장음표시 사용
101쪽
Demonstr. Ductis rectis diagonalibus BF , F A , A O, dividuntur per medium plana BCFO, C FA E, BAEO, prusmatis latera ; secanturque tres pyramides BACF. ΟΕFA, O FB Λ: earum autem singulae pyramidi BC AG, eamdem , ae prys ma, altitudinem, dc basim habenti , sunt aequales , sum parem dc ipsae altitudinem, di basim habeant:
nam BAC & prysmatis , dc pyramidis BACF hasis
est; CF autem communis utriusque altitudo: O EF Α basim habet Ο EF aequalem basi ΒΛ C n. a 33.ὶ; & altitudinem EA altitudini CF etiam aequalem. Deinde OF ΒΛ par est pyramidi BACF;
si enim huic basim statuamus BFG, erit B A communis utriusque altitudo; bases autem BFΟ , BFG aequales in. Ios) : singulae igitur aequalem , ac pryDma, seu pyramis BCΛG , basim, dc altitudinem habent: integrum igitur prysma 3 pyramides pyramidi BC AG aequales continet: estque proinde unius
Quoniam haec demonstratio aliquam tyronibus confusionem parit; ita alio modo propositionem demonstrabis. Sit ADHC cubus sui g. 9r. , punctum Κst ipsius centrum. Si ad hoc punctum K ex angulis A OE B rectas ducamus, fiet pyramis ΑΟΕΒΚ, cujus apex est Κ, basis planum ΛΟ EB cubi, altitudo autem est dimidia cubi altitudo . Manifestum vero est , in cubo tot considerari posse hujusmodi
pyramides , quot sunt plana , seu latera cubi , ea que omnes habere aequales bases nempe aequalia cubi latera ), verticem communem in K δt aequalem etiam altitudinem ΚX, cubi dimidiam. Facile enim lateri DC secundam pyramidem respondere. dc ex singulis aliis lateribus singulas nasci concipies . Sunt igitur omnes illae pyramides aequales; n. 172 ; cum habeant aequales bases, dc altitudinem eandem: Cubus igitur quicumque componitur ex 6 pyramidibus aequalibus ejusdem basis, dc dimidiae altitudinis cubie dimidius igitur cubus componitur ex tribus puramidibus aequalibus eiusde ira basis, dc altitudinis: dimidius autem cubus eli pryl-ma si nimirum secetur per K plano bas X parallelo ): pyramis igitur est terr a pars prysmatis recti
102쪽
eandem basim, dc altitudinem habenti S; cum autem prysmata redia obliquis sint aequalia sicut et iam pyramides dummodo aequales habeant bases,& altitudines ; theorema ad omnes pyramides, &prysmata recta, dc obliqua extenditur.
I76. Pyramis quaecumque polygona Fig. 88. 98. o rertia pars pIsmaris eamdem basim , ct aequalem altitudinem habentis.
Demonstr. Et polygonum TXRZ in triangula, dc prysma polygonum X Λ in trian rutaria prysmata , & polygona etiam pyramis X in triangularρs pyramides dividuntur ; si nimirum ducantur T E , S E, & sursum elevari concipiantur : Cum igitur quodlibet prysma triangulare puta Z Κ sit triplum pyramidis eamdem basim Z, 6c altitudinem habentis n. r 33: idemque sit de reliquis prysmatis trian gularibus X RT, in quae polygonum p rysma dividitur ; omnia haec prysmata simul sumpta, hoc est , prysima polygonum Fig. 88. . erit triplum omnium pyramidum simul sumptarum , hoc est , pyramidis polygonae eamdem basim, dc altitudinem habentis , ae prysma.
