장음표시 사용
81쪽
portionalibus rectangulum factum ex prima Μ resetia O aequale erit quadrato facto ex secunda. Sunt enim parallelograma n. 97γρ quae bases , dc altitudines habent reciprocas; cum sit Μ, basis rectanguli, ad N basim quadrati, ut N quadrati altitudo ad O rectanguli altitudinem, per hypothesim . LEMMA. Ix . Si rectae X, Y, Z Fig. 61. parallelae obliquam A N S aequaliter dividunt, aequaliter a se distant ; & si aequaliter a se distant, rectam ΛS oblisque incidentem aequaliter dividunt. Demonstr. Ex punctis Ο, N ducantur OE, NR perpendiculares ad Y, & Z : sistit aequales anguli
soci); latera item ON, NS sunt aequalia per hyp thesim: ergo triangula OEN. NRS sunt omnino aequalia sn. Io 3; & distantiar ΟΕ, NR nares. Secunda pars. Ductis, ut prius perpendicularibus DE, NR, sunt triangula OEN, N RS aequiangula, ut modo demonstravimus , de habent praeterea latera o E , N R aequalia per hypothesim: ergo sunt aequi latera in .ro φ); ac proinde aequalia latera ON, NS. Idem similiter de quacumque alia obliqua NV F demonstrabitur. PROPOSITIO XXIX. THEOREMA.
I 2 I. In triangulo quDumque ΜNP Fig. ει recta RS, laterum alteri NP parallela , alia duo proportionaliter secabit; oe A secet proportionaliter , erit ad latus N P parallela . Demonstratur. Sit M N in aequales parteS V. g. sdivisa, & ex divisionum punctis ducantur per aliud
Iatus M P parallelae AB CD, RS, EF; dico ;esse Μ R ad R N, ut M S ad SP t sunt enim MA, AC, CR, RE, EN aequales per constructionem: ergo parallelae AB, CD, RS, &c atquid istant s α I 2 ): ergo etiam sunt aequales Μ B, is D, D S,Sc. in. Ia ); ac proindΗ Μ R est ad M N, ut Μ Sad MP: seu MR ad RN, ut Μ S ad S P. .
82쪽
ELEMENO GEOMETRICA.seeunda pars. Si DE Fig. 6 ὶ secans proportio naliter latera ABὲ Λ C, non est laterii BC paralis tela, sit alia D X ad B C parallela : ergo erit A Dad DB, ut A X ad XC, quod est impossibile. cum positum sit, esse Λ D ad DB, ut Λ E ad E C .
c OROLLAR IUM. I 26. Triangula quae tamque a quiangula ABC, abc Fig. 66 sunt similia , hoc est , habent latera
circa aequales angulos, aut aequalibus angulis opposita proportionalia . Superimponatur enim trianguin um abe triangulo ABC, angulus scilicet a angulori; uterque congruet: deinde cum sint aequales anguli b, B, c C, per hypothesim; erunt BC, bc parallelae in. 86 : ergo ab est ad AB, ut ac ad ΛC. Similiter si duo triangula ABC, abc Fig. 66ὶ
habeant angulum unum Λ angulo uni a aequalem, di latera circa aequales angulo proportionalia, erunt similia. Imponatur triangulum triangulo, ita ut an guli aequales congruant: quoniam est ab ad AB, ut a c ad Λ C. per hypothesim, erunt bc, BC parallelae n. Ias et ergo sunt aequales anguli c, C:&etiam anguli b, B in. 33 , & triangula similia.
PROPOSTTIO XXX. THEOREMA . 227. Si in triangulo rectangulo quocumque A B C exangtilo recto A ad basim B C ducatur perpendicularis in D. δεο e cientiar triangula X Z, Cr sibi, oe toti
Demonstr. V & o sunt recti, ac proinde aequa las angulo Λ: angulus B& triangulo X,& triangu- Io B Λ C est communis: ergo quod lanerest, anguli Y & C sunt aequales n. roo ): & triangula X, BAC smilia ; quia aequiangula i n. ris ) . Eadem ratione: U & Α sunt recti; C communis triangulis Z, & CAB: ergo tertius T est aequalis tertio B n. 1so e re triangula Z, ABC aequiangula. & s-'miIis sn. 1 Is . Quoniam autem duo trian ρuIa X ,2 sunt similia tertio ABC, sunt inter se similia.
