장음표시 사용
131쪽
rox PHILOSOPHIAE NATURALIsia PROBLEMA I a 33. Ex dato puncto Α Fig. 6.ὶ in data recta BC
RUOL ex Maincto Λ in data recta assiimantur utrimques aequales partes AB, AC: ex punctis BC, tamquam Centris , communi intervallo describantur arcus , qui se se in puncto D intersecent rrecta A D , ex dato puncto A ad intersectionem D producta , erit perpenkicularis quaesita. Demonstratur ex Irum. 67. Sunt enim aequales Λ B , Λ Cper constructionem, & BD. C D in. εοὶ: ergo DΛ est perpendicularis tu. 67 . Resolutio supponit, punctum datum B non esse exintremum datae rectae BC, sed ab extremo distare , vel saltem datam rectam facile in utramque partem s. dato puncto B produci . Si tamen punctum d
tum B seret datae rectae extremum , neque eam con
tinuare velim , aut commode possim ; alia regulas serius numero IIs proponenda , & demonstranda solvetur problema . Haec etiam praxis est in omnibus figurarum delineationibus supra chartam , in agris, in mec hanicis artibus usitatissima. Recta supra chartam continuatur Ope, regulae, quae continuandae rectae applicetur , & congruat: ratio probandae regulae est ; lineam rectam illius ope ducere, & postea, inversa regula, rectam aliam supra priorem iam descriptam describere: sit utraquct congruat . recta est regula; secus, si non congruat. In Campo du Litur ab uno ad alium locum dissitum ope lineae visualis, quam per pinulas quadran iis a loco, ubi existimus, in datum locum colliniantes ductam intelligimus, & per interposita aliqua signa notamus. Sed haec fusius alibi prosequimur.
PROBLEMA IV. 334. Per punctum quodcumque datum B t Fig. ro.
extra rectam datam C Λ ducere rectam EF datae rectae C A parallelam. Res . Ex puncto B ducatur recta B X ad da
132쪽
ELEMENTA GEOMETRICAE IOItam rectam C Λ perpendicularis tu. 229 2 ex eodem puncto B excitetuc alia recta BE ad rectam AX perpendicularis di erit recta EBF parallela quaesita. Demonstratur eπ numero 7I- Rectae enim EF, C A eidem rectae Bx perpendiculares , sunt parat-IME . Multo faciliorem praxim post immediatum problema proponam. Iuxta regulam igitur statim proponendam, & d monstrandam problema solves , cujus usus est latis simus. Recta v. g. data CD Fig. as. sit . vel in Charta, vel in Campo excavandi Canalis ripa, dividendi Campi , construendi palatii, latus t datur punctum B extra datam rectam per quod aliud Canalis latus priori parallelum in Charta, aut in Campo ducendum est independenter ab omni, &quaeumquθ linea pe endiculariis
Resol. Ex puncto A intervallo Α B describatur circino arcus BC inter anguli laterar pari interva is LM ex puncto L describatur per Μ arcus Μ Oitum apertura circini assumatur arcus BC, angulIdati Λ mensura ; eademque apertura ex puncto Mabscindatur arcus ΜΟ; ducta denique ex L per O, extremitatem arcus, recta LO , erit angulus L per constructionem ansulo Λ aequalisia Per punctum igitur N Fig. a extra datam rectam C D ducetur parallatae Λ B eidem rectae C D, si ducta utcumque NU, ita ut datam rectam se- feet , fiat angulus externus X angulo interno, &opposito S aequalis. Demonstratur ex numero 36. 36. Problema pariter ope angulorum alternorum
NM s Fig. 23. aequalium tu. 8s. resolves ῆ com muni scilicet intervallo BC eκ punctis B, & C, a cus RS describendo. In campo sit columnarum , aut arborum seriei AN NB Fig. 77. ordo alius parallele disponendus per punctum Me habeatur semicirculus A FB s Fig. 7 in gradus & minuta divisus, dc praeter pinu las ΛΒ, alidada , seu regula instructus , quae circa G 4 cenis
133쪽
MA PHILOSOPHIAE NATURALI gcentrum B libere convolvatur, & perforatis pinulis , aut telescopio si praedita: hujusmodi semicirculum ita dispone in Λ , ut illius planum sit horirontale,& ex Λ per foramina pinularum Λ B punctum Μvideas; aliam regulam ita circa centrum B, immoto instrumento , converte , quoad ex regulae E F extremo E quod in R supponi potest per pinu larum soramina , aut teloscopium collimando videas arborem B: nota arcum interceptum inter B, &F.
hoc est, angulum , sub quo ex Λ vides distantiam ΒΜ. Postea vero instrumentum in Μ translatum ita dispone horigon taliter, ut per priorem regulam Λ B videas ex Μ punctum , seu primum signum A: si alia regula EF observatum angulum adhuc in instrumento indicat , & per illam ex Μ versus partem X collimes, Iinea ilia visualis , & quidquid in illa observaveris, erit priori ANN B p rallelum. Non dissimili modo eodemque , aut simili instrumento in agris ex puncto quocumque Λ ad rectam datam Λ B perpendicularem duces v. g. A X et Instrumentum enim hori Eon taliter dispone, & regulas AB, E F ita convolves , ut angulum rectum , hoc est, quadrantem comprehendant. Postea vero si per unam collimes in B, per aliam collimando versus X; ' ea linea recta visualis erit perpendicularis quaesita.
rectam lineam posita circulum describere.
