장음표시 사용
91쪽
Demonstratur. Si negas plana B A , C D eme parallela ; ergo producta ulterius , tandem aliquando concurrent in aliquo puncto or a puncto O ad puncta H E ducantur rectae OH, Ο Ε : quoniam H Eest ad has rectas perpendicularis per hypothesim erunt illae etiam ad H E perpendiculares in. 66 tergo sunt parallelae in. 86ὶ: quod est impossibilo reum in puncto O concurrant. Similiter demonstrabitur conversa, quod scilicet , si plana fuerint parallela , communes habebunt perpendiculares.
rso. Quod autem dicimus de recta perpendicula ri ad duo, aut plura plana, vel etiam ε converso ;de plano etiam GH EF ad duo , aut plura plana AB, CD perpendiculari pariter demonstratur, quod nimirum duo plana AB, CD, ad quae ductum aliud planum sit perpendiculare , parallela existant , dc e
Et hine in Sphera demonstratur , axem munda num AEquatori perpendicularem, ad quatuor minorum circulorum plana , Ac ad diurnas Solis revolutiones eme pariter perpendicularem, dc ε conversor Rursus meridianum quemcumque non solum adaequatorem, verum etiam ad omnium parallelorum
plana esse perpendicularem , dc vicissim. PROPOSITIO M. THEORE . Is r. Si recta aliqua ΝΟ Fig. 83ὶ sit ad planu-B D perpendicularis , omnia plana I L, H F per ea dem rectam ducta, suns ad idem planum BD perpendicularia .
Propositio ex terminis ipsis est manifesta r nequit enim intelligi, quo pacto recta No perpendicularis ad planum BD, tota iaceat in plano IL, dc t men ipsum planum IL versus aliquam partem inclinet, & ad planum BD non sit perpendiculare ;etenim si planum I L per rectam N O transiens , non est ad BD perpendiculare; esset obliquum : in plano autem obliquo No Fig. 3x nulla potest e sese recta perpendicularis ad pIanum X Λ. ELE-
92쪽
De Superficie , profunditate , proportione , mensura
Is . corpus est quantitas trium mensurarum , seu magnitudo continua in longum, latum, & profundum : illius terminus est una , aut plures Supersis
cies. Angulus solidus t Fig. 83 est Μ v. g. quem anguli plani t plures, quam duo NM L, L ΜΟOM N im diversis planis existentes in idem purictum, seu communem verticem Μ desinentes em ciunt. Si anguli plani numero, & apertura aequales duos angulos solidos sermaverint, erunt solidi anguli aequales. Angulus solidus rectus D v. g. Fig. si est quem tres anguli plani recti essiciunt. DEFINITIO.IsI. Corpora regularia ea sunt, quae planis regularibus , & inter se aequalibus, & quorum Omnes an tuli sunt recti , terminantur , v. g. Corpus D G Hi Fig. yo . Corpora similia sunt, quae aequali numero planorum, seu laterum similium comprehenduntur . Unde ommia corpora regularia ejusdem speciei sunt inter se similia, puta duo Cubi, Spherae &c. Latera homologa sunt plana, seu latera similia Corporum similium.
DEFINITIO. 34. P ramis est corpus solidum Λ A AL Fig. 86. tribus, aut pluribus triangulis pIanis comprehensum, quae ex omnibus lateribus eiusdem plani Z nascentia in idem punctum L terminantur, quod vertex dicitur. Hujusmodi plana pyramidum latera nuncupantur . Boi est planum Z, seu Λ Λ Λ , ex quo latera nasecuntur e multiplicis figurae eme potest. Axis est recta L Z ε vertite ad centrum basis ducta . Altitudo est recta L Z vertice L ad basis planum perpen diculariter ducta r ea lit aliquando extra basim . Pyramis obliqua Λ Λ Λ di, quae axem habet obliquum:
93쪽
Triangularis. quae basim habet triangularem: Ouadrata, aut poluona, quae quadratam. aut Polygonam
habet basim: Recta eit, cujus axis L Z est ad basim Perpendicularis. DEFINITIO.I33. Conus, seu pyramis Conica est corpus LRΑ Fiε. 9ηὶ, quae circulo B, ut basi, & superficie Curva e balis periphaeria nascente, dc sensim contracta , quoad in punctum Λ terminetur, & desinat , comprehenditur. Latera sunt rectae Λ L, Λ R vertice ad basis periphaeriain ductae . fixis est recta A B Evertice A ad basis centrum ducta . Pyramides co nicat aliae sunt rectae, ut B Λ Fig. 93 ), aliae obliquae seu Scalenae LRΛ Fig. 9 ὶ, ut de aliis modo diximus.
