장음표시 사용
111쪽
8x PHILOIOPHIAE N CTUR/LIS vallelos describent, di describendo jphaeram generabunt. Hypothesis haec est ipsamet natura sphaerae in
ipsius genesi considerata tres autem assignatae conditiones sunt omnino necessariae; aliqua enim deficiente , generaretur Cylindrus , aut Conus , aut corpus ellipticum ; & hinc evidenter, & pulchre deducuntur sequentia. C o R o L L A R I U M I. 18 8. Si Dbaera plano quomodocumque secetur , vel
per centrum, vel extra centrum, communis Iectio obis
eae ct illius plani est circulus. Demonstratur. Ponamus sphaeram A PRQ Fig. a 3 in secari per centrum D, & extra centrum per punctum S. In primo casu rectae DA , DK, DR sunt omnes aequales per definitionem sphaerae; erroplanum Λ Κ R D est circulus, & linea ΑΚ R periphaeria circularis. Si sectio TV per centrum non transeat; concipiatur alia ΛR per centrum ducta ,& priori parallela r erit igitur T V ipsa mei sectio Α R diminuta. n. I 87): semper igitur perget esse
89. Communis sectio plani, o obaerae transiens per
centrum , es circulus habens centrum commune cum obaera.
Sit D t Fig. 13: centrum sphaerae, erit etiam centrum sectionis circularis AKR, cujus planum transit per centrum sphaerae. Sequitur evidenter ex sphaerae genes: sunt etenim D Λ , DK , DR , & omnes aliae ex D in plano ΑΚ R usque ad periphaeriam ductae, & inter se aequales, &tam sphaerae, quam sectionis radii: D igitur est commune utriusque Cen
COROLLARIUM III. I9 . Omnes communes sectiones planorum , ct obaerae . hoc es, omnes circuli in Dbira , per illius centrum tra euntes , sunt maximi: π vici sim, si sunt maximi , per obaerae centrum transeunt.
112쪽
. Demonstratur ex eadem mei genesi: circuli AKR , per centrum D transeuntes, habent idem centrum,& radios . atque sphaera n. I 89 : sunt ergo maximi, Aqui in sphaera considerari possint. Secanda pars e si circulus Tu non transit per centrum sphaerae D; duci poterit per centrum alius Λ R priori parallelus: ergo Λ R est circulus maximusi per primam partem); ergo T V est circulus ΛR diminutus; ac proinde non est maximus. COROLLARIUM IT
Ist. Omnes sectiones communes sphaerae , o plan rum per centrum ιranseuntiam, hoc es , Omnes circuli maximi sphaerae suns aequales.
Demonstratur . Secetur sphaera P Α QR Fig. I 3. ) triplici plano, seu circulo P Α QR , PKQ ΑΚ R per centrum De omnium radii DR, DP, DQ sunt ipsemet sphaerae radius n. 189 : omnes igitur sunt aequales. COROLLARIUM HI92. Omnes circuli maximi in obaera ipsam in duas partes aequales secant. Demonstratur . Ex ipsa sphaerae genesi sequitur zmaximus circulus ΛR Fig. I 3ὶ eodem motu &plinnorum smilium , dc aequalium numero utrumque
emisphaerium Λ RP, Λ R describet n. i 373: ΛR igitur in duas partes aequales dividit sphaeram. COROLLARIUM ULI 33. Omnes circuli maximi obaerae se mutuo secant linea recta transeunte per commune eorum , σίphaerae centrum, ac per consequens se mutuo secant in duas partes aequales.
Duo quicumque circuli maximi ΛRΚ, Fig. 13. Λ P R P transeunt per centrum D n. Iso): ergo
necessario se secant: si enim ement paralleli, eorum saltem alius non transiret per centrum: ergo eorum communis sectio Iransit per centrum : ea vero est
113쪽
I in ea recta n. I 38. ὶ ergo est diameter v. g. Α cerpo se secant per communem diametrum e ergo Iodividunt mutuo in duas parteS aequales. Quicumque ergo circulus maximus in sphaera non solum sphaeram ipsam , sed omnes alios circulos ma-Nimos in eadem sphaera bifariam dividit, & ab eorum singulis similiter dividitur . Omnia hactenusce monstrata maximo usui sunt in tractatu de sphaera. COROLLARIUM VII. I94. Circuli in obaera non maximi TV Fis. 13
Si enim transirent per centrum, essent maximi n. I9O. contra hypothesin . Rursus si sphaeram bifariam dividerent , iterum transirent per centrum ,& essent maximi etiam contra hypothesin. COROLLARIUM VIII. .
