장음표시 사용
51쪽
si AD LOCUM gitudo ducetur. Quae circumibit autem ilinea,eiusdem spatij erili,cuius ea quae cenultra contincti Ira quicquid fornaae quadrati detraxeris,
ain plitudini quin peribit. Ergo Sc id fieri potest, ut maiore circuitu, minor loci amplitudo clauctitur. Hoc in planisuram in collibus, valiabus etiam imperito patet plus ti esse quam coeli. Quid et quod se
eadem geometria tollit ad rationem usq; mundi.lia quacum syderum certos, constituto cursus numeris docet, discimus nihil esse inordis natum,ato sonuitumaluod ipsu n nonnunquani perii re ad orato
rem potest. Hucus. Fabius. Huiusmodi autem propositum parum ab his in
relligi,qui geometrici non norunt nullo uni etaperientia compertum habeo. Istis igitur succurrendum soro putaui, rem ipsam figuris,& schol assic explicando,ut vessolius sensum visionis lacere non possit. Adueriendum imprimis locum istum a FG bio tractari more suo, lioc est rhetoricc magis, quam geometri . Ludit enim copi verborum, quod geometra non facit. Propterea qii 3d dcfinita sunt in arte vocabula quorum terminos egredi non est legitimum.Hic enim quod dicitur: Quorum i corum extremae lineae eandem mensuram colligunt, eorum spatium quot, quod sitneis continetur,parsit necesse est: sic proponeretur secundum artem. AEquales sunt
Planae figurae, quarum perimetri sunt aequales. Exempli gratia. Sint quatuor lineae rectae b a quidem longa tres pedes, cum nouem undecimis unius pedis, ct d s sit trium pedum, & k l quatuor, & n q quinci . Et secetur ipsa b a per aequalia in puncto c. Et centro quidem ci spatio vero eb.describatur circulus bae. Et eκ linea df, describatur quadratum d st h. Et super linea h l, constituatur triangulis aequilaterum L l m.& ex tribus lineis p q pedum p n pedum 3, & n q, constimatur triangulumn q p.Sciendum est aut an omni figura plana lineam, vel lineas sub quibus ipsa si-gura cotinetur, vocari perimetron,qualis est linea ba m qiis etia perii heria dicitur in circulo. Et in quadrato d fg li,quatuor ipsius latera dicunturpet metros. Et in trian gulis him,&nqp similiter. Huiusmodi autem perimetron Fabius ad orationis Osenatum, nominibus, & periphrali vario ponit: moL vocans lineas locorum extremas,modo circuitum,& circoncurrentem tauram,alias spatium extremitatis, alias in .ram,& circui ductum, rontem, i e latcra,at j etiam longitudinem. Cum autem di
culi diametros b a sit pedum trium cum nouem undeclinis, erit secundum Archimedem perimetros bea pedum duodecim. Est autem&quadrati d fg h perimetros pedum D, totidemq; perimetros in utrocr triangulo k l m,& ii q p. igitur qua tuor figurae, circulus, qtiadrata, & duo crinona, cum perincti os habeant aequalcs, et se debent ex propositione praemii na, aequales inter se. Quod minime vertam est. Quoniam sicut ait Authoc plurimum refert,cuius sit formae ille circiliciis. Datis e nim in circulo, & quadrato perimetris aequalibus: circulus maior erit quadrato, i cnon solum quadrato ed etiam qualibet alia plana figura is operimetra. Datis insim per Perimetris aequalibus in quadrato, dc duobus trigonis, Micio quide aquilatero,
52쪽
es altero laterum inaequalitum, quod scalenum dicitiis alus erit quadratum aequblatero trigono,& aequilaterum maius scaleno. Hoc autE in exemplo nostro fiet eubq ntissimum, per tetragonismo figurarum, quem ita disposui,ut descripta sint quamor quadrata,n quidem aequale circulo bea, & C aequale quadratod fg h, D au tem aequale trigono k i iii, & E aequale trigono ii q p. Videnius itacν quadratumn omnium ere mavimum, & quadratum C, maius quadrato D, & ipsum D in ius quadrato F. de patet magnitudinem insularum ab historicis non recte signa xi nauigationis ambitu,hoc est insularum perimetro. Ponamuq exempli causa, qua tuor insulas forma, & ratione similes esse iam descriptis circulo, & quadrato, atque trigonis duobus. Erit ergo nauigationis ubi ν circuitus dierum totide,cum tamen sit magnitudo dispar. De qua semper erit incertum, nisi clim perimetro designetur& so a. Sed probationem istam non nescius author, his obscuram fore,qui datis lauris aequalia quadrata constituendi peritio non habent, ad expcrimentum vi