Iare , vel circulare , aut citiuscumque alterius figurae sursum elevetur sibi ipti semper parallelum, &ea ratione decrescens, qua ascendit, quoad in puri
ctum aliquod L, aut Λ Fig. 93 in desinat , .pΥmunirdem essicit, aut pyramidem conicam describit. Si igitur quaequmque pyramis ZL , aut ΕΛ secetur pIano O, aut N ad basim parallelo.hujusmodi sectio erit planum basi prorIus simile , immo erit eadem basis diminuta. DEFINITIO. 337. Pr sma est solidum BI Fig. ὶ planis comprehensum , quorum duo opposita BD Κ , Μ DL
sunt aequalia , parallela . & similia; reliqua omnia sunt parallelograma. Alia prysmata sunt triangularia, ut supra dictum, in quibus opposita plana sunt riangularia, alia quadrata, ut Fig. 91; Polygona sut Fig. 93. 99.
38. Parallelepipedum est solidum X Z v. g. Fig. 9 4 6 planis parallelogramis eomprehensum quo
94쪽
ELEMENTA GEOMETRICA.rum opposita v.g. X , & T sunt similia, aequalia , Ac parallela. Unde omne parallela pipedum est prisma . non autem e converso . Cubus est solidum C A E G
Fig. yost quod 6 planis quadratis , aequalibus , &quorum singula opposita sint parallela , comprehenditur. Omnis igitur cubus est parallelepipedum , &prysma , sed non vicissim. HrPOTHESIS . Iss. Si planum quodcumque MDI Fig. 96 sursum elevetur, vibi ipsi semper parallelum , & inter eadem plan , aut rectas ΜΒ, IK, DD, usque ad datam altitudinem, prysmatis profunditatem gignit.& describit. Unde nihil aliud est prysma , quam totidem similia plana DDDD sibi gradatim imposita , & parallela, quot fuerint puncta in altitudine ΒΜ, per cujus puncta singula transeunt singula plana . Si igitur prysma secetur plano ad basim ΜDI parallelo, hujusmodi sectio erit idem baseos pla
DEFINITIO. I . Olindrus est solidum N BCD s Fig. 93. aduobus circulis E , A oppositis, aequalibus , di parallelis, qui dicuntur bases ), & superficie curva
in circulorum periphaeriis terminata comprehensum .
Axis Cylindri est recta A E, quae basium centra connectit. Latera sunt rectae N C, BD v. g. periphaeria ad periphaeriam ductae . Alii sunt Cylindri recti, quorum axes sunt ad balim perpendiculares et alii obliqui, ut F MCD, quorum axes O E sunt ad basim obliqui. Circulus CD ascendens sibi semper parallelus generat Culindrum. DEFINIΤIO. I 63. Pobedrum est corpus pluribus planis superficiebus comprehensum. Praecipua sunt Tetraedrum , quod triangula plana rectilinea , regularia , &aequalia circumscribunt. Octaedrum octo ; Icosardrum viginti triangula plana comprehendunt Fig. Io 3. . Mont. Philo. Tom. I. E Do-
95쪽
Dodreaedrum duodecim pentagona aequalia , & retu-Ia ia complectuntur Fig. rot in . Hujusmodi figurarum centrum est punctum Q. v. g. Fig. ror in , ex quo omnes rectae RI , Q A ad figurae angulos ductae sunt aequales. DEFINITIO.x62. Sphaera est corpus unica superficie contentu in Fig. 97 , ex cujus singulis punctis ad datum intra Sphaeram punctum A , quod centrum dicimus , ductae rectae sunt aequales. Hemisphaerium est dimidium sphaerae E plano per eius centrum transeunte divisum. Solida smilia sunt se quae aequali numero planorum , seu laterum s milium Comprehenduntur .