COROLLARIUM.373. In pyramidibus igitur verum est, quod supra de prysmatis demonstravimus I v. scilicet, Omnes pyramides aeque altae ig. 88ὶ sunt inter se, ut bases: χο. Si easdem . aut aequales habuerint bases , erunt inter se , ut altitudines: 3φ. Si bases, or altitudines habuerint reciprocas, erunt aequales: ε'. Pyramidum similium ΛΟ, ΒΟ Fig. 87.ὶ massae sunt
inter se, ut altitudinum, seu laterum similium cubi ; superficies autem sunt , ut eorumdem mei late rum quadrata . Hujusmodi enim proportiones verae sunt in prysmatis, ut superius n. 367. Acc. demonstravimus t obtinent igitur etiam in pyramidibus pcum similes sint prysmatum earu indem basium , dc altitudinum partes s n. t 73ὶ: partesque similes eam dem inter se , ac sua tota, rationem habeant. Pyra
103쪽
midis cuiuscumque massam elicies, si tertiam altitudinis partem per integram basim multiplices . vel tertiam basis partem per integram altitudinem.
gonum infinitorum laterum in. ra 3 e cum igiturn uiusmodi polygonum sursum sibi semper parallelum ascendens , dc similiter decrescens , quoad inpuneto A evanescat, conum describat n. rysin; mavnuestum est hujusinodi conum esse pyramidem infi-Ditorum laterum: a singulis enim polygoni lateribus sursum elevatis singula coni latera describuntur . Spectari igitur debent coni, ut pyramides . reserun turq e ad cylindros . infinitorum etiam laterum Prysmata, ut pyramides ad prysmata.
c OROLLARIUM.I77. Sunt igitur coni cda, CDA Fig. 93 te tia rars Cylindrorum cnbd, CN BD easdem ha
ses, Ac altitudines habentium ; sunt enim pyramides cylindri autem prysmata n. 37o . Cum igitur sint partes similes cy Iindrorum n. 373), eam dem inter se rationem habent , quam cylindri i n. 3 ὶ: Quas igitur numero r71. de cylindris demonstravimus , seu exposuimus rationes , Conis etiam competunt. Unde I . rationem inter se habent Compolitam ex rationibus basium, dc altituclinum: a' si haneant bases aequales c d , έ D, erunt ut altitudines cn . CN ; Zc si altitudines fuerint aequales , erunt, ut bases: 3 . si bases, & altitudines habeant recipro as, erunt aequales: ε . Eorum massae sunt ,
104쪽
r78. Ubaera quaecumque aequalis est pyramidi, cujus basiis sit obaerae Iuperficiei aequalis r ali ludo autem
ipsius Spbaerae radius . De non str. Eodem modo , quo polygonum regulare Fig. 37ὶ per continuatam laterum diminuti
nem , di multio licationem in circulum abit n. ir 3 in ;ita etiam polyedrum regulare Q , aut D Fig. ror in Sphaeram degenerat: si enim plana F, G,
H, Polyedri latera, & pyramidum H D, FD, GD
bases &c. fiant minora semper , S minorem per continuam angulorum Μ, T, & aliorum similium truncationem: manifestum est , praedictarum pyra mi dum bases infinite decrescere; ac proinde in puri et a degenerare ; omnesque earum bases unicam sphaerae superficiem componere: Sphaera igitur quaecumque A i Fig. 97 spectari potest, tamquam infinitae pyramides infinite parvae C B Λ , circa punctum A , tamquam communem verticem dispositae ἰquarum communis altitudo sit idem radius Sphaerae, bases autem puncta singula eiusdem superficiei sphae-Tae. Pyramis autem cujus altitudo sit radius basis vero superficiei sphaerae aequalis , par erit praedictis
omnibus pyramidibus, hoc est, i pli sphaerae .c OROLLAR i Mi La 9. Spectari igitur potest sphaera , tamquam pyramis Conica, cujus altitudo si radius, basis vero superficies sphaerae. Eritque sphaera tertia pars prysmatis, aut Cylindri , culus altitudo sit radius, basis autem superficies sphaerae : id enim de pyramide , ct cono superius numero 173. demonstravimus , Unde massam sphaerae , cujuscumque A dignosce mus, si tertiam partem radii per integram circum- serentiam ; aut integrum radium per tertiam circumferentiae partem multiplicemus. Eo enim pacto pyramidum massam elici superius demonstravimus.
105쪽
pHILOSOPHIAE NATURALIS c OROLLARIUM II. SIIo. Superficies Sphaerarum ΑΜ , Α R C s Fig. 9
sunt inter se, ut quadrata suorum radiorum: massae autem sunt, ut eorumdem radiorum cubi .
