장음표시 사용
61쪽
SHo1. Examen rite peractae additionis fit ope sti tractionis sequ. Probi. pertractandae. EXEMPLA Additionis avebraica.
REsoLυ T. Pars subtrahenda subseribatur quantitati minuenda, seu uti, ductaque linea transversa mutentur signa omnia partis subtrahendae in contraria, nempuν - in , &-- in tum eadem para subtrahenda jam contrariis signis assecta addatur per regulas superiores 7 quantitati minuenda: summa ex hae addiatione enascens erit ipsum residuum quaesitum. e. g.
62쪽
Quod antem haee summa sit ipsum quaestimn residuum,
hoc modo demonstratur rao. DKΜoNATR. Terminus subtrahendus vel est po-fitivus, Vel negativus. Si positivus Est ritae subtrahitur, si mutato signo addatur quantitati minuendae: positivum enim tollere idem est, ae tantundem negativi addere 8 . Si est negativus; negativum tollera idemsest. ae tantundem positivi addere: sic si tres florenos alteri debeas, id est , si tres Domnos negativos habeas ; hi trea negativi florent tollentur tibi. si totiadem norenos reapse aequiras: ergo negatiVua quoquct terminus rite subtrahituri si mutato figno quantitati
minuendae addatur. Consequenter generatim, quanti tates: quascunque algebraicas subtrahere idem est, aeeasdem mutatis in contraria signis quantitati minue da addere. 4
III. Minum. 2a hc - - 4a bc -- Tora -- sSubtrah. a' he - a he -- cd-3D- γResiduum a be , sa be --ς4-7ra Sehos. Quemadmodum de numeris loeuti sum c Arith. 38, 3o. & εω , ita etiam algebraleae addictonia examen per subtracti nom, subtractionis vero per additionem obtinetur. E. g. Imum additionis algebraicae exemplum n. 18. in Scholi est legitimum; quia si ex summa sax-bx, subtrahar unam partium addendarum, e. g. hane: aax- 3bx -- a de , residuum est aequale alteri parti addendae, seu hnie: Rax 4bx-ade. . Item e. g. adum subtractionis algebratem exemplum paullo superius hoe num. ao. allatum, te
63쪽
addas parti subtrahendan - a b - - a c -- 3; summa ex hac additione enascens est aequalis toti, seu quantitati minuenda qay b - 2 aλ ί - X.
ax. PROBLEMA III. Quantitates a ebraicas murutiplicare. RESOLUT. Imo. Scribatur multiplicator infra multiplicandum, ductaque linea transversa. per singulos multiplit atoris terminos multiplicetur quilibet terminus multiplicandi. Haec autem multiplicatio fit praecise conjungendo literas multiplicatoris cum literia multiplicandi. e. g. bi terminus ab multiplieandus sit per terminum tu; factum est ab ed. Solent autem hujusmodi literae ordine alphabeti scribi. e. g. Solet scribiab. non ba. ceterum tametsi ordo alphabeti plerum-
Se obserVetur, is tamen non est prorma nectigarius. um enim idem fastu prodeat, sive quantitra a multiplicetur per b, sive b Der a, uti ex Arith. n. 43. interu1igero licet; factum ab prorsus idem esie debet cum
a . Quod attinet ad innum facto ex terminorum
multiplications. enascenti praefigendum: videndum est. num factores contrariis signis affecti sint, unus positi- o, alter nisgativo; an Vero uterque factor eodem signo gandeat, scilicet vel uterque positivo , vel uterque Megativo. Si factores contrariis signis sint affecti; facto exi eorum multiplicatione enascenti praefigi debet fgnum negativum -- Sic si debeat multiplicari -- .ia per -- sd; acquiritur factum - abcd. Quod si autem uterque factor eodem signo gaudeat, sive positivo, sive negativo i facto signum politivum -- est prae figendum. Sic si debeat multiplicari- ah per-- ed; acquiritur factum -- abcd. Pariter si - ab per-ρd multiplicandum fit, est factum -- abcd., 3tio. Coesticientes terminorum multiplicentur inter
se more aliorum numerorum, eorumaue factum praefigatur facto literati. e. g. Si multiplicari debeat et ab per Aed; erit factum m 3 ab ed. Scilicet coefficientes
a & 4 multiplicantur inter se, eorumque factum a praefigitur facto literati.