Tandem Cylindri , vel pyramides conicae s miles sunt illae , quarum axes , dc basium diametri sunt proportionales, v. g. si sit CD ad ed. Fig. 93 , ut EA ad e a erunt ejusmodi Cylindri, aut conicae ' pyramides similes. PROPOSITIO XLI. THEOREΜΑ.
363. Pssima qu odcumque est factum ex basi in alii-
Demonstr. Totidem in prysmate BI Fig. 96.
sunt plana D, quot fuerint puneta in perpendicula ri Μ B, altitudinem designante in. I '): ergo faetum ex ipsa altitudine in planum is, seu basim est drysmatis massa. Demonstratio ex ipsa figurae genesi descendit , ut in simili paralleloe ramorum aream , dc dimensones superius deduximiiq. Concipe planum RR quadratum , dc in sexdecim pedes quadratos divisum , t Fig. 92 descendere sibi ipsi semper parallelum p r altitudinem RS, quatuor etiam pedum, Ac inter latera. seu plana R S , R S ad horirontem parallela : Singuli pedes quadrati in superiori plano divisi , huiusmodi motu totidem columnas quadratas solidas describent, in quarum singulis tot erunt pedes cubici, seu solidi quot in altitudine RS sunt pedes lineares: numerus igitur hoc est, altitudo RS in ductus in is
96쪽
ELEMENTA GEOMETRICA ε hoe est, in planum basis RR ὶ, dat in terram solidi masiam . Propositio comprehendit non solum
prysmata, sed parallelepipeda, & cubos. PROPOSITIO XLII. THEOREMA.x64. Duo p smata B, Z Fig. 99 aequalium basium sunt inter se, us altitudines : is si habuerint aequales altitudines, erunt inter se, ut bases : quod fl e bases, o altitudines habuerint aequales, erunt omnino
Demonstratur ex lemmate n. II 6r duo enim facta eX duobus numeris , seu quantitatibus inaequalibus per eumdem multiplicatis sunt inter se, ut quantitates inaequales in . Ii 6.): cum igitur prysmata
sint facta ex basi in altitudinem ducta , s n. 363. si bases fuerint aequales, erunt prysmata , ut altit dines; & si altitudines sint aequales, erunt prysma ta, ut bases &c. AEqualia igitur sunt prysmata AH, rectum, & Ο U obliquum t Fig. 9Iὶ, cum eamdem habeant & basim, & altitudinem. Alio modo ex figurarum genes propositionem demonstrare possumus . Duo prysmata XZ, XZ rectum, & obliquum, quae communem habent basim X , generantur ab ipsa basi sese elevante , sibi ipsi semper parallela , motuque suo solidae figurae ma iam describente. Si ergo ponas prysmatum altitudines o D, VP aequales ; tot numero bases , seu aequalia plana in uno, quot in alio prusmate concipies, suntque proinde eadem massa. Si balis eadem, seu aequalis; altitudinem autem UV Fig. 9Iὶ maiorem statuas, quam OD; eo plura aequalia planain obliquo, quam in recto concipienda sunt , quo plura in V V, quam in o D fuerint puncta, ut est
ex se evidens: Similiter si ponas altitudines aequa Ies, sed basim unam alterius duplam V. g. , unum et iam prysma erit alterius duplum , quia ab aequali numero duplorum planorum componitur.