53쪽
nare descendit, de IiirI inrsura, qua sub eadε perimetro aurit, vel miniit mittaso formae. Et istorii figuratio talis erit. Describar parallelogramsi re.' inguisi,ita ut ipsius latitudo. B D sit dimidiu logitudinis B C. Et ex linea G K,qhaesit aequalis tribus quartis ipsius BC describatur quadratu G K ponatiir ipsa B C este pedat . Erit igitur BD peduiro,&G K pedurio. Rursus describatur quadratu NI', cuius utera singula secentur aequaliter in partes decem, & puncta sectionis duorum
inoppostro laterum Enectantur nouem parallelis. Et similiter reliquori in pim cta laterum totidem parallelis connectantur, quaequidem parallelos priores ita decussabitnt, ut N P diuidatur incentu quadrata. Itondescibatur parallelogramum rectan tu, cuius logitudo H Q sit tali ii quindecim, quali uestN P quadrati latus decem,&latitudo H F similliter talium quin p.& ipsem re tangulu FH Q l duo inlonginu quatuor c inlatum quatuordecim parallelis de sietur in quadra ' in septuagin
54쪽
ta septuagintaquin*. Rursum describatur rectangulum, cuius latitudo r tisit unius iam positae mensurae,&longitudo rX nouendecim,&ipsum rei tangulum lx dotii datur in quadrata nouendecim duetis scilicet in latum parallelis decem de odio. Sic igitur se habent demostrationis huius quinψ figurae, quas una cum ipsius verbis auuioris breuiter explicabo.
Expositio verborum tablin Q ς O R V U- id HS figurarum, quae Se aliquando dicuntari ab
Euclide rabeiae, id est loca, Extremae lineae d est perimetri. Eandem mensuram colligunt. id emunt aequales. Eorum lium Spatium figurae nihil aliud est quam ipsa figura, de
alias dicitur area,g G-ν. Par sitiid est aequale. Par autem in arte, nunquam resertur ad quantitatem continuam, sed statim ad numerum, cui
opponitur impar. Ulurimum reserti id est multum iacit ad quantitatem. Cinius sit formae ille circuitus. id est quam figuram contineat perimetros, hoc est V
rrum rotudam, an quadratamen trigonam,& sic de aliis. Forma,& figura id signi ficant, quod graece dicitur ita definitur in elementis. Figura est quae iubaliquo,vel aliquibus terminis continetur. Persectissima est omnium in planis fiet k, circulus: in solidas autem spinera. Et caeterae quo magis ad istas accedunt, eo per femores dicuntur. VtPura, exagonon aequilaterum, de aequiangulum periectius est Penthagono,&penthagono quadrato,quadratum autem trigono.In solidis autem persectius est eicola ron dodecaedro, is dodecaedron octaedro, do octaedron cubo,cubus pyi ide- Orbem. quamiis latinc dicitur orbis pro circulo:no tamen geometrice. Amplius Uatium coplecti tuta id est malua tu ουν facit. Quadratum paribus oris. id est aequalium laterum. Cum autem ex definitione Euclidis quadratum sit aequilaterum, perstuit paribus oris.Sed in hoc ad vulgi consuetudinemrespectum habuit author, qua putat omne rectangulum esse quadratum. Non ira tamen Colii mella,dum est. Quadrati mensiti a iacit ima est. nam cum sit undi 8 pedum totidem. Sed alia.hic puto reponendum ill loco allia,ut sit sensus:illasti
lictimae dicta simi. Dimidio p in latitudine patere, id est centum Vistinis
Pedum latitudine habere, sicut in rectangulo BDC notatur numeris ad latera mi nora. aut sit circuitus. id est quanta sit perimetros , Ut pote,quae est pedum Do auantum campi claudat. id est quantum h bea areae, quaequidem per qi raros pedes exprimitur, tu investigatur hoc modo. Numerii latitudinis B D in num rum logitudinis BG sic multiplicabis. centies sticies ducem quadrageni fiunt vi inti octo millia &o lingenti. Dicemus ita; mctangulsi lis hoc est agri iugerum in Ppies quadrestos re , qtii notantur figuram sic asMo. Et ita semper nu-g A me ratio
55쪽