Resol. Iungantur rectis A B, BC tria puncta data; posteaque restae Λ B, BC ductis rectis FD, HO bifariam, & perpendiculariter secentur. Ex punincto D. duarum restarum concursu , tamquam ceri tro per punctum C v. g. ductus circulus per alia etiam puncta transibit. Demonstratur ex numeris Τ 73. Quoniam enim ut aequales anguli DIC. DI B. praetereaque late
ra D I. I B aequantur lateribus DI, IC; erunt DC, DB aequales s n. Ia 6 : eodem modo probabitur DB & DΛ esse aequalest D igitur est centrum circuli transeuntis per AB C. PRO.
134쪽
Dati circuli centrum invenire. Problema est immediate antecedenti prorsus simi-Ie. In figurarum delineationibus, in circularium fere Agrorum, Civitatum , Lacuum centris inveniendis maxime locum habet. Resia. Detur igitur Circulus iam descriptus A RE, Fig. 16. ) cujus centrum quam tur . Ducantur utcumque duae chordae quaecumque Α Β BC: utramque perpendiculariter biseca rectis HG, FE; dico sectum , quaestumque circuli centrum esse communem illarum duarum perpendicularium intersectionem D. Utraque enim illarum transit per centrum,s n. et ): hoc igitur necessario est communis illarum
139. Datum πrcum circularem bifariam dividere. Proponitur arcus, aut segmentum circulare D RER Fig. x in duas aequales partes dividendum. Refol. Ducatur Chorda DE, dati arcus extrema conjungens: hujusmodi chordam perpendiculariter biseca in. 13 IJ, ducta recta ΛR: dico factum . Demonstr. Cum enim AR perpendiculariter , &in duas aequales partes secet chordam D E per construct.); erunt aequalos D R , RE, scut & DA,
Λ E n. 67 in . Si autem Chordae AD, A E sunt
aequales , etiam arcus ΟΛ, Λ E aequantur n. 6o. axiom. 3. J. Arcus circularis cuiuscumque dati DAE centrum per problema superius, invenitur: hoc igitur in optica, praecipue vero in Dioptrica ad lentis cujuscum- quo convexae , aut concavae centrum, di socum inveniendum inserviet.
PROBLEMA IX. 24 . Supra datam rectam Λ B Fig. I. in triangulum aequilaterum describere. ReDI. Ab extremitatibus A B datae rectae , tam
135쪽
ros PHILOSOPHIAE N CT Aras 'quam centris , intervallo AB describantur areus, qui se se in O intersecent, ductisque ab extremitatibus Α B ad sectionem rectis ΛΟ, ΒΟ, erit AB O triangulum aequilaterum, ut ex constructione Patet .
PROBLEMA X. 2 T. Per extremitatem B rectae BD Fig. 3r. pe
RUOL Per duo data puncta BD datae rectae extremitates ducatur circulus problema 6. l, & a puncto D per centrum o ducta diametro DC, ex C, diametri extremitate, ducatur CB ad datam extremitatem rectae datae; erit C B perpendicularis quaesita. Demonstratio patet evidenter eκ numero 9. ,& s r. Angulus enim CBD est angulus in semicirculo in. 88. : ergo est rectus n. 9r : ergo CB est Perpendicularis ad BD , per cuius extremitatem
PROBLEMA XI. 2 2. Supra datam rectam Α Β Fig. 47. quadra
stum , aut rectangulum excitare.
ReDI. Ex puncto A erigatur AC aequalis, & pe pendicularis ad datam A B; postea ex punctis CB,
tamquam centris , intervallo Α R describantur duo arcus, qui se mutuo secabunt in D: ex iisdem punctis C B ad intersectionem D ducantur rectae BD, C D ; dico factum. Demonstratio patet ex constructione, & ex numeris ρε. ros; omnia enim latera sunt aequalia: deinde cum anguli oppositi sint aequales n. ros ), & Λ si rectus , etiam D erit rectus erecti etiam erunt BC; sunt enim pares inter se, &aequales duobus rectis . cum quatuor anguli simul sumpti A BC D sint aequales quatuor rectis.
