장음표시 사용
71쪽
41 PHILOSOPHIAE NATURALI scommunem altitudinem O C , seu RC . Cum enim sint aequales BA, Λ Ε, chordas , aut latera polygoni; earum a Centro C, triangulorum apice, distantiae sunt aequales in. 76 et ejusmodi autem perpendiculares sunt triangulorum altitudines n. 93 et
PROPOSITIO XXIV. THEOREMA. Io I. Parallelograma AC DB, ECDF Fig. si ,
quα eamdem, aut aequalem ba m CD ς θ eamdem , aut aequalem altitudinem habent , seu inter e dem parallelas L M, A F exi sunt, sunt aequales . Demonstri AB, & E F, aequales tertiae CD n. Ios , sunt aequales inter se : addita utrinque RE, erunt Λ E, BF aequales n. 27 : sunt item aequales C E DF , CA DB in. ros ): ergo triangula Λ EC, BFD sunt aequilatera , dc omnino aequalia n. Io ). Ablato igitur utrimque triangulo B Eo, erunt trapezia CGBA, DO EF aequalia sn. 27. ax. 6 ὶ: addito item utrimque communi triangulo COD. erunt tota , seu parallelograma C ABD, CE FD aequalia i ax. 6. n. 27 ) .
1O9. Triangula quaecumquo CΛD, CED ejusdem, aut aequalis basis, dc ejusdem, aut aequalis altitudinis sunt aequalia. Sunt enim dimidia parallelogramorum AC DB, CDFE, quae super communem trian pulorum basim CD, & cum eadem altitudine describuntur . Generatim triangulum quodcumque A CD, est dimidium parallelogrami cujuscumque CD FE , aequalem basim, dc altitudinem habentis: est enim dimidium alterius parallelogramia CBD sub . eadem basi & altitudine construeti , quod exinde est priori parallelogramo aequale , ut
modo in propositione demonstravimus. Unde etiam, dc ex superius demonstratis numero ros evidenter insertur, quodcumque triangulum M KL aequale ense parallelogramo cuicumque MKNO Fig. 33 eamdem altitudinem. dc dimidiam basim, vel eamdem basim, dc dimidiam altitudinem habenti. PRO
72쪽
ELEMENTA GEOMETRICA. ΑἶPROPOSITIO XXV. TIGOREMA.Do. In triangulo rectangulo A BC Fig. 13. quadratum lateris oppositi angulo recto es aequale duobus simul reliquorum laterum quadratis et hoc est AE est aequale duobus simul AI, BG. Demonstr. Ex angulo recto B ducatur recta BE;& BL parallela rectae CE: ducatur item Λ G. Quoniam triangula AC G, BCE habent aequalia
item aequales, cum ad angulos Oo rectos, ac pro inde aequales n. 6 IJ, addatur communis ACB s ax.ε. n. 27ὶ; erunt tota triangula BC E parallelogrami ΚCEL dimidium, cum eamdem habeant basi iriCE, & inter easdem parallelas EC, Lis .existant
n. Io'): ob eamdem rationem erit triangulum ACU parallelogrami quadrati BCG dimidium : quadratum igitur BC G. & rectangulum Κ CE sunt aequalia , cum sint aequalium dupla. Eodem pacto demonstrabitnr rectangulum Κ D quadrato A I esse aequaler duo igitur quadrata simul AI, BG duobus simul rectangulis DK, KE, hoc est, quadrato A Esunt aequalia .