83쪽
COROLLARIUM. 28. In Eoὁem casu Fig. 6 perpendieularis ΛD est media proportionalis inter basis partes BD, DC. Quoniam enim triangula X, ct Z sunt simi-
Iia, habent latera circa aequales angulos O, U, seu aequalibus angulis opposita proportionalia r sunt autem aequales anguli C & Yr B & Tr ergo est CD oppositum angulo T, ad D Λ, oppositum angulo C, ut D Α, oppositum angulo B, ad DB, o positum angulo Y. Hinc , quaecumque recta ΛD Fig. 68ὶ in semicirculo cadens eκ periphaeria perpendiculariter ad diametrum C B erit media pro
portionalis inter partes C D , D B ipsius diametri . Est enim rectus angulus C AB in semicirculo n. 93 ὶ . PROPOSITIO XXXI. THEOREM. I 29. Quaecumque parallelograma similia ADEB. TIOR Fig. 79 babent altitudines ES, O late-νibtis homologis , seu Muibus B E , R O v. g. propodirionales : hoc es, S E est ad do , ut B E ad R o. Demonstr. Producantur AB, T R, quoad per I mdicularibus ES, O Q occurrant : triangula BE, RO sunt aequi angula r nam anguli et de Srecti, sunt aequales s n. 6Iὶ: deinde, quoniam summa duorum angulorum Ο,& EBS aequatur duo-hus rectis; idemquae est de summa duorum V, &ORQ in. 8a ἰ sunt ambae aequales : ablatis igitur utrimque angulis O, & V, aequalibus per hypoth sim; remanent EBS, OR aequales sax. 6. n. 17 r
mologis B E. Ro v. g. proportionales. De monilr. Hujusmodi triangula sunt inter se, ut parallelograma similia, quae eamdem , ac triangula ipsas
84쪽
ipsa, habent basim , & altitudinem tu, 3 3, quorum sunt dimidia tn. Ios et hoc est , triangulum AB Eparallelogramr B D altitudinem E S, & basim Α Β habens, illiusquae proinde dimidium s n. ros , est ad triangulum IR o parallelogrami R I basim TR. st altitudinem Od habens se ut parallelogramum
prius ad secundum ira 3 ὶν habentque latera tam loga altitudinibus proportionalia..
I 3I. Parallelogram a quaecumque similia BD. RIl Fig. 79ὶ habent rationem duplicatam laterum smilium, seu homologorum; lateris B E v. g. ad RO. Demonstratio. Habent inter se rationem compositam ex rationibus basis Λ B ad Basim TR, & altitudinis ES ad altitudinem O sn. II9 : cum igitur ratio ES ad Ο sit eadem, ac ratio B E ad RO , aut ratio basium ΑΒ ad TR n. Ixνὶ: habent igitur inter se rationem compositam ex duabus rationibus aequalibus, duorum scilicet laterum ad duo latera tergo habent rationem duplicatam alterutrius , hasis scilicet ad basim, aut lateris ad latus simile Idem in quadratis omnibus verum habet,. cum omnia. sint parallelograma similia ; in Rectansulis , Rhombis , Rom idibus similibus obtinet . Eadem veritas dε triangulis similibus evidenter constar cum sint directe inter se, ut parallelograma similia earumdem hasium, di altitudinum, ut toties jam explicavimus.