I93. Circuli non maximi in sphaera TV , ZY Fig.
I 3.ὶ eo minores sunt, quo magis a centro D , seu amaximo A R sibi parallelo distant. Demonstr: sint duo minores circuli TU, ZY in sphaera, dc sibi, dc maκimo A R paralleli r primus tamen TU centro vicinior : duo circuli minores TV , ZY sunt idem mei circulus Λ R eo tamen magis diminutus, quo major fuerit ejus distantia a centro D n. I 87 r ergo in X erit minor, quam in S.COROLL A IUM IX. I96. Spbaera quaecumque tangis planum FG Fig. in in unico tantum puncto E. Demonstrari eo modo potest , quo numero 7ῖ ealn-dem veritatem de circulo, & lineae tangentis containctu demonstravimus : sed ex eadem sphaerae genesi defcctndit, & ita etiam ostenditur : recta tangens FG in unico puncto tangit circulum OEAI: convolvatur circulus circa diametrum EI una cum tangente circa punctum L. Circulus generabit sphaeram
114쪽
ram; recta autem planum FG: unicum autem est in hac genesii conlaetus punctum. COROLLARIO M x. I97. Recra CE i Fig. 13. ducta a centro sphaerae ad punctum contactus E plani tangentis , est perpendicularis ad ipsum planum : vicissim , A ex puncto contactus E demittatur, aut excitetur perpendicularis ad planum tangens; ea producta transibit per centrum. Utrumque superius numero go de linea perpendi culari ad tangentem circuli , & rer punctum conis tactus transeunti demonstravi; inde, de ex plani a que sphaerae genesi res modo conficitur : Circulus Ο ΕΛ convolvatur circa diametrum ECI una secum devolvendo tangentem F G , semper tangentem: in quocumque situ, Ac revolutionis puncto snt circulus generator, Ac tangens, semper EC erit perpendicularis ad tangentem , dc transbit per centrum circuli: cum Fero tangens convoluta generet planum tangens, circulus convo Iulus generet sphaeram; recta autem EC sit semper perpendicularis , per centrum transeat . Ac constanter maneat invariata : erit perpendicularis ad planum , & transibit
COROLLARIUM XL I98. Duae sphaerae, in unico tantum puncto A se mutuo posunt tangere. Demonstr. Si enim concipiatur duci planum per punctum Λ, Ac sphaeram utramque contingere, uni cum erit plani , Ac sphaerarum contactus punctum n. r 96 : praeter illud igitur punctum utraque sphaera a plano in partes oppositas recedunt; magis tamen a se mutuo, quam a plano recedunt superficies convexat. Idem pariter de interiori contactu deinon stra
115쪽
M PHILOSOPHIAE NATURALIS puncta superficiei sphaerae hujusmodi revolutione describunt Demonstratio. Α Sumantur tria puncta RVY in ejusdem semicirculi P Rra periphaeria : convolvatur circa diametrum immobilem P Q semicirculus; punctum R describet circulum RΚ Λ; & cum ab eκ- tremo immoto P semper conservet eamdem distan- . tiam nempe arcum R P; punctum P est ejus circuli polus n. r 86). Similiter cum ab extremo Q per arcum RQ semper distet, dum revolvitur & circulum describit , erit O alter ejusdem circuli polus . Idem eodem modo, & ex eadem genesi de circulis uibuscumque aliis T V , Z Y hujusmodi revoluti ne descriptis demonstratur. COROLLARIUM XIILaoo. Quicumque eirculi in sphaera inter se paralleli ZY, TV, Λ R Fig. ι3.ὶ babent eosdem communes
Demonstratur ex data modo circulorum in sphaera genesi . Deinde omnes circuli S, X, maximo circulo D paralleli, sunt ipsemet circulus D diminutus, descendens ad extremum sui axis sibi ipsi semper parallelus n. I 87); Circulus D hoc modo descendens, & decrescens eosdem semper habet polos , ut ex se evidenter patet : omnes ergo circuli
T V , dc quicumque alii circulo Λ.R paralleli Aommunes habent polos PQ. Et hine in sphaera demonstrabimus, mundanos pΟ-Ios. esse omnium diurnarum revolutionum Solis, de aliorum astrorum communm polos. COROLLARIUM XIV.
Io I. Omnes vicissim circuli T V , Λ R Fig. i 3. in Sphaera, qui eosdem babent polos PQ , sunt inter se paralleli.