HI. Ex demonstratis modo theorematis quascumque figuras planas mensurandi modum eruimus . Communis autem, qua utimur in mensurandis su perficiebus, mensura est alia item , & nota supersicies, Pes, scilicet, aut palmus quadratus , hoc est , quadratum , cujus singula latera pedalem , aut palma rem habent extensionem : ad majores item superficies adhibetur ulna , hexapeda , vel etiam leuca quadrata. Quadrata pro communi mensura adhibemus, quia ob angulorum , di laterum aequalitatem sunt commodiora. Porro ad lineas, seu extensionemqRamcumque dimetiendam aliis etiam notae exten- is lineis utimur , puta palmo, pede, he Xa peda , leuca lineari &C. 'Ut quadrati cujuscumque BC. Fig. 7. aream dign0icas, notis prius lateribus, seu uno tantum la
73쪽
tere mensurato fiunt enim omnia aequalia , unum
in aliud latus duces, seu latus quodcumque ΑΒ in se seipsum duces. Sit AB, quatuor pedes longum , & in totidem pedes divisum, ut & latus AC, ductisque per singula divisionum puncta rediis perperidicularibus , tota area quadrati in quatuor ordines secundum altitudinem est divisa; singuli ordines inquatuor pedes, ut & ipsa figura demonstrat. Ex eadem ratione , ut rectanguli BD s Fig. 46 aream dignoscas, altitudinem BC per basim Bri 6 in multiplica ; productum 2 , seu 2 pedes quadrati erunt tota rectanguli area . Universim vero
cujuscumque parallelogrami CE FD v. g. Fig. ys aream elicies, si illius altitudinem CR per basim CD multiplices r est enim quodcumque parallel eramum C EFD rectangulo D Α , eamdem basim ,& altitudinem habenti, aequale, ut superius demonstravimus n. Io 8 r eodem igitur modo & parallelogramum,& rectangulum metiri opus est; altitudinem scilicet in basim ducendo. Quoniam triangulum quodcumque C ED Fig. si j est dimidium parallelogrami CF, aut rectanguli C B eamdem basim, & altitudinem habentis, patet, aream trianguli recte elici, si dimidiam altitui dinem per basim multiplices. Notatum hic iterum tyronibus velim , quod superius diximus , ne scilicet figurae altitudinem cum illius latere confundant, licet interdum utrumque coincidat.
SCHOLLON ILII 1 Area cujuscumque polygoni regularis Fig. 33ὶ habetur , si dimidiam altitudinem alterius eo
rum triangulorum, in quae resolvitur polygonum , per omnia polygoni latera , seu per integram ejus circumserentiam multiplices; seu integram altitudinem in medium perimetrum, seu Circumferentiam ducas et perpendicularis enim o C est communis omnium triangulorum polygoni altitudo : perindeque elicitur polygoni area , ac plurium triangulorum aequalem basim, & altitudinem habentium . Sit ν. g.
O C pedes longar Intula latera B Λ , Λ E V. g.
74쪽
ELEMEWA GEOMETRICA. : 8 in numerum laterum s 3 ὶ ductus emeit o ) :
media altitudo a ducta in εο essicit 8o pedes quadratos pro integra polygoni area .
Ut Trape Zium quodcumque Z R T S Fig. 16
aut polygonum irregulare dignoscas, prius in trian-
ula , planarum figurarum simplicissima , dividena sunt. Singulorum triangulorum modo supra posito dignoscendae sunt areae seorsim , quae postea in unam summam colleetae integram Trapezii, aut polygoni aream e Sciunt.
Circulus SΜR Fig. 37) tamquam regulare polygonum, cujus latera fuit infinita, & infinite parva, spectari recte potest . Si enim circulo ejusmodi inscribatur polygonum regulare STMNP quinque laterum n. Io6ὶ: postea vero singuli arcus TM, MN, quos subtendunt , aut secant praedicti polygoni latera, iterum bisecentur in R R , ducanturque ex singulis polygoni angulis T Μ v. g. ad puncta R R novae , & minores chordae TR, RM , ΜR &c. novum emcitur polygonum circulo inscriptum, cujus Iatera sunt plura duplo, & duplo mi-ῖ0ra, quam primi; novumque polygonum magis ad circulum accedit. Quod si ita ulterius pergas , interceptos semper arcus dividendo , novaque minorum semper laterum polygona inscribendo , ad id