Demonstr. Singulae Sphaerae ΛX, Λ NE sunt infinitae pyramides similes infinitae parvae, quarum ba ses simul sumptae superficiem sphaerae componunt , earumque altitudines sunt ipsarum sphaerarum radii n. 179 ): bases autem pyramidum, sphaeram ΛX componentium, sunt ad bases pyramidum similium , sphaeram A M componentium , ut quadrata altitudinum , mensurarum scilicet similium : earumdem vero pyramidum massae sunt inter se, ut altitudinum sua inrum cubi sη.r 77): cum igitur superfietes sphaerarum snt infinitarum pyramidum similium bases ;massa vero sit ipsarum pyramidum massa ; manis stum est, superficies sphaerarum, esse , ut quadrata Imamas, ut cubos radiorum.
LEMMA. et gr. Superficies coni recti truncati FDBH aequalis est rectangulo EB H P, cujus altitudo lit aequalis lateri BF coni truncati, basis vero sit circumia rentia circuli ΙL media inter utramque basim .
Demonstr. Describantur ex eodem communi cen
G , ductaque per B recta B L tangente circuli majoris, & illius periphaeriae aequali, ducatur ex centro a L, & ex punctis diametri EΚ minorum circulorum tangentes ΕΜ ἡ Κ I usque ad rectam A L rerunt EM, KI tangenti BL parallelae, & suorum circulorum periphaeriis aequales. Triangulum igitur
Λ E M aequale est circulo E F G , & triangulum AB L circulo BCD n. m): ergo rectilineum EΜLB aequale est coronae DC BGFE n. 27. απ.ε.ὶ Iam divisa bifariam ML a recta P I, perpendiculari ad B L occurrenti in H ad roctam E ΜProductam, erunt triangula VHI. IPL aequalia ;sunt enim anguli L & Μ aequales n. isj ; sicut
106쪽
etiam P & H redii: cum igitur praeterea sint aeqv 'lia latera MΙ , t L; erunt tota triangula aequali n. IOO, IOχὶ: ergo rectangulum EH PA erit rectilineo EMLB, ac proinde coronae aequale . Iam corni truncati FBDH Fig. II 8. rete , seu superficies evoluta est segmentum coronae LM P R earumdem basium , & altitudinum : integer enim Sector L HR, cujus basis LR sit aequalis circumserentiae
circuli FHG, radius autem L A lateri HA, aequalis erit superficiei conicat; si igitur auferatur ΛΜ P, superficiei BCDΑ aequalis, residuum sectoris, seu
Coronae remanet truncati coni superficiei aequale : quemadmodum igitur integra corona est factum ex
altitudine in medii circuli Κ Ο V et periphaeriam
integram , ita Sector Coronae est factum ex altitudine in segmentum N , periphaeriat medii circuli aequale, seu in totam circuli IL periphaeriam .
181. Superficies Sphaerae est aequalis reflangulo sub diamerro , ct peripheria Circuli Maximi : seu qua-ttior Circulis Maximis ejusdem Sphaerae. Demonstr. Intelligatur Circulo inscriptum polygonum plurimorum laterum TR, RV &c. Fig. 339 numero parium, quae ob parvitatem in circulum abeant: Si revolvatur modo semicirculus T O SCirca axem TS immotum , superficiem discribet TNSZΛ ex plurimis truncatorum conorum superfi- .ciebus compositam et quodlibet enim latus ΜN, cum sit in eodem plano cum axe TL, quin tamen sit illi parallelum , cum diametro concurret in aliquo puncto T. Revolutum autem triangulum TNLX Fig. 32 o. in circa axem TL conum rectum describet; pars igitur ΜN, latus polygoni in sphaera existenS , CO- ni truncati ΜNL superficiem describit. Superficies igitur sphaerae totius componitur ex plurimis superficiebus conorum truncatorum aeque altorum . Iam
Superficies ΜNL est rectangulum ex altitudine communi ΜΝ, & periphatria media ΚU, cujus radius est KI: ducatur ex centro circuli C perpendicularis CK ad MN Iatus polygoni, quae erit apo
107쪽
13 PHILOSOPHIAE N CTURALIS. thegma commune polygoni , & latera bifariam dividet , ducatur insuper ex Μ re D M R parallela ad avim, & ex K perpendicularis KI, parallela ad