Ut corporum massam dignoscamus , duplici saltem multiplicatione opus est : primo enim , ut E a . ba-
97쪽
balis X Fig. 9r. aream habeamus, ipsius pIani bain sim AB in altitudinem ducimus , ut supra explicavimus: postea vero eiusmodi factum, seu balis per solidi altitudinem OD v. g. multiplicatur, ut totam prysmatis malIam eliciamus. Sit ΛΒ v. g. 4 palmorum; ΑΟ 3: 3 . & in se ipsos ducti essiciunt Ia . planum basis : Sit o D s: s per Ia multiplicatus emcit 6o; & totidem palmi cubici sunt in Iido X Z. Quod si bases sint triangulares , modo superius n. exposito sunt mensurandae; si fuerint polygonae , in triangula dividantur, ut eorum area men retur. Pro communi solidorum mensura cubum adhibemus , eadem de causa , qua ad superficies dimetiendum quadrato utimur; propterea quod sunt, ille inter solidas , istud inter planas figuras , simplicissimae mensurae . angulos omnes habeant rectos , ct latera omnia aequalia. Solidorum mensuram ex Fig. 92. melius capies:
basis enim SS , plano R R aequalis , in sexdecim Ialmos quadratos divisa , elevatur sibi semper paralela, quoad , retentis ubique divisonibus, cum RRconfundatur : hujusmodi motu solidum descripsit . in quo, ut vides, sunt i 6 Columnae quadratae, & in earum singulis quatuor palmi cubici solidum igitur est iactum ex 4 in I 6, hoc est, ex altitudine in basin ducta. PROPOSITIO XLIII. THEOREMA.
166. PIsmata auaecumquae habent inter se ratione compositam ex tribus rationibus , altitudinis ad altitudinem , latitudinis ad latitudinem , longitudinis ad longitudinem .
Demonstr. Prysma GA Fig. so. est factum eκ triplici magnitudine, longitudine scilicet GF , latitudine G H , & altitudino G C in se ipsas ductist na 63 : smiliter prysma XZ Fig. 9t : at duo facta habent inter se rationem compositam ex rationibus quantitatum producentium , seu antecedentium ad consequentia n. III : ergo dcc.
98쪽
ELEMENTA GEOMETRICA. ει COROLLARIUM.t67. Drysmata similia, puta ΜΚ, BAC DX Ft Fig. 36. in habent inter se rationem triplicatam singularum rationum , ex quibus Componuntur , V. g. altitudinis ad altitudinem, longitudinis ad longitudinem, laritudinis ad latitudinem. Demonstr. Prysmata rationem inter se habent compolitam ex tribus assignatis rat onibus n. 66ὶ eruae omnes sunt aequales, aut eaedem; cum Zc solivia , dc plana quibus terminantur sint similia sn. I 33 rergo habent inter se rationem triplicatam cujuslibet traedictarum ration9m. Sunt igitur inter se , ut cui suoru in laterum homologorum. v. g. laterum I Κ, BA: nam cubus dimensionis I K ad cubum dimρnsionis ΒΛ habet rationem triplicatam lateris IK ad latus ΒΛ; cum & ipse sit prysina n. Is 8 : ergo prysmata sunt inter se , ut laterum homologorum cubi .
68. Cuborum proportio elicitur , si duo Iatera eorum homologa per se ipsa seorsm multiplicentur cubice ; duo enim nova producta , seu cubinumerici, habebunt inter se eamdem rationem, at
que cubi: sit v. s. longitudo GF pedes: longitudo A B tres Fig. yo,sa : in se semel ductus e ficit. 36; iterum ductus in, is, efficit, O ; 3 ita se semel ductus efficit, 9; iterum ductus in, 9, dat, : Cubi igitur G Λ , ΑΗ sunt inter se, ut 6 ad
27. Eodem modo invenitur ratio inter prysmata quaecumque , aut paralleli pipeda similia , si latera eorum similia , longitudines v. g. cubice multipli
Hoc pacto ratio inter duo prysmata elicitur; ve ra tamen eorum magnitudo non semper dignoscitur, nisi etiam sint cubi. Habent enim altitudines latitudinibus v. g. proportionales , sed plerumque inaequales : quo posito trina cujuslibet dimensio dignosci debet , dc in se vicis Em duci , ut corporis massa eliciatur.
99쪽
ro PHILOSOPHIAE NATURALIS pROPOSITIO XLIV. THEOREMA.