Demonstratio . Quoniam enim per hypothesim communes habent polos PO: ii autem sunt extrema axis, supra quem duo illi circuli T V, Λ R g nerantur et duo puncta V R , supra eumdem axem
116쪽
PQ revoluta, semper inter se distant per eumdem arcum UR: periphaeriae igitur, & circulorum plana sunt parallela. COROLLARIUM XV. ΣΟΣ. Cujuscumque circuli TV s Fig. 13. in sphaerapoli stini duo puncta Po diametraliter opposita in eadem sphaera.
Res est per se sere evidens e Poli Circuli TV
sunt duo extrema axis revolutionis , qua ille generatur circulus tu. I99ὶ: Omnis autem axis, seu diameter per sphaerae centrum transit: sunt igitur poli PQ diametraliter oppositi. Co o LLARIUM X UL. 2 3. Polus cuiuscumque in obaera circuli est illas punctum, quod ab eadem parte in supersicis sphaerica maxime distat ab ipso circulo.
Si Circuli TV Fig. x3 polus inserior est Orpunctum Q ab illa parte est omnium a circulo TU remotissimum: idem dico, de polo P s licet utriusque non eadem sit a, circulo distantia in circulis minoribus )r Sunt enim poli extrema diametri P
s n. xo2 in: extrema autem diametri sunt puncta omnium remotissima ex eadem Parte a. Puncto quocumque in periphaeri R dato .. COROLLARIUM xVIL ao . cuilibet in sphaera circulus duos. tantummodo babet polos. Demonstri Duo enim sunt tantummodo puncta PQ diametraliter opposita , & maxime ex utraque
parte a circulo dato TV Fig. t 3. remota: Si enim maxime ex parte et fi circulo TV distat ;punctum quodcumque aliud Y minus distat ab V, quam polus Q : ergo non est polus cn. ao in.
117쪽
COROLLARIUM XVII L paetos. Recta , seu diameter quaecumque ab uno ad alium potum ducta, transiit per centra omnium circulorum DS X Fig. 13:ὶ quorum poli junt duo illa puncta P Q,
ipsius diametri extrema. Demonsti Imprimis transit per D circuli maκimi centrum, quod est idem , atque centrum sphaerae in. r 89 , per qu d transit omnis diameter : deinde idem mei circulus per avem suum PQ ascendens, dc descendens secundum legem in hypothesi expositam; ita ut illius centrum sit se moer in axe, imo suomet motu axem describat , essicit, seu pintius degenerat in omnes alios circulos sibi paralle-Ios, quorum communes poli sunt PQ η. I 87 : ergo omnia illorum circulorum centra sunt, & componunt rectam , seu diametrum ab uno ad alium polum ductam. Coeo LLARIUM XIx.2oε. Axis P Fig. r 3. cujuscumque circuli ΑR in sphaera descripti , seu recta ab uno ad alium ejωseirculi polum ducta , es ad planum ejus circuli perpendicularis .
Demonstr. Sit A R circulus maximus: arcus P R .PA sunt aequales s n. 386 ): imo quadrantes'. cum ΛPR sit semicirculus in. 393. : ergo anguli PDA, PDR facti ab axe PO , ct a quacumque Cir culi D diametro sunt rectis n. si & consequenter PQ est ad planum circuli AR perpendicularis in.
I 63 . Omnes autem circuli minores S X habentes eosdem polos, atque maximus D sunt maximo paralleli s n. ΣΟΙ): ergo habent communem perpendi. cularem n. 164 .
ao7. Circulus P RQ Λ Fig. I 3. transiens per duos
polos aliorum quorumcumque circulorum DSx illos secat perpendiculariter , Cr per centrum .
118쪽
ELEMENTA GEOMETRICA. 89 Demonstr. Axis P est in plano circuli AP
per ipsius axis extrema transeuntis: quoniam igitur axis PQ est ad omnium circulorum DS X plana Perpendicularis in. 2o6ὶ; etiam planum APQ circuli transeuntis per polos , est ad eosdem circulos
perpendiculare. Quod autem illos omnes circulos se et per centrum ; res est ex modo demonstratis evidens : transit enim per axem PQ, qui per omnium centra et iam tranfit. n. 3OIj. COROLLARIUM XAL
ιranseuntis per polos P , er circulorum omnium D S
A per quorum polos P R ipse circulus Λ P transit ,
est ipsorum circulorum diameter , o consequenter eoS secat in duas partes aequales.