Similiter supra datam rectam ΒΛ Fig. 6. re ctangulum BD datat altitudinis BC excitabis , si , erecta ex B perpendiculari BC. ex puncto C intervallo ΒΑ, dc ex puncto A intervallo BC describantur arcus sese mutuo secantes in D, ducan turque ad D rectae ΛD, CD. PRO-
136쪽
ELEMENTA GEOMETRIca. ror PROBLEMA XII. 143. Supra rectam datam ΑC Fig. 8. Rbombum , seu parallelogramam quoviumque μι dato Angula o consti
Resol. ex puncto A erigatur Α Β , ita ut angulus A sit aequalis angulo O: AB erit aequalis, aut inae. qualis rectae AC pro qualitate, & natura erigendae fi gurae. Postea ex puncto B intervallo AC ,& εκ puncto C intervallo AB describantur arcus, qui mutuo se-eentur in D, ductisque rectis CD, DB dico factum Demonstratio est eadem modo adducta.
244. Dati cujuscumque polygoni regularis RXE Fig.
49. angulum R, seu anguli valorem- invenire. ResoL Detur v. g. polygonum ε. laterum: per numerum laterum polygoni , t nimirum C in dato exemplo dividatur tota circumserentia circuli, seu 3ω gradus: quotus εο . seu sexta pars circumferentiae, hoc est, arcus R A ex semicircumferentia RAE . seu ex Igo. gradibus subtrahatur; reliquum , 'hoc est , rao. gradus seu arcus AXE erit valordati anguli R polygoni regularis dati . Demonstratio patet ex numero 'o: mensura enim anguli Rest dimidium arcus Λ ET cui insistit, hoc est, arens AXE., seu dimidia circumferentia R Α , X E
lato arcu RΑ. Ηujus problematis beneficio polygona quaecumquEregulariet supra datam rectam in Charta , aut in Campo facile describimus , aut descripti cujuscumque polygoni regularis v. g. propugnaculi , arcis . civitatis typum formabimus : cum huiusmodi delineationum caput sit, describendarum figurarum angulos agnoscere. Ia tamen clarius ex sequenti problemate constabit. ipRο-
137쪽
PHILOSOPHIAE NATURALIS P R O B L E M A XIV.
fiam anguli Q AB, Λ BQ aequales dimidio anguli I SP polygoni dati: ex puncto Q ubi latera Ad,
B concurrunt, intervallo RΛ describatur circulus Λ E C, in eoque unica circini apertura A B ducantur chordae BC, CE &c. quae polygonum quaesitum component. Demonstratio deducitur ex numeris Ios, I 7: d
scriptum enim supponatur polygonum quaesitum AB GE; circulus Q necessario transibit per puncta Λ BC ΕΚ aeque distantia fi centro Q , atque singula puncta A, B e circulus igitur O polygonum ci cum scribit, & chordas AB, BC ccc. exacte Com
246. Haec regula nos docet, quo pacto Cujuscum que regularis figurae, v. g. arcis, civitatis, Ac Caere rarum typus formetur, & in charta , aut Campo exhibeatur. Pone enim SΜP propugnaculum quoddam esse regulare, cujus typum describere , atque habere oporteat. Data specie polygoni , hoc est, ejus laterum numero, per superius problema habebis anis gulum, seu angulorum tingulorum v. s. T SP δradus: illius igitur anguli dimidium facile invenies: Si igitur supra exiguam lineolam ΑΒ typum, praedictae figurae omnino similem, describere velis, rem exposita modo ratione obtinebis. Quod si figura, cujus typus supra chartam est deis lineandus sit omnino irregularis et praxim inferius numero 167 exponendam adhibebis.
PROBLEMA XV. a T. Quadratum plurimis simul quadratis aequale
Resei. Sint duo, 3, Io,aci quadrata dcc., quaeritur unum omnibus aequale. Sint primum duo quadrata
138쪽
ELEMENTA GEOMETRICA. 1 os XL s Fig. 34ὶ disponantur ad angulum rectum, doctaque C B ut compleatur trianguham rectangulum, erit quadratum supra CB aequale duobus quadratis CB, CB sn Dol: Rursus tertium quadratum, hoe est, illius latus, erigetur perpendiculariter in B, sitque B , Y; ducatur C Y; eritque rursus CY latus quadrati aequalis tribus simul quadratis X TRY; dc ita deinceps continuari poterit, &quadratum pluribus semper ι & pluribus datis quadratis aequale inveniri , ut evidenter patet ex nu
Hoc problema, quod postea fiet universale, & ad omnes alias figuras similes extendetur, in aestimandis, dimetiendis, comparandis, & permutandis agris, plurimisque aliis rebus locum habet. Agrum v. g. quadratum idem de aliis postea dicemus in cum plurimis aliis campis quadratis , sed minoribus per
mutare volumus: ne tamen dolus, aut error in permutatione locum habeat, quaeritur, sit, nec ne aliqua ex Parte excessus, an vera potius aequalitas in terveniat λ Si permutare velis . tres agros quadratos
V. g. AI, BG, A E Fig. 33 cum agro CA BD; Fig. 47 aequalitatem, inaequalitatem. , atque differentiam exposita ratione comperies.