aequales sunt anguli I, R , quia recti: anguli autem
quoniam linguli cum angulo IKC rectum Essiciunts n. 98 ; ac proinde tertius Μ est aequalis tertio I
ergo rectangulum sub extremis aequale rectangulo
Sumantur modo rectae MN, Κ C, tamquam radii : erunt igitur ut eorum periphaeriae in. I 363; substitutis ipitur periphaeriis pro radiis , adhuc erit aequale rectangulum sub Pp, dc periphaeria radii ΚC ree angulo subΜR & periphaeria radii ΜN: similiter moerficies Coni truncati MPX, hoc est, rectangulum sub M O , & periphaeria radii Z Y, aequabitur rectangulo sub OS, hoc est , PT , Fi
m q. I 23. 1 8c sub circumferentia ejusdem radii C. Κ , aut C. Z: omnes igitur coronat . seu truncat rum conorum superficies, quae sphaericam circum inrentiam formant, hoc est, omnia rectangula sub latoribus P p PT &c. de circumferentiis radiorum C Κ. CZ 8ce. aequantur totidem rectangulis, quorum communis basis sit perinhaeria radii KC, altitudines autem rectae ΛT, TP, Pp dcc. seu Λ CB, illis aequalis, hoc est, unico rectangulo sub circumferentia circuli Maximi ΛΜ B, ct diametro in t gra sphaerae. Huiusmodi autem reetangulum est sequale quatuor c irculis Maximis sphaerae : unusquisque enim circulus maximus est factum ex quarta parte diametri per totam periphaeriam sn. II E): ergo 1a ctum ex quatuor hujusmodi partibus , hoc est, ex integra diametro per totam periphaeriam, sunt qua
tuor circuli maximi sphaerae Q. E. D. sc HOLIO M. I 8 I. Ex demonstraris facillime elicitur cujuscumque corporiS mensura. Diximus supra, haberi prysinatis
108쪽
tegram basim multiplicemus: puram idem vero quamcumque B AF C s Fig. 89 ) die nosci, si tertia pars
altitudinis CF in integram basim ducatur: est enim tertia pars prysmatis. Cylindrus quicumque N BCD, s Fig. 93. cum sit prysma , est factum ex altitudine CN in basim ducta. Conus CD A hujusce Cylindri pars tertia habebitur, si tertiam altitudinis partem in totam basim ducas. Sphaera Α X Fig. 97 ὶ est factum ex tertia par te radii AX in totam superficiem ducta , ut modo demonstravimus : Ut tamen tertia pars radii per superficiem multiplicetur , ipsam prius superficiememetiri oportet. 3c diametrum , seu radium. Dia meter V Μ facile dignoscitur , si duo plana MMsphaeram utrimque contingentia statuas parallela, eo rumque distantiam, hoc est, diametrum Μ Μ in v nias. Superficies autem sphaerae quatuor circulos ma ximos eiusdem sphaerae continet, & adaequat : cujus rei veritas a Geometris passim demonstratur; illi de monstrationi tamen in tyronum gratiam supersedeo, eum operosissima sit, pluribusque propositi nibus ad eam deducendam unice praemissis innitatur : eam proinde dedimus , quae tyroni philosopho fatis est. Di ametro MM reperta, invenitur sexta ejuS pars, vel tertia radii , & maximi circuli circumferentia per num. 1I ; ejusdemque circuli area , per num. H3; superficies lanaerae, circulos mali mos in unam sutnmam addendti , ut modo notavimus: & massa tandem sphaerae, si tertiam partem radii notam, insuperficiem sphaerae etiam notam ducamus. Sit exem plum: sit Μ V diameter ra redes: tertia pars ra dii, 2; circumferentia circuli maximi, 36; ejusdemeirculi area, Iog: superficies sphaerae , 632: massa ,
Corporum quorumcumque similium superficies minorem inter se habent rationem , quam eorumdem massae: seu quo majora sunt corpora similia, eo mi norem habent superficiem relate ad suam massam . Superficies o nim augentur, ut laterum similium qua drata; massae ut cubi in. itf9 in . Sit exemplum. Dia