64쪽
to. Si litera quaepiam in utroque factore reperiatur ; ea non debet in facto bis scribi, sed semel duntaxat: at ejus exponentes. quorum unum in uno tactore habet, alterum in altero, in unam si immym colligantur, haecque summa adscribatur ipsi in facto pro exponente. e. g. Sit ax h multiplicandum per ae r litera a in facto semel duntaxat scribi debct; at pro exponente adseribatur ei a dextris sursum Versus numerus 3, cum ejus exponens in multiplicando sita, in multiplieatore autem sit unitas subintellecta . horumque eXponentium
summa sit m g. Hinc a kκ ae est m a 3 he. Eodem modo a 'ma 3 m a s; ab λ λ ab a bu amb ab αα & sie porro. sto. Postquam singuli quantitatis multiplicandae te mini per singulos multiplicatoris terminos multiplicati fuerint; sacta particulari a juxta leges additionis 17 colligantur in unam summam: summa haec erit ipsum totale factlim. e. g. ' Sit RDItiplicani a - - 2b - es Itιplicat. a - a b
Scilicet a A a est per reg. 4. m a , quod proinde infra lineam scribatur. Deinde a b -- a sper reg. a. Est m -- aa b. Denique - tκ - a est per reg. 4. 2α - ac. consequenter totum multiplicandum per primum multiplieatoris terminum . . seu per a multipli-rando, aequiritur factum partiale, in prima infra lineam serie scribendum, m a --aab- ac. . ' . Per alterum deinde multiplieatoris terminum, seu per - a b multiplicetur totus multiplicandus. Ae imis primis a A - ab est mi- a ab. Deinde -- a b λ- , b , Denique - c -ab--αbe. Atque
adeo alterum partiale factum, in secunda infra lineam serie scribendum, est Σα - a a b - 4 b -- a b ci
65쪽
. Denique si partialia haee facta juxta regulas additi
nis c17 in unam summam Oogantur; erit totale factum
aa. DEΜONSTRAT. Regula Tma est hypothesia Arith. Diximus enim num. 9. receptum in Alge-hra multiplicationis signum esse id quoque, si factorea absque ullo signo interjecto conjungantur. Regulae adae pars ima, quod nimirum facto negat Vum lignum sit praefigendum, si factores contraria signa habeant, facile patet. Eo enim casu factum consu git ex faetore negativo toties sibi addito, quoties in altero factore positivo unitas continetur Arith. M, MM.ὸ et ergo eo casu factum negativa quantitas sit, oportet. Sic o. g. et florent negativi id est, debitum a s renorum ter sumpti utique summam negativam essiciunt, scilices debitum sex florenorum. Eo ipso autem patet, facto illi negativum signum esse praefigendum. uSdem regu Iae ador pars altera, quod nimirum facto positivum signum sit praefigendum, si iactores eodem signo gaudoant, sie ostendo. Si uterque factor eodem signo gaudeat; vel uterque gaudet signo potat ., Vol utersve negativo. Si uterque factor posit Uus sit; perspicuum est, factum quoque positivum effodebere: tunc enim factum eon iurgit ex uno sectompolitivo toties sibi addito, quoties unitas in altero factore positivo continetur Arith. eit. . Sic a forent ter accepti emetunt utique summam positivam sex no-Xenorum. odii autem utorque factor nuativus fue-Tit, hoc modo regnia demonstrari potest. Sint sin
Tes negativi -- a, & - h. Certum est per reg. r. iactum literale esse debere ab; dubium tantummodo est, debeatne esse . - ab , an - ah. At ajo, non posse e ah έ & sic declaro. Concipiamus factorem - a
multiplicari iam pera in b. jam per a - h: nequit idem
utroque casu totale factum prodire; nam in priore ea- si ,-- a toties debet in facto contineri, quoties unitas Eontinetur in multiplicatores a b, in altero autem casu idem - a nonnisi toties continetur in facto, quoties unitas in factore a - b. Atqui si a --θ esset - - ab , idem prosecto totale tactum prodiret . sive
se a pera sive per a - b multiplicetur. Nam in prior
66쪽
priore easu per Imam hujus regulae pariem Jam d
monstratam factum totale est πι - a - abe in easu altero per eand. Imam reg. partem primum farium partiale. seu - a Ma est j - a' ἔ adeoque 1i praeterea. am- besset πι- ab. etiam in casu altero factum totale esset πι - a - ab. Ergo - a multiplicatum Ier - b, tactum politivum -- ab det, est necesse. Sci-icet, quemadmodum negare negationem est Urmare, ita etiam negativam quantitatem per negativam multia
plieare, est factum positivum producere. Ratio regulae 3tiae est. Si enim e. g. eta sit multipliacandum per qb, factum esse debere M sab, sic demonstro. Ponamus esse a me m. &4 m nr erit imprimis per reg. Imam aam 4b mua b; erit deinde m n πα8. Itaque insacto innab loco mn substitui pot0st 8.eritque ga ψh 8ab. Eodem modo in quolibet alio eam veritas regulae ostendi potest. Regulae ηtne ratio est. Si enim e. q. a sit multiplicandum pera', factum esse debere m ar sic ostendo. Est a m a a, &a aaa I5 : ergo a multiplica re per a idem est, ac aa multiplicare per aaa. Atqui, si aa multiplicetur per aaa, est factum m aaaaa; ergo idem est factum etiam tunc, ouum a multiplicatur pera . Jam vero est araaa ar I5 ; ergo si a multiplieetur a , lactum est mas. Atque demonstratio haec cuilibet alteri casui particulari aeque accommodari potest. Regula sta demonstratione non eget. .