polygonum devenies, cujus latera cum parvis, quos subtendunt arcubus pene confundantur, totaque m
lygoni periphaeria in circulum desinat , & pro circulari spectari possit . Unde polygonum regulare , cujus latera sint in sinita, & infinite parva, est cir culus; & circulus , tamquam hujusmodi polygonum speclari, & tractari debet. . . 'Cum igitur circulus infinita habeat latera, in infinita dividitur triangula, quae eamdem habent altitudinem, nempe radium , qui ad latera , infinite par- 3,& in curvam peripheriam abeuntia est perpendicularis. Dimidius igitur radius, seu altitudo , in omnes infinitorum triangulorum bases, hoc est , in totam circuli periphaeriam ductus emcit totam circuli aream. Eo enim pacto triangulorum areae recte eliciuntur , ut supra docuimus . Unde ad circuli ream eliciendam, dimidium radium per totam Cir
75쪽
cum serentiam , vel dimidiam circumferentiam perintρrrum radium multiplica. Est qui de circulus quicumque G AF aequalis triangulo M KL. cujus altitudo ΚΜ sit radius circuli, basis autem KL circumferentiae circuli aequalis . Unde etiam. & ex superius demonstratis liquet, Circulum eme aequalem rectangulo ΚΟ cujus altitudo sit radius , basis a item KN dimidiae circumferentiae aequalis: trian pulum enim MKL circulo HGEaequale , eidem rectangulo aequatur n. ro9 . quo
niam autem id om triangulum ΜΚ L est dimidium parallelogrami Κ P eamdem altitudinem ΜΚ radicem), &eamdem basim KL circumferentiae aequalem ) habentis sn. Io9ὶ, erit circulus ejusdem Parallelogrami dimidio aequalis Fig. 32ὶ.ri 3. Inserius demonstrabimus, fieri posse quadratum rectangulo ΚΟ aequale , hoc est, quadratum
aequale circulo , cui par est dictum rectangulum . Inventa igitur esset geometrica circuli quadratura , seu aequalitas inter circulum datum , & quadratum etiam notum , circulusque , tamquam quadratum
tractari posset , si id unum assequeremur , in quo
rei cardo vertitur, exactum scilicet peripheriam circuli geometrice mensurandi modum , & rationem ς inventaque esset & nota ratio, quam habet radius circuli ad circumferentiam I seu aliis terminis , si recta geometrice inveniri posset, quae sit dati circuli circumserentiae aequalis: antiquissimum problema, cujus solutio geometrica per duo & amplius annorum millia quaesita adhuc desideratur. In praxi tamen , ut plurima , quae hinc pendent , resolvantur problemata, citra sensibilis erroris periculum aliqua εκ tribus sequentibus diametrum inter , & circumferentiam rationibus uti potes: prima, & comino disesima, quae Archimedi tribuitur , statuit diametrum esse ad circumferentiam , ut 7 ad 2r , seu ut 1 ad 3 proxime: propius tamen ad veritatem Adrianus Metius posuit Irῖ. ad 3ss : Leo pol dus tandem a Ceulen loci ad 3r . Problemata aliqua curiosa, quae suum hic haberent locum ad horum Elementorum
76쪽
67 De Planarum Superficierum , seu figurarum similitudineo proportione. DEFINITIO. I . Figurae similes sunt quaecumque ejusdem speciei figurae sibi mutuo sequiangulae, & quarum latera aequalibus angulis opposita sunt proportionalia et v. g. si duo tria nauta Fig. 38 ) habeant aequales angulos V v, Oo, Rr, sintque latera V ad ira, ct Nad n , ut V ad i . Unde omnes figurae regulares ejusdem speciei sunt similes . Segmenta Similia , Sectores , seu arcus similes sunt illi , qui ad integros
circulos, quisque ad suum . eamdem habent rationem , ut si arcus X sit ad circulum X AB s Fig 19. ,
ut arcus X ad circulum X N R , quorum sunt portiones , erunt praedicti arcus similes . Duae figurae quaecumque dicuntur habere alsitudines, o bases reciprocas, si basis primae sit ad basi in secundae , ut altitudo seeundae ad altitudinem primae,'
ut si ΒΑ Fig. 6, 7 sit ad AB, ut BD, ad AD.