meratio siet in omni parallelogrammo rectangulo. Quare dc In quadrato g l in hmultiplicatis duobus inuicem lateribus,colligeriira rea pedum quadratorum triginta duorum millium & quadringentorum. At centum Sc octogensin quan F partem pedes. id est uadratu cuius latus pedes habet iso quale est g I m k, I dem spatium extremitatis. id est perimetron habet aequalem perimetro reon libe c, quaequidem sicut i ' dixi pedes habet. o. Quater autem centeni is octogeni fiunt etiam 'io. Multo amplius clausaequatuor lineis area: saciunt. Senia
sus est perimetros pedum o continens quadratum quale est g t m k, multo plus se cit areae clausae quatuor lineis, hoc est Plus Ped Min quadratorum, M. am perimetrosetio continens rectati gulum altera parte longius, quale est b d c. Nam area quadratig m, aream rectanguli d c superat pedibus 3 Dem: in quadram pedes. iaest quadratum cuius latus cst indum 3Q, -'ς ςst ii p. Quadraginta per oram. id est perimetros erit ped- . Intra id est area quadrati erit ped. ioci. sicut ex demo
satione manifestum est. Si quinident per latera,quini in fronte sint. Hie li
quitur author de rectiangulo qh si, vocans latera prout sunt duas lineas q h, & si,quarum simili est longitudo ped. 3o. Intelligit autem per frontem reliqua duo Iatera q i,d h quorum simul est longitudo ped. o. uare & in ipse rectangulo q h si erit perimetros ped. , sicut in quadrato iap. Sed ipsius area rectanguli qili cum sit ped. s. sicut decussatio mostrat,quarta parte minor est area quadrati n p. Si enim ex ioci. quartam auferas, quae est M. residuu erit. s. & lioc est quod dicitur quartam
deducciat eodecircunductu.. Si vero porrecti utrinq; undeuiceni singulis
disiciaMoc intellige de recta uio r t X v, in quo undeuiceni pedes utrinq: porrecti, quae sunt dux lineaerta, ct tu, utraq pedum 39, & distat inter se singulis pedibus vestitu latcra r ri& X v. ipsum rv recta la no plures haher intra se pedes quadratos, qui sunt ly, quam habeat ipsius logitudo, a sunt etia V. Est in perimetros remgith rv,aequalis Perimetro quadrare ii p,Vtra νςnim P du .Quicquid formae qua,
drati detraxeris, amplitudiniquot peribit Sensus est,quomodocunque
sub aequali perimetro quadratum in aliam formam rectangulam mutaueris inue
tur area quadrati. Ergo & id fieri potest, ut maiore circuitu minor loci
amplitudo claudatur. Illationem huiusmodi vocant geometrae corollarium. Patuit enim ex demostratione planas figuras isopcrimetras no esse aequales. Vnde tacito sequitur colligere, duas planas figurasi dari posse t subperimetro maiori co- tineatur area minora xempli causa. extendatur rectangulum r t xv, ita ut ipsius lonnitudo r a fiat pedum roteri Uta Q perimetros ipsius pedum M',& arca Pedum qua dratorsi io. Est igitur in rectangulor La, & maior perimetros,& area minor quam .
in quadrato iis . Quod 'at demonstrandum. Hoc in plani nam in collibus
vallibus γ e iam im rito patet eius seli qum cccli: Hia verbi prae
56쪽
scribere videtur author corollarium Primulum non esse verum uniuersaliter in sguris, sed in planis tantum . Vult enim intelligi per colles, sit perficiem conuexam, per valles autem concauam, lux idem non sunt superficies planae.Sed salsia est huius modi limitatio: quia verum etiam habet corollarium in non planis figuris,quod sic ostedo. Describatur semicirculus FH G, cuius diametros FG ponatur Iongitudine habere stadiorum septem. Et intelligatur E H G esse collis in hemispherii Mi a planicie conlii rgens. Erit itaq; ad collis radices circuitus, hoe est perimetros stadiorum 11. Et quoniam licui ostendit Archimedes, omnis sphaerae superficies quadrupla estinaesimi eoru qui sunt in ipsa circuli, erit in colle F H G sit perficies quam illim vomcat authoo aequalis areae concinenti stadia quadrata septuaginta septem. Rursus de scribatur parallelogranainu rectangulum, ius latitudo L N sit Unius stadii, longitudo autem LM stadioru duodecim. super rectangulo intelligatur collis assurgens forma similis hemicylindro. Erit ita que collis huius perimetros stadioruas. 5 'convexa superficies stadiorum quadratorum i8. cum sex septimis.