67쪽
Schol. r. Si indicanda sit duarum polynomiarumi quantitatum multiplicatio mutua, quin eadem multi plicatio reapse peragatur ; quantitates illae seorsim parenthesi includi solent, interjecto ipsis multiplicationis fgno A. aut puncto, vel etiam nullo signo interjecto. g. Si seribatur: a- b) c- d . vel a --b . e - d), vel ca- b) e - d); indicatur, quantitatem polynomiam a -- b multiplicari per c - d. Similitero. g. M -- m) X significat, quantitatem polynomiam M --m multiplicari per X. Schos. a. Examen rite peractae multiplicationis opedivisionis docebitur Cap. I qu.
α3. ΓΗΚOREMA I. Si uterque terminus, tam diu dendus, quam divisor, fuerit positivus; quotus
quoque positivus si, oportet. Pariter positivus es quotus , s tam diviveudus terminus, quam etiam divisor fuerit negatiνus. DI MONSTR. Ima pa tis. In legitima divisione, si divisor ducatur in quotum, tactum inde enascens debeteste aequale dividendo Arith. s5. : sed si tunc: quum tam terminus dividendus. quam etiam divisor est positivus, quotus efies negativus; is quotus in divisorem ductus non eget aequalis dividendo, seu non redderet dividendum: quotus enim negativus in positivum diviso.
68쪽
visorem ductus dat factum negativum, non positivum a T. reg. a. ; ergo si uterque terminus. scilicet tam dividendus, quam divisor positivus suerit, quotus ne quit ese nogativus, ac proinde positivus sit, oportet. DEΜONSTR. adre partis. Nam quotus in divisorem ductus restituere debet dividendum , uti nunc dictum est: atqui. 1i in dicto eam quotus esset negativus , is in divisorem pariter negativum ductus non restitueret, dividendum negativum, duo enim factores negatividant factum positivum , non negariuum s aT..reg. a. Ergo, si tam divisor, quam dividendus fuerit nigativus, quotus enascens positivus 1it, oportet. 24. COROLL. Ergo gancratim, si divisor & di viadendus eodem signo gaudeant, sive positivo, sive negativo; quoto ex divisione enascenti signum μή est praefigendum.
dis. THEOREMA II. Si quantitas negativa per
quantitatem positivam. aut postia per negativam diu datur, quotus est negativuS. D ΕΜONSTR. Quotus enim positivus in divisorem ductus in neutro casu restitueret dividendum, ut conta. deranti clarum est.
26. COROLL. Igitur generatim, si divisor & dividendus contrariis signis assiciantur; quoto ex divisi noenascenti signum - est praefigendum.
α . PROBLEVA IV. Quantitatem auebraicam monomiam per allam monomiam csquidem divisio posstibilis sit) dividere.
RESOLUT. Dispiciatur, num totus divisor contineatur in dividendo tanquam unus factorum e & siquidem contineri deprρhendatur; possibilis est divisio actua: is. e. g. Sit dividendus a b. divisor a. Video. divisorem hunc in ah totum contineri tanquam unum factorum; nam quantitas a b constat ex a & b tanquam saetoribus, cum nihil aliud sit ab, quam a multiplicatum per b: concludo itaque possibilem esse hoc in ea sudivisionem actualem. His autem legibus peragenda est id genus divisio. Imo. Videatur. quisnam 1it alter ille saltor, qui praeter divisorem in dividendo contine tur : atque alter ille factor erit quotus quaesitus. e. g.