Ceutrum Polygoni regularis i Fig. 33. est Centrum Circuli, cui inscribitur. LEMMA.
ras. Facta quaecumque, seu magnitudines ex aliis simplicioribus per multiplicationem laetae, rationem inter se habent compositam ex rationibus magnitudinum componentium . Hanc propositionem , tam quam purum, & manifestum axioma, plurimi Geometrae exponunt, quin ullam demonstrationem abducant . Eam unico Calami duetu Λnalytice demonstrarem, dependenter tamen a plurimis princi piis, quae commode huc afferri non possunt. Demonstr. Sint duo facta, magnitudines numericae continuae , aut quaecumque aliae A. B, quarum prima Λ rectangulum v. g. 3o palmos quadratOS con
77쪽
si nimirum, & altitudine in se invicem ductis: secunda vero B ex duabus item magnitudinibus v. g. ε, & eto inter se multiplicatis producatur ; erit Aod B in ratione composita ex ratione 3. ad 6, I ad 1o: seu exponens A ad B idem est, atque exponens duarum magnitudinum 3 , Io ad 6, 2o. se ipsas seorsim multiplicantium . Multiplicatio enim antecedentium 3, Io, & consequentium 6, 1o, est vera multiplicatio exponentium duarum rationum 3 ad 6, io ad ao, ita ut novum producatur exponens , seu facta quorum exponentia aequantur simplicium , & componentium magnitudinum exponentihus multiplicatis. In exemplo allato singulae rationes 3 ad 6, Io ad 2O habent pro exponente a: Σdumis in x efficit ε; at facta 3o ad xxo etiam ha bent pro exponente , quater enim prior continetur in secundo. Idem est in quibuscumque magnitudinibus, quae numeris exprimi nequeant; in omnisi quidem casu multiplicatis rationum terminis, seu antecedentibus , & consequent bus , multiplicantur etiam, & augentur eorum terminorum , seu rati
II 6. Facta quaecunque , aut magnitudines produ- ex magnitudinibus inaequalibus, per aliam communem magnitudinem multiplicatis, sunt, inter se, ut magnitudines inaequales , ex quibus producun
Haec propositio ex sola terminorum explicatione fit evidens: sint duae magnitudines quaecumque in aequales Α Α, Β Ia, quae in tertiam Io seorsim ductae duo emciant producta D, ΑΟ, Ε, tao, dico , D erit ad E , ut inaequales masnitudines producentes ΛΒ sunt inter se. Cum enim altera EX ma gnitudinibus producentibus utrique facto sit communis, id solii in erit discrimen, quod decem contineatur duodecies in E, & quater in D: & duodecim decies sumptum est ad 4 decies sumptum , utas semel sumptum, ad quatuor semel sumptum. Eadem demonstratio in quibuscumque magnitudinibus locum habet. PRO-
78쪽
ELEMENTA GEOMETRICA. PROPOSITIO . VI. THEOREM.
erunt inter se, ut altitudines .
Demonstr. Recta GHL utramque bas m efficiens moveatur inter rectas G , L F sibi ipsi semper parallela, quoad in rectam Q DF coincidat: hujusmodi motu utramque parallelogrami aream descripsi ecumque eadem sit utriusque altitudo H D, totidem lineae singulas areas formabunt , quot sunt puncta in recta HD, utrinque scilice L pares zi sunt praei
rea omnes rectae in G D sibi mutuo, & basi aequalest idem de rectis in H F dictum habe : omnesi situr Rectae in G D , seu totum parallelogramum GD, sunt ad omnes rectas in HF, seu ad parallelogramum H F, ut singulae ad sngulas rectas, seu tit bases ad basim in. 33 . Secunda Pars eodem mo. do demonstratur. Vera est propositio, etsi parallelogramum sit obliquum, ut H S: est enim recto HEejusdem basis, ct altitudinis aequale in. IOI .c OROLLARI M. H8. Triangula quaecumque Α CD, CED Fig. stὶ ejusdem altitudinis DB , sunt inter se , ut bases; & si habuerint eamdem , arit aequales bases ,
erunt inter se. ut altitudines.
Demonstr. Triangula enim sunt 'dimidia parallo Iogramorum earumdem basium , atque altitudinum n. ros r Si igitur parallelograma, hoc est, tota uni inter se, ut bases , si habeant eamdem altitudinem; & sunt, ut altitudines, si eamdem habeant basim , eadem quoque. erit ratio triangulorum, seu medietatum in. 36 .
