장음표시 사용
121쪽
s1 PHILOSOPHIAE NATURALIS aequales dividunt . ut esset demonstratu facilli
tra et lypsim per illi ius centrum ductae in periphaeria terminantur . sunt diametri : infinitas proinde habent diametros, quarum singulae aequaliter in centro dividuntur: diametrorum maxima est axis maior AB; minima axis minor CE. Di ametri conjugatae RR , ΟΟ sunt illae, quae & se se, & suas mutuo parallelas intra et lypsim ductas aequaliter dividunt .
ar . Rectae ad diametrum Oo v. g. applicatae dicuntur lineae SS Z sibi parallelae, quas praedicta diameter Oo aequaliter dividit. Applicatarum nomine earum rectarum dimidia S U communiter intelliguntur: pars item OU diametri conjugatae a vertice O ad applicatam usque ductia dicitur abscissa , seu sagitta. DEFINITIO.2r s. Ellypsis focos, aut polos dicimus duo puncta OV Fig. io 8ὶ in majori axe assumpta , aequalitera suo quodque vertice C D distans ; & e quibus ductae rectae UR , OR ad quod libet periphaeriae punctum simul sumptae sunt aequales majori a xi CD . Paramerer, seu latus rectum axis ΑΒ et lypseos CBE Fig. ros.) Θst recta N B tertia proportionalis geometrice ad axes ; ita ut sint AB. C E. NB ; ducta perpendiculariter per extremum axis , cujus est parameter. sc HOLION. XI 6. Tres omnino numerantur praecipuae, & mirabiles Ellypsium proprietates, quas ignorare turpe est. philosopho; demonstrare ad Geometram spectat. Prima : Quadrata applicatarum ad axim, vel diametrum quamcumque sunt inter se , ut rectangula facta
122쪽
facta ex segmentis, in quae applicatae diam trum dividunt; hoc est quadratum supra S V Fig. ro 7. )Θst ad qεadratum lup RX, ut rectantulum ex o
Culis etiam , alio tamen, dc perfectiori modo , lueet Proprietas competit: in circulis enim quadrata , &rectangula sunt aequalia : in ellyplibus autem tanqtummodo proportionalia.
Secunda proprietas: Si ex e Ilypseos polis OU Fig. Iog. duae rectae ad singula quaeque puncta R v. g. pei-phaeriae ducantur , per idemque punctum R recta ducatur A E periphaeriam tangens , duo singuli anguli ARO, URE, a tangente , & rectis a polis ad punctum R ductis formati, erunt aequales. Ex quo physicam alibi hujusce figurae proprietatem demon-lirabimus .
Tertia proprietas : Si ex polis OV et lypseos duae irectae V R , O R ad quaelibet periphaeriae puncta du-
Cantur, erit earum duarum rectarum summa majoria vi CL Fig. ior. in aequalis . Unde facillime et lypsim describes, assiumpto ad arbitrium majori, minorique axe CD, N T. Ab extremo enim T minoris axis majorem bifariam , dc perpendiculariter secantis duae lineae rectae , seu fila T O , T V in majorem axim cadant , quorum quodlibet semiaxima sori X D sit aequale e puncta O V , in quae incident, erunt et lypseos, polir filorum igitur extremis in iis punctis clavo defixis , calamo ad commune extremum T alligato , ct filo sern per tenso
percurre ad C , & ad usque D; idemque si ex alia parte fiat, et lypsim habebis.
DEFINITID. 2 7. Parabola est superficies plana , quam linea curva describit, cujus latera TCB T YF a puncto quodam T summitate Parabolae se invicem semper magis, & magis removentur in infinitum ; quin umquam possint Concurrere, & in qua applicatarum V. g ZL, YD quadrata sunt inter se, ut sagittae , seu abscissae T L , T D. Hujusmodi curvam nuncupamus lineam Parabolicam . Fig. ros
123쪽
st PHILOSOPHIAE NATURALIS. DEFINITIO.