69쪽
Sit dividendus a b. divisor a. Quoniam In ab praeter divisorem a alter factor b continetur; ex hac divssione
enascena Ducitua est h. Ratio est e nam si aliqua quantitas constet duobus quibusdam iactoribus; in ea qua titate toties continetur unus factor, quot unitates alter factor in . se continet s Arith. 44. z consequenter a in ab continetur per h; hoe est, a in a b toties eontinetur, quot unitates continentur in h: adeoque si ab dividatur per a , quotus est θ. Pariter si ab e dividendum sit pera, quotus est her possum enim terminum . a be in duos factores a & he resolvere; hine si is terminus dividatur per o, quotus erit alter iactor b c. ix ado. Coemiens dividendi dividatur per coessicientem divisoris. o. g. Si gab dividi debeat per M, quotus est αb. consideranti enim facile patet, hac ratione acquiri alterum illum factorem, qui in dividendo pra ter divisorem continetur, quemve ipsum quaesitum quo tum esse, paullo superius in reg. Ima vidimus. Sio 8a b non aliud utique est, quam divisor Aa per ab multiplicatus. Quodsi autem coemeiens dividendi nequeat exacte dividi per coemeientem divisoris; indicetur tantummodo divisio, eoemeientem divisoris scribendo infra e mcientem dividendi lineol. interjecta. e. g. Si .a ab dividi debeat per 3a, quotus est b. vio. Generatim, si quas literas communes habeant. divisor & dividendus; eae in quotci semel duntaxat
scribantur: at id genus litera in quoto alium jam exponentem habebit, ae habuerit in divisore, vel dividendor scilicetis exponens, quem ejusmodi litera in diviasore habet, subtrahatur ab eo exponente . quem habet in dividendo. atque residuum ex hae subtractione resultans adscribatur ipsi pro novo exponente in quoto.
vero si aaab dividi debeat per aa, quotus per reg. I. est a b. quippo quantitas uaab praetor divisorem aa continet in se Iactorem alterum ab: Ergo etiam, si a b dividatur per 'a , quotus est ab. Hoc est, litera a. quae communis est tam divisori, quam dividendo, semel duntaxpi ponitur in quoto; at novum habet exponen-
70쪽
tem , scilieet unitatem c solitam &bintelligi duntaxat.
non expresse seri bi quae est disserent1a enascens ex subtractione exponentia a ab exponente 3. amb per a dividi debeat, quotus est am- b. Quodsi autem eiusmodi litera eundem habeat exponentem indivisore, & in dividendo ; ea in quoto pro noVo exponente acquiret eterum . si enim unus exponens ab altero sibi aequali subtrahatur, refiduum est utrique Zerus e porro omnis quantitas habens pro exponente zerum. est aequalis unitati, uti μqu. Sett. demonstrabitur; itaque tunc loco id genus literae sulficit in quoto ponere , aut subintelligere unitatem. e. g. SI ab divida tur pera; juxta regulam hanc quotus est a'θ ab , seu quoniam unitas in consortio alterius laetoria subintelligi duntaxat, non expresse scribi solet, eit - λEodem modo si a x b dividatur per a . quotus est b. ato. Quod ad signum quoto praefigendum attinet, haec generatim regula est yrae oculis habenda: si divissor, & dividendus eodem signo gaudeant. siVe politivo, sive negativo; semper quotus est positivus, atque adeo signum - - ipsi praefigendum. a et quodsi autem divisor & dividendus eontraria signa habeant, quoto, ut- Dote negativo, signum praefigi debet 26 . oic u. . a b per h, Mei - a b per - b dividatur; pro quoto obvenit - ar at, si - ah per-b, Vel - ab per. h dividi debeat; quotuS Est a. . Schol. Si in dividendo non contineatur totus diu sor, tanquam unus ex sectoribus dividendi; non est tentanda divisio, utpote impossibilis. sed 1ndieanda duntaxat, dueendo lineam transversam infra dividendum.
subseribendoque divisorem. Sie si dividendus ut ab , divisor de; quotus hoc modo est exprimendus et T
Saepe tamen evenit. ut, tametsi totus divisor non contineatur in dividendo tanquam factor, aliquae tamen literae, una vel plures, communes sint dividendo ocdivisori. ut si dividendus sit a b. divisor ber quo casu in exprimendo quoto compendio est locus. e. g. Iuaxemplo nune memorato quotus est qui compeR-