2 8. Quod si plurima sint quadrata cum eodem Comparanda , atque unum omnibus aequale inveniendum, rem multo facilius hac ratione obtinebis: s pra rectam LR Fig. :ὶ indefinitam erigatur perpendiculariter RO etiam indefinita r duorum priorum quadratorum latera L R, RV supra illas rectas ita assamentur, ut angulum rectum essiciant: ducemus hypothenusam LU, & habebimus latus quadrati primis duobus aequalis . Hanc rectam L Udispone ex R supra rectam indefinitam & sit v. g. RO; a Sume tertii quadrati latus , quod in indefinita etiam RL accipiatur, sitque R L; ducatur Lo; erit haec quadrati latus tribus quadratis aequalis, atque ita in infinitum continuari res potest.
139쪽
PHILOSOPHIAE NATURALIS PROBLEMA X
249. Datorum Quadratorum diserentiam invenire. Hujus problematis idem , atque praecedentis, vel major etiam usus , & utilitas existit . Permutandi sint duo agri quadrati s idem ad omnes alias figuras similes infra extendetur , quorum Iatera sunt v. g. LV, LR Fig. 4. , quaeritur differentia. RUOI. A puncto R supra indefinitum RL assuis matur latus dati quadrari R L; alterius item quadrati latus LV circino assume, unoque illius crure in L defixo, alium convolve, donec indefinitae RoOccurrat v. g. in V; ducta recta LV, erit RUdifferentia agrorum quaesita: seu ager alius quadra. tus, cujus latus sit RV, erit datorum agrorum differentia. Est enim quadratum LV aequale duobus LR, RV. N
PROBLEMA XUILaso. Datis duabus rectis CD, BD, Fig. 68. me
diam propresionalem Λ D invenire. Resel. Disponantur in directum datae rectae , ut unam solam emciant, supra quam , ut diametrum , describatur semicirculus C Λ B; deinde ex puncto D , communi utriusque rectae extremitate , erigatur perpendicularis D Α usque ad periphaeriam; erit DΛ media proportionalis quaesita. Demonstr. ex num. I 18: est enim CD ad D Α,
Mirum est , quam latissime pateat per Geometriam universam. & alias scientias mathematico-physicas huiusce problematis usus. Non levis etiam est ejusdem fructus, quod ope mediae proportionalis figuras quascumque planas similes augere, aut diminuere Geometrice possumus in quacumque ratione data, hoc est, campum quemcumque, civitatem, Pr vinciam aut illorum typum in data quacumque ra tione augere , vel minuere . Id vero inserius pro
140쪽
ELEMENTA GEOMETRICA. III PROBLEMA Uu.
Is r. Quadratum aequale rectangulo dato invenire . .
Ress. Rectanguli cujuscumque dati duo latera inaequalia v. g. CD, DB Fig. 68. ita in directum disponantur, ut rectam emciant CDBr supra eam rectam , tamquam diametrum . bifariam divisam describatur semicirculus C A B : deinde ex puncto D, utrique rectae communi , Erigatur perpendicularis D Λ usque ad periphaeriami dico quadratum rectae DΛ esse aequale rectanguIci D dato ex CD,
Demonstratio patet ex numeris I 27, 128: Sunt enim proportionales CD, D Λ, DB s n. ing)-r ergo quadratum mediae D A aequale est rectangulo duarum eκtremarum CD, DB n. 123. Rem essiciet clariorem rectangulum , & quadratum C ABD Fig. r. : quaeritur scilicet campus quadratus A D , qui sit aequalis campo rectangulo Λ BDC Fig. 33. . Duobus igitur rectansuli lateribusCA, CD in eamdem rectam dispositis quaere mediam proportionalem.
Quod si illud quaereretur, an agri C B , C B quadratus , & rectangulus , essent aequales, an inaequa-Ies, & quale esset inter illos discrimen , facile utrumque obtinebis, si per datam regulam rectangulum CB in aequaIe sibi quadratum convertast id vero quadratum cum proposito alio quadrato Λ D conseras , ut problemate 16 docuimus.
y2. Dato triangulo euicumque rectilineo ΚΜL Fig.
32.ὶ quadratum aequale construere. Beneficio huius problematis figuram quamcumque planam rectilineam in quadrata reducere, & Conver tere edocemur, ut eo pacto reductae comparari inter se possint, earumque proportio inveniri: cum enim
omnes figurae planae resolvi possint in triangula 13. m); si triangula singula in singula aequalia quadra converti possint, cunctaque tandem quadrata in