Demonstr. Planum A PR secat planum TV per
centrum s n. 1o7 ὶ: deinde communis sectio eorum duorum planorum necessario est linea recta n. I 39 rergo est linea recta TV transiens per centrum, in periphaeria ex utraque parte terminata , hoc est diameter e ergo circulus S in duas aequales partes
ab huiusmodi seetione dividitur. Haec omnia locum habent in sphaera ad explican dam , & demonstrandam aequalitatem temporiS ma tutini, & vespertini; diurni, & nocturni in sphaera recta; & alia quam plurima iis assinia. COROLLARIUM XXII. 1 9. circulus maximus L T Fig. ros. in sphaera in minores M N , G H inter se parallelos secans , qui Fer eorum ρolos E R transeat. eos bifariam non secat; aeque parallelorum segmenta X N . T G majora sunt , quae sunt versus viciniores polos E R . Demonstr. circulorum M N, GH plana bifariam secantur planis transeuntibus per eorum polos ER, hoc est, per eorum centra UΙ, hoc est , per eo rum axem ER n. ao7 aog : Cum ergo planum circuli LT per polos ER aut centra VI non tran
119쪽
seat, illius sectio non est eorum circulorum diameter ; ac proinde in partes aequales non secat cim
Majorem vero esse partem X N , cadentem versus polum Ε, quam partem X Μ, quae partem oppositam spectat, ex eo demonstratur, quod in pri
xi parte X N existat circuli MN centrum V. Idemae alio parallelo IH dictum habe.
Facile etiam esset demonstrare , circulum quemcumque maximum LT Fig. ros. eos omnes t quos secat , oblique secare , si per eorum polos non
Cum enim cujuscunque circuli maximi LT planum per sphaerae centrum F transeat s n. Iso); aliunde vero sectio per axem F E sit ad planum Μ Nperpendicularis sn. xo 7 ; ex eodem puncto F duci possunt duae rectae F L, F Ε ad idem planum Μ Nperpendiculares, quod est impossibile n. 361.i63
COROLLARIUM XXIIT.2ro. Maximus circulus LT Fig. Io3. non transiens per minorum, o parallelarum Q T. GH polos ER, magis inaequaliter secat circulos GH a centro remotiores, quam circulos QR propiores. Demonstr. Axis ER transit per centra P. I praedictorum circulorum n. 2 7 r Cum ergo recta, aut planum F T in centro F secet rectam, aut planum
FR. & inde ab F R semper divergat ; minor est distantia PD, quam IT : ergo sectio circuli Q Tvicinior est centro P, quam sectio circuli GH: cundi igitur circuli partes GT, TH sunt magis inaequales, quam prioris segmenta do, o Z. Ex hisce ultimis majorem dierum , & noctium
inaequalitatem, dum Sol est ab aequatore remotior . quam dum aequinoctiali vicinior convolvitur , a quo alia hujusmodi in sphaera demonstrabimus. Et hoc quidem ex sphaericis tyroni philosopho satis eme existimo. Illa vero omnia tamquam corollaria ex una sphaerae geneti deduximus , & br vius, ct clarius rem proponeremus. Am
120쪽
Ad Elementa Geometriae in qua Sectiones Conicae Ellypsis, Parabola , Hyperbola , Logistica , Cyclois , brevissime ea plicantur.
a Q. Sectiones Conicae in Philosophorum gratiam summis labiis hic attingendae sunt; accuratam enim hujusce tractatus cognitionem , homini Geometrae necessariam, relinquimus , cui turpe esset Geometriam hanc sublimiorem perfunctorie solum attingere , vel a limine salutatam deserere . Physicum tamen neque plurima, neque nulla ex, hoc tractatu addiscere opus esse judico. Plurima enim in Astronomia physica occurrunt, qualia sunt solis , ct caeterorum planetarum , ct cometarum motus ; plurima in Mechanica , Statica , optica , Physica, dc aliis naturalis philosophiae partibus passiim offendimus , quae levem saltem Ellypsis, Hyperbolae, & Parabolae cognitionem supponunt , ut pede inoffenso, di recte, ut par est, intelligantur; ad ea enim haerere opus esset, qui ne leviter quidem hunc tractatum attingeret . Ea tamen illa sunt ad quae rite capienda opus minime si vel omnes , vel majorem etiam Ellypsis, aut Ρarabolae proprietatum partem praenoscere . Quae igitur necessaria esse ducam , insequentibus exponam.
Fig. Io7ὶ unica linea curva comprehensa , magi in longitudinem Λ B . quam in latitudinem C Eextensa. Linea curva A C B E Eloptica vulgo nuncupatur. Duo in Ellypsi sunt axes, major AB maioris longitudinis mensura : minor CE majoris latitudinis dimenso : bifariam , & perpendiculariter se in puncto X intersecant , quod Centrum Ellypsis nuncupatur. Extrema item Λ B majoris axis . apices Ellypsis appellantur. Duo axes AB, C E lineam et lypticam , & et lypsim in quatuor partes