Α, & 3: 0; expo- nens prioris rationis est a, posterioris est 3: est autem
prioris rationis antecedens in majore rAtione comparatEad suum consequentem, quam sit antecedens posterioris ad consequentem suum. contrariam obtinet fi consideretur ratio consequemis ad Entecedentem: nam e.
g. in assumptis rationibus z: 4 & 3 : 9, quemadmodum
prioris exponens minor est exponente posterioris . ita consequens prioris in minori ratitane est comparate ad suum antet edentem, ac sit cDnsequens posterioris ad antecedentem suum.149. COROLL. Quoniam eXponens indieat. quanta nam sit geometrica ratio duarum quarumpiam quanti latum ; duas id genus rationes , quarum idem est ex ponens, aequales esse oportet: & Vitissim, si duae quaepiam rationes sint aequales ἰ eundem utraque EX ponentem habeat, ust necesse. e. g. Rationes ae 4 S 3: 6, eo ipso quod eundem habeant exponentem nempe a), sunt inter se aequales; & quoniam sunt aequales, diversos habere exponentes omnino non possunt.
1so. PROBLEMA XXXVIII. Conseruere formulam
generalem, qua reprasentet quamcunque rationem geometricam.
REgor UT. Cujusvis rationis geometricae antecedens potest appellari a , exponens vir quibus positis consequens erit am. Cum enim EX ponens rutionis nΟ- bis sit is quotus, qui oritur divisione consequentis per antecedentem I47 ; reapse consequens rationis est dividendus, antecedens divisor, & EX ponens quotus: atqui divisor in quotum ductus semper est aequalis dividendo Arith. 55 ὶ; quod si ergo antecedens rationis dica-Horvalli Mathesis. Tom. I. I.