PROPOsITIO XXXII. THEOREMA. 131. Triangula quaecumque CZ E, V H Fig. 3. so. in quae polygona smilis dividuntur sum simi
Demonstr. Anguli U, & Z CE sunt aequales per hypothelim e summa igitur angulorum CZE,. CETpar est summae angulorum Μ H noroo et quoniam igitur anguli M , H sunt inter se aequales ἔ quia adilualibus lateribus opponuntur n. Ioa); idemque este angulis CZE, CE Z: anguli CZ E, dc Μ , a qualium totorum dimidia , iunt aequales ; & idem
85쪽
est de angulis C ET , & H r ergo triangula sunt sequiangula , ac proinde similia sn. I 16 J. In figuris etiam irregularibus smilibus B D . R Is Fig. 79 eadem veritas ostenditur. In triangulis AEB, TOR sunt aequales anguli O, V, per hyp thesime sunt praeterea latera circa eos angulos proportionalia A R ad BE, ut TR ad RO , iterum per hypothesim : ergo triangula sunt similia sn. εὶ Idem pariter de aliis earum figurarum triangulis demonstratur.
I 33. Polygonorum regularium eiusdem speciei. &uni Versim polygonorum quorumcumque similium ambitus, seu perimetri sunt inter se, ut singula latera homo lora. Idem est de similibus quibuscumque trian gnli , paretiola gramis, rectangulis, dc de omnibus quadratis: hoc est: ambitus ΜΗ BSS L est ad ambitum L EX ΛRT, ut HB ad EX v. g. Fig. 49. O . Demonstr. Singula enim latera H B v. g. ad sin- ula homologa , dc sbi respondentia E X eamdem habent rationem , ex hypothesi e ergo omnia simul Iatera, hoc est ambitus ad ambitum eamdem habent rationem , ac singula ad singula n. 33 .
I34. Quaecumque polygona regularia ejusdem speciei Dd Fig. 37 : & universim quaecumque figurae planae sim ij es, triangula, parallelograma , omnia quadrata, & sic de caeteris habent inter se rationem duplicatam laterum homologorum; aut perimetrorum : seu , quod idem est , sunt inter se , ut quadrata laterum homologorum , vel ut quadrata peri
Demonstr. Figurae omnes , de quibus loquimur . vel sunt triangula similia; vel cum similes sint, inaequalem triangulorum numerum dividuntur ; v. n. similia parallelogram a BD, RI Fig. 79. , vel similia pentagona C, U Fig. 9. so e triangula a u. tem similia ii bent inter se raticnem duplicatam la
86쪽
m teruna homologcrum in. 13 r): eamdem igitur rationem inter se habcnt figurae similes , seu tota , quo- xl rum triangula sinitia sunt partes similes n. 3 3. a Cumque eadem sit laterum similium , ac perime ho trorum ratio : idemque etiam sit habere rationem n. duplicatam laterum, ac esse , ut quadrata eorumdem laterum in. et s): manifeste constat , figuras similes s j. esse inter se in ratione duplicata laterum simili uni, h. seu perimetrorum; seu esse inter se, ut laterum similium, seu perimetrorum quadrata.
t 3s. Figurae regulares e usdem speciei v. g. duo
, inter se rationem duplicatam radiorum circulorum , in quibus inscribuntur ; vel sunt, ut eorum radiorum quadrata . Cum enim triangula D SP. Α R, inquat aequali numero dividuntur, sinis milia tn. 331ὶr, sunt latera SP, AB, ut latera. seu radii D S ,
Λ n. rasin: polygona autem sunt , ut quadrata laterum SP, ΑΒ n. 334.) ergo etiam sunt, ut qua- - drata radiorum DS, Q. Λ .
336. Circulorum peripheriae sunt inter se, ut radii, seu diametri: circuli vero ipsi sunt inter se, ut quadrata radiorum, seu diametrorum. Circuli enim, sunt infinitorum laterum polygona similia tn. 333ὶr, eorum igitur ambitus, seu peripheriae sunt inter se, ut latera homo toga, seu similia triangulorum Fig. 37. m quae resolvuntur, hoc est, ut latera, seu radidi i DS, Q. Α : eadem autem est radiorum , ac dia metrorum ratio: cum dimidia sint inter se , ut tota di sunt igitur periphaeriae ut radii, vel diametri. Ex eadem ratione, sunt inter se circuli , ut polygona duo. similia D, Fig. 37 , quae tandem in ipsos circulos desinunt in. D 3): at hujusmodi
polygona sunt semper inter se, ut quadrata radiorum DS , Q Λ n. I 33ὶ: eamdem igitur rationem habent circuli; suntque proinde in ratione duplica-- ta radiorum , seu diametrorum. SCHO.