369. Superficies prasmatum , ct cuborum oee. simitium sunι inter se in ratione duplicata juarum dimen- fionum similium; v. g. altitudinis ad altitudinem ; longitudinis ad longitudinem; vel latitudinis ad latitudi
Demonstr. Singula plana prysmatis G Α Fig. so. yr.ὶ sunt per hypothelim si in ilia singulis planis alterius prysmatis AZ n. is3ὶ: Singula igitur unius plana ad singula sibi respondentia in altero prysma. te eamdem habent rationem laterum , duplicatam scilicet laterum homologorum, puta GF ad ΛΒ romnia igitur unius plana simul sumpta ad omnia plana alterius etiam simul sumpta, hoc est, integra unius superficies ad integram superficiem alterius habet rationem duplicatam suarum dimensionum similium v. g. longitudinis GF ad longitudinem RB : haec enim est planarum superficierum limilium
Proportio. Prysmatum igitur similium superficies sunt inter se, ut quadrata longitudinum, seu laterum homo logorum e massae autem, ut eorumdem laterum cubi rsit G F 3 pedes, ΛΒ 3; erunt eorum prysmatum superficies, ut xy ad 9: haec enim sunt numerorum,s, 3 quadratae massae autem erunt, ut 313 ad 27 et haec enim sunt eorumdem mei numerorum I, 3 cu hi . Unde perspicue visitur , multo majorem esse magiarum, quam superficierum in iisdem figuris rationem : cum longe major sit ratio ras ad 27 cu
horum in quam a s ad 9 quadratorum ) . Idem in cubis , & Parallelepipedis verum est . PROPOSITIO XLV. THEORE . 17 . cylindrus quicumque CD AB Fig. 93 s
Demonstr. Polygonum v. g. X, basis prysmatist Fig. 98. repetita laterum multiplicatione, & diminutione in circulum , seu polygonum infinit rum , & minimorum laterum degenerat n. Ir 3 rquare circulus CD, basis cylindri, est polygonum,& ba-
100쪽
ELEMENTA GEOMETRICA. 7 r& basi, prysi natis infinitorum laterum : cum igitur ejusmodi circulus, seu polygonum ascendens sibi semper parallelus cylindrum describ t, describit& cylindrum,& prysma infinitorum laterum: singula enim minima latera polygoni , seu circuli , minima I tera prysmatis ascendendo describunt.
x x. De Cylindro igitur vera sunt ea omnia, quae de prysmate modo demonstravimus, set licet: I . Cylindrus est factum eκ basi in altitudinem ducta erationem inter se hibent compositam eκ rationi-hus basium,& altitudinum: 3 . Cylindrorum similium superficies sunt, ut quadrata altitudinum, seu batim diametrorum, aut perimetrorum: ε . Massae autem Cylindrorum similium sunt inter se , ut cubi similium dimensionum p hoc ell, altitudinum v.g. vel basium perimetrorum. Omnia enim de prysmatis modo demonstravimus n. I 67, 169 dcc.); cum
igitur etiam Cylindri sint prysmata n. 17oJ, etiam in iis obtinent. PROPOSITIO XLVI. THEOREMA. 72. 'ramides triangulares quaecumque ΑΟ , Η Ο aeque altae s F i g.3 7.ὶ sunt inter se, ut earum bases A, B . i. emonstri Quoniam praedictae pyramides habent ex hypothesi eamdem altitudinem etiam habebunt aequalem numerum planorum N Ν, Μ M, balibus respondentibus Α, Β similium in. Iss); quae quidem plana fi basibus ad apices usque pyramidum
ascendendo, proportionaliter in uir. que decrescunt:
estque di RS, ad M TV in eadem altitudine, ut basis A ad balim B: omnia igitur plana pyramidem δε o constitu ntia , sunt ad totidem sibi respondentia plana in Bo, hoc est , pyramis A O est ad pyramidem Bo, ut basis Λ ad basim B. PROPOSITIO XLVII. THEOREM. 73. Quaecumque pyramis triangularis BC AG v. g. Fig. 89.) es tertia pars posmatis aequalem basim, baltitudinem habentis, atque habes oramis.