Est igitur in hemicylindro iam, &
maior circuitus, area minor quam
in hemispherio F H G. Quod erat demonstrari dii. Eadem quoque deuaonstratio fiet in vallibus, hoc est i ii superficie concaua, per iam descriptas figuras hemispherii, i hemicylindri, si resupinatam positionem ipsarum intelligamus. Ex istis ergo patet corollarium praemissum Uniuersaliter verum hinc re. Quare sal so limitaretur in planis. Et allegata ratio scilicet, quddin collibus,vallibusque plus sit soli quam cocti mihil ad propositum probationemque pertinet. In laac autem significatione coctum intelligitur aer,& in iure ciuili dicitur. Cuius est solit,cius est coelum. Cuius regulae sensus liabet, ut si quis solum aliquod possideat, & totii illum aerem recte superstantem solo suo possidebit. Coelum igitur secundum hoc erit corpus ae reum recte superstans altitii dine quamlibet sbio subiecto. Vult tamen Fabius in hoe loco coctum esse non corpus, sed planum in sublimi Iso perimetron solo directe sub tecto. Nam nisi sic intelligas, non potest esse verum i in vallibus,colli hus Q plus sit soli quam coeli. Esset etiam absurdum dicere Orpus aliquod esse plus,aut minus suis perficie,quod solum dicitur. Quoniam diuersi generis quantitates non cona par. atur inter se. Quis ital non videt rationem istam de solo & coelo nihil obstare quominus maiore circuitu minoram itudo loci claudatur,in non planis etiam figuris, sicut dononstraui. Vt autem stare possit exceptio Fabri, sic est interpretadum, ut hoc verum liabeat,no solum in s uris quarum Una sit planum, L altera collis, seu vallis, quod est euidentius, sed etiam in planis,quod magis est incredibile. Repetatur exempli causa superior collis E HG, hemispher i sorma cosistes,cuius est circuitus stadiorum aa. Glum autem stad. quadrata cotine I . Item esto circulus b c d e, diametron habes stad. o. Erit igitur i crimetros sta&rs.& sertims Partis unius.dc quadrati ra
57쪽
sod. so cum duabus septimis Patet igitur in circulo hede, & maiorem esse circuli tum,. amplitudine loci minorem, qua in hemisphaerio fg h. cuius coctum est aequale ipsius basi,qui est circulus in diametro fg,cotinens stad. quadrata 3s Et sic plus est in colle soli, quam coeli. In planis vero tantun&m est cocti quantum soli. Haec ad explicationem rei succeptae dicenda put i Id o
58쪽
IO BVTEONIS ADPROBLEMA CUBI DUPLICANDI INVENTUM
O S T circuli tetragonismon, aliud ha
' hent ometra problema,qirod Academiam tota aliquadiu i suadit fici illaceumatiit. Id alitem cubi duplicatio dicitur. In quo quaeriti ir, quemadmodum cubo dato dii plum cubum constituas. Et huius quidem vestigationis causa scisse memo- cum Delopestalentia grassante, consillius Apoυ
res ridisset, sinem mali futurum, si quandam aram cuius
erat cubia a forma duplicatant. At Dei acum cubit cubo superposu:sbeiat,ncc pessiis cetiaret, rogatus iterii Apollo, negauit eos copleuista resposa. Sequidem iussisse incia corpus arx tantum sed & ibi ina duplicarent Dein vero duplicationis rationcm huiusmodi non habentes ad consulendum Platonem mi serunt Athenas. Qui primum respondit, eos Videri sibi persecutionem talem ab nu mine pati,quod geometriam ignoraret. Deinde & quaesitionem illis absoluit & eam insupergeometris in Academia Vestiganda tradidit. d digna res esset in uua industriae qui suae neruos intenderet. Itaq: multi Postea viri caelebres in disci lini Itoc problema tractariit. Visuit ipse Plato, dero,Philo Eicantius, Apollonius Di cles, Pappii