87쪽
x37. Ut igitur innotescat , quam inter se rati nem habeant duae figurae similes D, et v. g. t Fiε-37ὶ duo earum homo toga, aut similia latera emetire SP v. g. & Λ B: quaerantur eorum laterum qu drata , quae eamdem , ac figurae rationem habebuntia
Sit v. g. SP. 6 pedes i ΑΗ, 3r Singuli hice n meri 6, 3 in se ipsos seorsim ducti essiciunt producta , 36, 9, quadrata: ratio igitur figurae D ad figuram est, ut 36 ad 9. Hoc pacto Circulorum omnium . & quarumcumquae figurarum similium Iroportionem dignosces. Quod si non solum latera
imilia, sed praeterea figurarum ulterius aream n tam habeas . ignotae figurae non tantum proporti
nem , sed iustam etiam mensuram , di magnitudinem di nosces. Vide problemata aliqua curiosa huc spectantia in appendice secunda resoluta .
' a 38. Μultoties in Physica planorum mentio oCeurrit, praecipue vero in Sphaera, in Geograpbia pΘ- flea, in Optica, Catoptris Dioptrica . ubi de speculis , & quibuscumque corporum reflexionibus , Crefractionibus agimus , & in quampIurimis aliis Physicae, experimentalis tractatibus: ne igitur Philosopho, cum ad illa loca devenerit, aqua haereat, sequentia, quae necessaria existimavi, ex Geometria subjungamus.
DEFINITIO.33 ρ. Quid nomine plani intelligatur , numero sodefinivimus. Linea perpendicularis ad planum es il-Ia CB, Fig. 8οὶ quae ita cadit in planum EF DG.
ut sit perpendicularis ad omnes rectas FG, HI, ED in illo plano per punctum C ductas, in quod cadit perpendicularis . Ut igitur recta aliqua sit perpendicularis ad planum , satis non est , quod ad unam tantum rectam per C in pIano ductam sit perpendicularis: aliter linea quaecunque OS s Fig. 8x j in planum incidens , eisset perpendiculariS ς cum ad aliquam rectam N Z perpendicularis exi
88쪽
ELEMENTA GEOMETRICA. ' systat. Omnes aliae rectae v. g. BF aut NC sunt. &dicuntur ad planum obliquae : neque enim BF est perpendicularis ad FG per punctum F transeuntem .
DEFINITIO. I O. Inclinatio unius rectae BF ad planum EF DG est angulus BF C formatus ab ipsa recta BF .& alia F C . quas in plano a puncto F ducitur per punctum C, in quod cadit perpendicularis BC Fig. 8o .
Hic est angulus minimus omnium, quos recta obliqua BF emciat eum quacumque recta, quae in praedicto plano per punctum F ducatur , ut facile demonstrari posset. DEFINITIO.r i. Planum si ad aliud planum reseratur, vel est perpendiculare , vel obliquum , vel parallelum .i Planum EF Fig. 8xὶ est ad aliud planum BD perinpendiculare , cum neque ad partem CD, neque ad oppositam A B inclinat , ita ut snt recti anguli R ML, LΜS facti a rectis R S, L Μ, quae in utroque plano ducuntur ad communem sectionem H G perpendicularos. Plana obliqua sunt F Z , A Λ Fig. 32. quorum unum ita in aliud cadit , ut angulum ex una parte essiciat OS RA minorem , quam OPPO- situs ab eadem OS , & RS continuata efformatus seu cum planum FZ magis in unam , quam in aliam partem inclinat.