II9. Parallelogrema quaecumque habent inter se rationem compositam ex rationibus basium , ct altitud num earumdem: idem de triangulis verum est. Mont. Phil. Tom. Ι. D D
79쪽
Demonstr. Sint duo parallelograma CA, CR Fig. 46, 74: area primi est cictum ex CB altitudine in basim B A ducta et Similiter secundum paralleloxramum est factum ex altitudine C Λ in basim AB ducta n. xxxj et sactum autem ex duobus antecedentibus C Α, ΒΑ ad factum ex duobus consequentibus C A , ΑΒ rationem habet compositam
ex eorumdem antecedentium rationibus ad praedicta consequentia. ut superius n. 116. in demonstravimus . Eadem veritas ad parallelograma obliqua extenditur, cum quodlibet parallelogramum sit factum ex altitudine in basim ducta n. rret . Secunda pars ex eo demonstratur. 'quia triangula eum sint parallelogramorum eamdem . ae triangula . basim . & altitudinem habentium dimidia, ae proinde partes similes, eamdem, ac sua tota , rati
nem habent n. 363. PAE POSITIO XXVIII. THEOREMA. o. Parallelograma quaecumque AN. NC Fig. 6ὶ , quae babens bases , o altitudines reciprocas , sunt aequalia : Me es , A basis A R m ad basim N X ,αι altitudo N S , ad altitudinem RN, erunt aequalia: ct si sint aequalia babent bases, ct altitudines recipro
Demonstr. supponantur primo parallelograma rectangula, & ita in angulo N aptentur, ut fiat tertium parallelogramum item rectangulum N B ex
altitudine unius RN, & basi alterius NX; modo sic: Parallelogramum Λ N est ad R x , ut A R ad
RB eorum bases tu. IIIJ et rursus parallelogramum C N est ad RX, ut SN ad N R. eorum etiam ba
qualem, ut SN ad N R , per hypothesim : ergo parallelogramum C N est ad RX, ut parallelogramum A N ad idem RX saae. Io. n.'et 7. : ergo duo Paral Ielograma Λ N. NC sunt aequalia tn. 3ol. Secunda pars. Quoniam AN, & NC sunt aequalia per hypothesim, eamdem rationem habebunt ad tertium Parallelogramum RX n. 29ὶ: Λ N autem
est ad R X, ut basis A R ad balim RB, seu N X sibi
80쪽
ELEMENTA GEOMETRICA. 3 Isbi aequalem n. Ir7ὶir smiliter CN est ad RX, ut altitudo S N ad altitudinem ΝR n. Ir7 : est istiatur Λ R ad N X. ut SN ad N R, bases sci licet reciproce , ut altitudines. vera est propositio de quibuscumque parallelogramis etiam obliquis, vel ad obliquos, vel ad rectangulos referantur z parallelogramum v. g. obliquum
8NFΛ Ejusdem altitudinis, de basis, ac parallel tramum rectangulum A N, illique proinde aequale , eamdem habet rationem reciprocam, & aequalitatem ad parallelogramum rectangulum NC , atque parallel tramum AN: ac proinde, si RT sit aequale parallelogramo N G, erunt eorum bases, & altitudines reeiprocae, & vicissime cum ea sint vera in parallelogramo rectangulo Λ N, cui & in basi , & in laltitudine, & in area aequale est B T. c OROLLARIUM LIII. Triangula quaecumque aequalia habent bases,& altitudines reciprocas; λ vicissim si habeant bases, & altitudines reciprocas, erunt aequalia . Quae eumquae enim triangula sunt dimidia parallelogra murum, quae easdem , ac triangula ipsa, bases. de altitudines habeant in. Io9ὶ : dimidia autem eam. dem inter se rationem habent , atque sua tota cn.
6t i continue aut non continue proportionales , rectangulum factum ab extremis Μ , P erit aequata rectangulo facto ex mediis N, Ο: & vicissim . In eo siquidem casu ea duo rectangula haberent bases, in altitudines reciproeas: emet enim basis Μ ad ba-vm N, ut altitudo Ο ad altitudinem P r ergo es' 'nt Mualia ex modo demonstratis . Secunda param propositione fuit demonstrata.