118. Parabola, sicut Acel lypsis, suas habet tangentes B Xo v. g. Fig. r ro), applicatas , semiapplicatas , sagittas &c. Recta RT Fig. Io9 perpendicularis ad parabolam fidem de ei lyps, ct hyperbola statim definienda dictum habe in est ea, quae tangentem A TX in puncto contactus T perpendiculariter secat . Ακ is est recta TΜ, quae sibi applicatas NT, CY& aequaliter, & perpendiculariter secat. Unicus est avis T Μ in parabola : ejus item extremum T est
DEFINITIO. a I9. Di ametri Parabolae sunt omnes illae rectae Μ ,N v. g. intra eam ductae , quae sibi applicatas CT,BH bifariam dividunt. Unde innumerat esse m sunt diametri in Parabola. Parameter alicujus diametri est recta quaedam TX, quae sit tertia proportionalis ad sagittam TD, & rectam DY ipsi diametro applicatam; ita, ut sint TD ad DY ut DY ad TX. Parabolae focus est punctum quoddam R Fig. IIo. intra illam situm , cujus a vertice Z dillantia est quarta pars parametri Z Y axeos L M. sc HOLIO N. a1o. Tres item, & prorsus mirabiles proprietates in parabola distinguntur . Prima : Applicatarum X F, IE, s Fig. Iro), v. g. quadrata dunt it ter se, ut sagittae ab iisdem applicatis abscissae', hoc est, ut ZF ad T E . in quo etiam palabolae ab ellypsi distin
guntur, Ac supra notavimus num. II .
Secunda. Si ex soco R ad punctum quodcumque lineat parabolicae X v. g. ducatur recta RX, atque per idem punctum ducatur tangens Λ X B, ct recta NX ad axim Μ R parallela, erunt aequales duo nguli ΛXm , R X B ab iis rectis in puncto X formatis. Atque hinc mirabilem speculi parabolici physicam proprietatem demonstrabimus. Tertia, eaque paradoxum Omnino mirabile: Duae
124쪽
parabolae aequales ABC, o Eu, alia alii incluta , communemque axim B M habentes , in infinitum productae versus Λ o, v C, semper magis ad se invicem , dc magis accedunt, quin umquam possint concurrere, aut se se possint secare: suntque proinde , & dicuntur as Imptotae. DEFINITIO.aar. Hyperbola EBF Fig. Ira est superficies plana curva linea comprehensa, cujus latera EB, BF quo magis extenduntur, eo magis si se invicem ea Iege removentur , ut quadrata applicatarum oΙ, FD v. g. ad axim BD sunt inter se, ut rectangula facta ex sagittis respondentibus Bo, BD, &linea composita ex sagittis respondentibus , & recta quaeddam externa ΒΛ, quae est ipsus axis continuatio, hoc est, sit quadratum ex o I ad quadratum ex DF, ut rectangulum factum ex ΑΟ. OB. ad rectangulum factum ex AD , DB. Hic est primus, & praecipuus Hyperbolae character, & proprie
Σ12. Ut ea, quae modo diximus , & ipserius addam melius intelligantur, nota: Ellypsim, Parabo Iam , & Hyperbolam sectiones conicas nuncupari ;propterea quod ejusmodi figurae, lineae, aut superficies. ex diversis conorum sectionibus enascuntur : sintque plana ejusmodi pyramides conicas intersecantia . Conus quicumque P Λ ΒΜ Fig. Ii 3 , si secetur plano P Λ Q per axim ΛΜ ducto; eiusmodi sectio est triangulum planum P A Q. Rursus se
P parallela est circulus , ut superius numero sy.