meter sphaerae Μ Μ sit subduplum diametri Z X , dc prior
109쪽
go ' PHILO OPHIAE NATURALIS dc prior statuatur , Io; posterior , aO: superficies
erunt inter se, ut Ioo ad 6oo. eorum numerorum quadrata: mast, autem, ut Iocio ad 8- . .eorumdem
numerorum cubi: major vero eli ratio gooci ad Ioo , ctu pla, quam qoo ad Icio, quadrupla. Rursus, maior etiam est ratio 8ooo ad qCo, vigecupla , quam rooo ad Ioo decupla . Major igitur sphaera minorem habet superficiem relate ad propriam massiam , quam in inor sphaera : hoc etiam obtinet in Omnibus corporibus similibus. δ
Sphaerica ex Theodosio seu aliquae proprietates circulorum , qui in is berae superflere considerantur, a Drone Philosopho non ignorandae. 38 . Quae hactenus tradidimus , aut ab Euclide desumpta sunt si methodum dc demonstrationes excipias ) , aut ad Euclidis librorum argumentum spectant . Iis sere contenti sunt , qui Geometriae elementa in studentium tyronum usum conscribunt. Quoniam autem experimento didici , Afronomiam Phrsicam , Spberam , & Geographiam satis intelligi non posse nisi aliqualem prius sphaericorum Elementorum cognitionem habeant ; idcirco pauca hic attingimus quae dc captu facillima sunt, dc necessaria tyronibus existimavi . Sphaericorum nomine hic intelligimus peculiarem de circulis . aut sectionibus sphaerae, dc in superficiebus sphaericis praecipue consideratis explicationem. Sphaericorum Elementa triis hus libris conscripsit olim Theodosius , celebris Μathematicus , qui aliquot ante chrsum natum annis floruit , ex quo sequentia sere adsumam , licet alia
183. Ubiserae superficiem , centrum, diametrum , ra dium, massam superius jam definivimus. Axis sphaerae est diameter , seu recta ab uno ad oppositum Cir cum ferentiae stanctum per centrum ducta , supra quam
110쪽
ELEMENTA GEOMETRICA. 8tquam sphaera ipsa circumvolvitur, aut gyrare conci- p tur. Rem quotidie videre potes in globo quocumque, aut etiam rota se se convolvente.
Finge circulum, seu globum P Α R Fig. i 3. circa diametrum PQ convolvi: erit PQ illius sphae- i
DEFINITIO.186. Sphaerae cujuscumque P Α R poli sunt extremitates PQ axis, supra quem ipsa revolvitur . Circuli etiam in sphaerae superficie descripti , v. g. circuli δε Κ R poli sunt duo illa puncta P in eadem sphaerae superficie posita , quae a singulis periphaeriae circuli punctis aequaliter distant . Finge semicirculum P RQ circa axem P O convolvi e punctum R. per quadrantem RP, R Q ab utroque extremo PQ remotum, periphaeriam describet RΚ Λubique semper a punctis PQ per quadrantem dissitam e puncti igitur PQ sunt illius circuli RΚΛ poli. Circuli igitur poli PQ cum illius centro con fundi nequeunt: centrum enim D in plano circuli
existit, poli vero P Q extra planum. Hr POTHESIS . 187. Sphaera P Λ R Fig. II. ) generari concipitur, si circulus riR cuius centrum D, axis vero P diametro AR aequalis, & ad circuli planum perpendicularis ) ita per axem P Q versus
Utrumque polum moveatur , ut centrum D in axe
semper DS X existat ; planum circuli sit sempers bi ipsi parallelum AR, PU, ZY: circulus vero
recedendo centro ita decrescat. ut Omnia ejus pe riphaeriae puncta A Κ R , PS. ZY semper aeque dissent puneto D, sphaerae centro, in quibuscumquopunetis descrescentis circuli centrum existat. Eadem mei hypothesis, seu genesis alio modo pro poni potest , quae tamen in idem recidit; si nimirum circa diametrum immotam P semicirculum P R circumvolvi concipiamus : singula enim pe riphaeriae puneta singulos parallelos Circulos , mino res semper, dc minores, atque sibi ipsis mutuo pa-Μont. Philo. Tom. I. F rat-