Sporus,Meneremus. Archiras Eratostenes Micomedes. Lorsicidinium in tenta collegit Eutocius, in commentario quem aedi diripse in primum Archi, medis de sphaera,& cylindro. Qiii iiis autem illa scrutabitur quatra non sit ipsum Deile problema,vel ex hoc intelliger. i: Od ctam traditiones omnium demon sitren, tur optimemullius tamen est Vsiis in expedito, Vt quibus esic opus ornano quopiam. mechanieouid id peculiariter sabricato, et indagine repetita saepius Qui modus no probamr in arte, nisi cum praestare n0n Possis alias quod quaeritur. Hanc etiam ne notii di incultaton, Pythius ille daemon Oracu si sui mendacio praetendi se videtur-
ut qui coniectaret Verisimiliter morb. Prius sinem , qu.im quaestioni tempus allatu ru m. Suos interim consultores inqUrsitione molesta Itidificans.Sic enim suturi nesci, iis obscurassemper respondebar, Vel dubia. sic mihi quide res ipsa ne otii phirimum aliquando i raebuit, dum Proponerem cubos dei Crmare quamoi rin ea ratione saeest i, o . Perluasim enim nab ham,omnia geoinetrica posse praestari ner Euel udis
59쪽
AD PROBLEMA Datum cubum duplicare.
JSTO DATUS cubus Α, quem oportet duplicare. Describa turrectangulum hac d,cuius latus basit aequale lateri cubi A. tus vero h e, sit duplum ipsius h a. Et super rectangulo b a c d,constituatur solidum orthogonium aeque altu cubo A, quod quidem vocetur primum. Hoc ital solidum primum duplum est cubi A. Per 3i Solida nam' parallelepipeda aeque alta, sunt sicut ipsae bases. NucI. uis' latera basis solidi primi,quae sunt b a,& b c ad inueniatur media proportionalis linea b f. Ex qua describatur quadratuin,quod sit b g h f. Quod qiridem est aequale basi solidi primi, lux est b a d c. N a si tres lineae proportionales sue rini,quod sub extremis continetur rectangulti,aequale est ei, quod ex media quas P I to describitur. Et super basib glis, constituatur solidum rei tangulum aeque 'tum solido primo. Qiiod quidem Vocetur secudum. Erit itaque solidum secundu aequi te solido primo,& proinde duplum cubi A. Solida nanque parallelepipeda in basi bus aequalibus conitituta,& sub eadem altitudine sunt inuicem aequalia. Rursus in
60쪽
ter inaequalia duo latera solidi secundi inuenta media proportionali linea h l, ix in i pia k I descripto quadrato,quod sit k i m n,& super basi h l ira n constituto tertio solido rectangulo, cuius altitudo sit aequalis uni ex lateribus quadrati solidi secundi, de nostrabitur sicut prius, solidum tertiit esse aequale solido secundo,& duplii cubi A. Quemadmodum autem in solido secundo inaequalitas laterii in minor est,quam in primo,& minor in tertio,quam in secundo. Ita & deinceps,si in huiusmodi figuratione solidorum, secundum sormam datam perstiterimus, si illic ad septimum usque solidum iaci,inaequalitas ipsa laterum sensim minuetur: ut sit tandem insensi talis. Quod autem extra sensum est, quo ad usum rei, nihil impedit quo minus asse
quamur propositum, sicut ab Archimede, & Ptolomaeo in dimensione inculi fieri videmus. Erit igitur in exemplo nostro, ubi est solidum septimii cubii qui dii ius est ad datum cubum A. Quod oportuit secisse. Ex hac autem formula no selum dupli itur cubus, sed & eriplicabitur, & ad rationem quamlibet nominatim datam
lleri poterit. Qui sanc scopus erat in hoc problemate. Exepli causa, si proponeretur tum cubum A triplicare: saciendum esset in solido primo latus h c, triplum late reliqua deinde ad triplicatio' sequerentur, sicut in duplicatione posui, nisi quod