Planum S B R Μ , conum rectum secans oblique ad basim, est Ellypsis, seu Ovalis , de qua superius egimus. Sectio coni TVAX Fig. Ir .) parallela . ad latus alterum A X trianguli T A X est planum Hyperbolicum V BZ. Tandem duo coni P Λ , L ΛΝ Fig. 313. ad verticem A oppositi, ac prO- inde
125쪽
inde aequales, generatique a triangulorum S AN , AM circa rectam communem conti uatam SAMTe volutIone , secentur uno eodemque plano B MERTYS dcc. ad commvnrm axim SM parallelo,
ejusmodi sectioites BEM, YT S sunt duae Hyper-holae . Earum ipitur vertices sunt puncta E l . Dinantia E T inter vertices est externa recta de quassatim sermo erit. Porro axes, diametri, & applicatae intra Hyperbolam sunt eae eminet , proportione habita, ac in Parabola. DEFINΙΤIO. . 23. Axis determinatus Hyperbolae est recta ET Fig. Ir3. inter utrumque api 'm comprehensa .
centrum est punctum R , axis medium . Spectatis modo Hyperbolis BEΜ, YTS e Ytra conum in Fig. I ., Di ametri determinatae sunt rectae XX aperiphaeria Ac B ad oppositae Huperbolae HIL p riphaeriam ductae . Lineae Alymptotae sunt rectae quaedam ZE ZM, LY,LD, quae ex Hyperbolae centro Z ita ducuntur, ut quo magis producuntur v. g. LY, LM ad periphaemam HIL magis semper , & magis in infinitum accedunt, quin unquam
eam tangere, vel secare possint, aut cum ea Cori currere . Eri mirabilem Hyperbolae proprietatem , quam apud Geometras demonstratam passim offendes.
DEFINITIO.21 Hyperbolae Α B lacus est punctum quoddamo intra illam , & in ejus axe existens , cujus fi centro Z distantia OZ aequalis est Asympotae ZDinter centrum L, & tangentem CD per verticem transeuntem comprehensae.
SCHOLIO N. , 223. Habes brevissimam , quae tyroni philosopho satis est & hisco Elementis unice convenit, secti num conicarum ideam , & qualem qualem explicationem ; praecipuumque earum discrimen in eo posivi
126쪽
positum , quod in Eli si applicatarum quadrata sint minora , quam rectangula faeta ex parametro, & ex respondentibus sagittis : in Parabola sint omnino aequalia e in Hyperbola sint majora quadrata, quam rectangula. Lubet tameum modo sequentem Parabolae proprietatem demonstrare.
PROPOSITIO LI. THEORE . 116. In Parabola V B Z quadrata applicatarum OE . S R ad axim B Y sunt inter se , ut sagittae B E , B R : hoc est, quadratum lineae o E, ess ad quadratum S R, tit B E , ad B R : idem es de applicatis ad
Demonstr. secetur Pyramis conica TAX dupli ei plano COD, Μ SN ad basim TV X parallelorhujusmodi sectiones erunt circuli n. iis ): in hisce circulis parallelis ducantur CD, Μ N, TX paral-IeIae, ad easque e singulis periphaeriis ducantur rechae perpendiculares O E , S R , U Y inter se etiam Parallelae : modo sic : Quoniam praedictat sectiones sunt circuli, erit quadratum rectae o E aequale ro-changulo facto ex CE, & ED; & simi liter quadratum S R aequale rectangulo ΜΚ , RN n. in . xx8ὶ: est igitur quadratum O E ad quadratum S R, 'ut rectanguluin ex CE, & ED ad rectangulum ex ΜR, & N R. Haec autem rectangula habent latera ED, RN aequalia, cum opposita parallelogramiERN D latera sint aequalia r sunt igitur remngula supra dicta , ut alia duo latera inaequalia CE ad RΜ n. III): quoniam vero in triangulo Μ BR est C E ad basim Μ R parallela , per constructionem erit C E ad M R , ut B E ad B R n. ras ): est igitur quadratum O E ad quadratum S R , ut reet an igulum CE, ED ad rediangulum ΜR, RN; hoc est, ut C E ad ΜR; hoc est, ut BE ad BR ;quod erat demonstrandum. DEFINITIO.227. Cretois est curva Λ Μ H X E Fig. ro , quam punctum quodcumque Μ periphaeriae circuli. Mont. Pbilo. Tom. I. G per
127쪽