DEFINITIO. I 2. Planorum inclinatio est angulus OSR , Fig. 8a.
quem essiciunt rectae OS, S R in utroque plano ad idem communis sectionis punctum S ductae, atque ad se-stionem ipsam perpendiculares. Communis autem se stionis nomine mani sellum est , illam rectam N Tintelligi, quae in utroque plano existit. Plana similiter inclinata sunt illa, in quibus inclinationum anguli sunt similes, seu aequales. Plana tandem parat
tela AB, CD Fig. 8 3 sunt illa, quae, etsi in insiditum producantur , eamdem semper inter se habent
89쪽
εο PHILOSOPHIAE NATURALubent distantiam. Haec autem in planis , sicut & in lineis rectis parallelis , est recta ad utrumque planum perpendicularis.
Omnia haec, & alia modo dicenda scire, & intel- digere in sequentibus juvabit . .pROPOSITIO XXXIIL THEOREM.
I 3. Communis duorum, aut plurium planorum Sectio est dinea recta.
Propositio est per se evidens: sint duo plana FH. IL Fig. 83. se secantia. communis eorum se ctio, nill esset recta N Ο, esset curva aliqua NRO,NSO: j m vero communis sectio debet esse in utroisque plano: licet autem in uno plano IL duci possint quamplurimae curvae v. g. NSO, impossibile tamen est, aliud planum FH per omnia puncta ejus Curvae transire, quin incurvetur, & des natesse planum, contra hypothesim . Porro non solum duo, sed infinita plana eandem communem sectionem habere possunt; eo pacto axis Mundi est communis omnium meridianorum sectio.
PROPOSITIO XXXIV. THEOREMA. I 4. Si duae rectae L Μ, IK Fig. 8a sunt perpendiculares ad planum aliquod B D, erunt inter se parallelae.
Demonstratur: Per puncta Μ Κ in plano BD ducatur recta HG; erunt anguli .LMG, IKG aequales , quia recti. per hypothesm; ergo rectae LΜ, IK sunt parallelae n. 86 . PROPOSITIO XXXV. THEOREMA . I s. Si duae rectae L Μ, IK sunt inter se parali Iae , er earum tina L Μ es ad planum B D perpendiacularis , etiam aurea IK eris ad idem planum perpendicularis Fig. 8r . Est per se evidens: si enim L Μ nullam habet inclinationem ad partem aliquam plani; ejusmodi erit quaecumque alia sibi parallela et aliter delirueretur
90쪽
ELEMENTA GEOMETRICA . ει PROPOSITIO XXXVI. THEOREMA.
Ab eodem puncto C unius plani unica tantumois do C B ad idem planum perpendicularis excitari potess. Demonstratur; si negas; erigantur duae CB , CN :erunt ergo inter se parallelar n. i εὶ: quod est impossibile t Fig. 8o . PROPOSITIO XXXVII. THEOREMA.147. Ex quocumqae puncto B extra planum unica tantum recta duci potes ad planum perpendicularis .
Demonstratur; Si plures duci possent; sint illae BC, BF ad planum EFG perpendiculares r sunt ergo parallela: n. I r quod est iterum impossibile. Hi ne demonstrabimus in Geographia, unicam eia se lineam directionis corporum gravium , quae scilicet est perpendicularis ad horizontis planum; eaquo omnia in Telluris centrum tendere.
PROPOSITIO XXXVIII. THEOREMA. I g. si recta BC ita incidat in planum EF DG. ut fit perpendicularis ad duas rectas F G, E D in eo
plano per punctum C ductas; erit etiam ad omnes alias rectas HI in eodem plano ductas, o per C transeuntes. γ' consequenter ad planum ipsum perpendicularis. Demonstratur. Propositio facile patet : assuman
B non est perpendicularis magis inclinat v. g. Versus H , quam versus tr punctum igitur B minus distat ab H , quam ab Ir minus ergo etiam distat ab E F versus H existentibus, quam ab G D, quae versus I sita sunt, quod est impossibile; cum quodlibet punetiim B perpendicularis BC aequaliter disset ab extremis perpendicularium aequalium, quas per medium secat. PROPOSITIO XXXIX. THEOREΜΑ. 3 9. Si recta aliqua HE Fig. 8 fuerit ad duo, σμt plura plana ΒΛ , CD perpendicularis; haec omnia plana erunm inter se parallela.