ver pIanum revoluti ex puncto A integra revolutione describit . quoad in idein planum reducatur ita E. Statuatur enim circulus B MFS supra planum H BE, ita ut punctum M purusto A plani A E in sistate revolvaturque circulus supra planum ea lege. ut si neuti circuli areus Μ B aequalia sibi plani sen- monta ΑΒ dimetiantur, i isque successive congruant; Punctum A circulatum usque ad B semitam Λ ΜII E describit . eamque Geloidem , aut Troculde- appellamus . Recta AE est hasis Cycloidis. Recta CH med io hasis C perpendiculariter erecta. & ad Cycloiilem usque producta axis nuncupatur . Punctum H axis extremum dicitur Cycloidis Vertex. Recta ΜΖ, ct aliae hasi parallelae nuncupantur applicam tae ad axim. DEFINITIO. ag. Circulus B M F S. cujus revolutione destri bitur cyclois, generans appellatur . Porro ex singulis periphaeriae generantis circuli punctis , quocumque in situ existant, dum revolutio incipit , Cycloidis segmenta describuntur, ut iacile est intelligere. De Cycloide sequentes veritates demonstrant
I. Circumferentia circuli generantis est basi aequalis r diameter autem altitudini seu axi. II. Periphaeria Cycloidis Λ E C Fig. ros est quadrupla diametri circuli generantis.
IV. Rectangulum A D s Fig. ros. iactum ex basi , α axe Cycloidis est ad Cycloidis aream, ut 6 ad 3. D EF ENITIO.a29. Linea Lot mea, curva inter Recentiores Geometras celebris, et Geometricis problematibus solvendis satis accomodata. est linea quaedam curva BD NH Fig. ir 6 ; cujus natura non melius quam
ab illius genesi potest intelligi. Sit igitur recta qumi dam
128쪽
dam CX utrinque in infinitum producta , in eaque secetur recta , seu segmentum C E. arbitrariae omnino magnitudinis: ab E & C versus utramque par tem secentur in eadem trecta partes , seu segmenta aequalia lineae CE; a singulis sectionibus AC EG, dcc. rectae erigantur ad A G perpendiculares , dcinaequales et ea semper lege crescentes, aut decrascentes , ut linea GH sit ad aliam EF. sibi immediatam , ut ipsa EF ad proxime sequentem .dc ita deinceps . Rursus segmenta aequalia AC, CE, EG &c. in partes aeuuales semper dividantur , dc ex divisionum punetis novae erigantur lineae prioribus parallelae , dc infinitae Λ G perpendiculares , eo ordine semper crescentes, aut decrescentes, ut quaelibet ex hujustnodi rectis I L sit m dia proportionalis inter MN, ΟΡ, sibi utrimquo immediatas e per singulas rectarum omnium extremitates H S F P L DB &c. ducatur Iinea curva HD B, eamque lineam Logis iram nuncupamus . Illius avis est recta infinita Λ G; rectae vero Λ B , C D., Μ N &c. aκi perpendiculares , nuncupantur in A
Duae inter alias huiusce curvae proprietates maxime celebrantur; prima: Si ab eodem puncto C vem sus eamdem partem G v. g. assumantur omnes a plicarae, dc basis segmenta , duo fiunt ordines , &proportiones , Geometrica una , Arithmetica vero
alia: Rectae enim, seu segmenta C Μ , CI , CO ,
CE, CX crescunt in proportione Arithmetica I. 2.3. q. s. Rectae autem Cl , MN , IL , o P, E F, applicatae ad axim augentur in proportione Geometrica . Ex prima hac proprietate , dc curvae gentii alia nascitur proprietas, scilicet abscissarum seriam C Μ.CI, CO, CE, &c. esse togarithmos alterius serie respondentium applicatarum CD , ΜΝ, IL , o P . Ace. Tertia Proprietas est, curvam logisticam H B in infinitum productam magis semper , dc magis adaxim GA accedere, quin tamen illum tangere, aut secare umquam possit e ac proinde axis S Λ esta symptotos Iogisticae HB. Cum enim semper servetur proportio Geometrica majoris inaequalitatis inter applicatas V. g. S X, TE, PO, dcc. eae semper G a de
129쪽
Ioo . PHILOSOPHIAE NATURALIS decrescent, quin tamen ad Zero Ο , seu nihil devenire possint.
23 o. Exercitatio. Geometrica seu communia aliquot Problemata ad praxim utilia , & ab Elementari Geometria destiam pia , quae tamen Philosophi Tyrones, qui Geometricis rebus parum delectantur, aut in iis ad praxim reducendis tempus impendere nollunt, libere omnino omittere poterunt, dummodo Elementa hactenus explicata rite intelligant, & te
Priusquam sequentia problemata Proponam, Pau ca in tyronum gratiam animadvertam, quibus illorum lectio, atque sudium non leviter Commendari, atque suaderi poste exstimo e primum et steril omnino fore totius Geometriae studium , si ingeniosi alioquin Geometrarum labores, theoremata, demonstrationes in sola rationis speculatione absonere tur, quin ulla inde in res physicas, in artes, in civilem hominum societateiri utilitas derivaretur : maxima vero quae ex Geometria in commune hominum beneficium provenit utilitas , in ipsa problematum resolutione consistit : secundum : communia, quae modo proponam problemata, & esse intela
4ectu, atque de monil ratu facillima , & usui esse inhumanis rebus, mechanicis scilicet, liberalibusque artibus frequentissimo ; & ipsum studentis tyronis
animum post theorematum de ino nil rationes taedio nonnihil a flectum sublevare, atque ad studiu in ulterius prosequenduin confirmare. Postremum hoc eo magis in semetipso verum esse studiosus adolescens experietur, quod ita a natura comparati simus , utvracticas illas Geometricas regulas ignorare erubescamus , quas a methanacis etiam artificibus, dΘ- non strationum penitus ignaris, in usum passim , &1aciliter adhiberi observamus. Ut res igitur palato magiS arrideat, problemata saltem aliqua familiari ex nanto illustrabimus ; ut demonstratae etiam in elementis veritate ς altius menti infigantur: aliorum ver c usum indicabimus. PRO ἀ
130쪽
13 I. Datam rectam quamcumque finitam in duarpantes aequales perpendiculariter secare. Resolusio. Ab extremis ΛΒ Fig. 7. datae, inter-νallo ejusdem rectae AB ducantur arcus, qui se m tuo secent in duobus quibuscumque punctis CD; recta C E D ab una ad alteram sectionem ducta datam rectam bisecabit in E. Demonstratio. Patet ex numero ε7r Cum enim
sint aequales C B, C Λ , B D, D A ; erit CD per
pendicularis ad ΛΗ, eamque in partes aequales dividet iuxta demonstrationem numero citato datam. Hoc problema in quam plurimis artibus infinitum habet usum t illudque passim ab agri mensoribus , aedificiorum delineatoribus, fabris ligneariis, aliisque artificibus solvi animadverte .
232. Ex dato puncto Λ Fig. 3.ὶ extra datam rectam C B perpendicularem ad eamdem rectam C B
Resot. Ex puncto Λ , tamquam centro , describatur arcus, qui datam rectam in duobus punctis CB dividat; ex iisdem punctis CB, tamquam centris , intervallo CB describantur duo arcus se se in puncto quocumque D intersecantes; recta ex dato puncto A pex arcuum intersectionem D usque ad datam rectam C B producta, erit perpendicularis quaesita . Demonstratio patet ex num. 67: sunt enim
aequales B D . CD, S item B Λ , C Λ : est igitur Λ D perpendicularis ad C B . n. 67 γ.
In plurimis artibus, in figuris supra Chartam designandis, in agrorum dimensionibus , in altitudini - bus inveniendis hujusmodi problema adhibetur. Sapra Chartam circino, ita eampo chorda bene tensarem expedies.