장음표시 사용
141쪽
unum omnibus aequale reducuntur n. 1 7 , manife-1tum est , cuicumque figurae planae rectilineae quadratum aequale construi posse. Quanta ergo si hujusce problematis utilitas nemo non videt. Resol. Campo triangulari K ML fiat aequale rectangulum ΚΟ, quod fiet , si basi KL bisecata in N, supra dimidiam basim KN fiat rectangulum ΚΟ sub eadem trianguli ΚΜ L altitudine: huic rectangulo aequale quadratum construe per problema I 8 , ct dico factum. Demonstratio ex ipsa problematis constructione , atque eκ numeris Ios, io9 est mani sella.
2Datam quamcumque superficiem , seu campum quadratum , triangulare , rectangulum , parallelogra mum , aut circulum metiri. Fig. 46; 47. 63. 69. I 3. 18. Reμι. patet ex numeris m, Ira, in quibus rationem ejusmodi superficies dimetiendi tradidimus, &demonstravimus. Quod si campi , ut pIerumque fit, figuram habeant irregularem &c., eo casu tota superficie in plurimas partes divisa singulorum segmentorum seorsim instituitur mensura , ut ex pallibus
PROBLEMA - XXL 23 , Data area Campi triangularis , ct illius basi ,
invenire altitudinem; aut data altitudine , O area , basim invenire.
Reset. Dividatur tota area per basim CD Fig. r. in , quotiens divisionis erit dimidia altitudo C A. duplicato igitur quotiente , habobis integram altitu dinem. Similiter ex altitudine basim dignosces .
Demonstratur ex numero m. Agri vero quadrati , rectanguli, aut parallelogrami basim invenies, aut altitudinem, divisa solummodo area per altitudinem , aut basim . Ex numeris m, & r II non modo qua dratas, sed cujuscumque alterius figurae supersicies dimetiendi rationem doceberis. PRO-
142쪽
ELEMENTA GEOMETRICA. PROBLEMA XXII.
II 32ys. Dato circuli semidiametro , v. g. semidiametro Gliaris, invenire circumferensiam, o totam aream , maximi scilicet terrae circuli. Resst. Datur U H Fig. so. telluris semidiam ter, quae Iam Leucas Geometricas continet ; quoniam diameter est ad circumserentiam, ut T ad xx. Proxime, seu ut I. ad 3 sn. II J: multiplicetur semidia moler U H per ε: summa 72oo, erit circumserentia circuli, seu Telluris. Deindo inventa circumferentia retoo per dimidium semidiametri , hoe est per εoo multiplicetur productum 631Omo i est tota area circuli maximi telluris: tot enim leucas
Haec Regula nos docet, quot leucas , milliaria , aut passus quadratos habeat data aliqua provincia , civitas, aut ager circularis , aut fere circularis, si illius radium, vel diametrum agnoscamus.
PROBLEMA XXIII. 116. Datis duabus rectis ΑΒ, Λ D , tertiam pro
Resol. Datae rectae ita disponantur , ut essiciant angulum DAB Fig.69); producatur ΑΒ ulterius, & abscindatur B L aequalis ipsi AD; per extrema BD ducatur recta B D: a puncto vero L ducatur L E parallela rectae BD: tandem AD ulterius producatur quoad rectae L E occurrat ; erit DE tertia proportionalis quaesita ad AB, A D. Demonstr. Rectae BD, LE sunt per constructionem parallelae: est igitur Λ B ad AD, ut B L ad DE s quoniam igitur AD, B L ponuntur aequales per constructionem , erit Λ B ad ΛD, ut A D , ad D E. PROBLEMA XXIV.
y7. Data circumferentia circuli, v. g. maximi Te rae circuli invenire diametrum , semidiametrum , σaream ejusdem. Mem. Philo. Tom. I. H Re
143쪽
RHOl. Dividatur circumlarentia 72OO. per 3 ,' qu tiens 2 3OO. Erit diameter, quam proxime: multiplicetur eadem circumferentia 72OO. , per sextam inventam diametri partem 6oo ; productum 632oooo erit ejusdem circuli area in Ieucis quadratis expres-1a. Licet magnitudines duobus hisce problematibus inventae, non sint exactae ad veras tamen proxime, & citra notabilem errorem accedunt , ut numero
PROBLEMA XXV. 2 38. Datis tribus rectis AD, AB, DE Fig. 69
quartam proportionalem invenire.
Resol. Disponantur in angulum datie rectas , ut figura demonstrat: ducatur DB ab extremitate rectae Α D , ad extremitatem rectae A B: ex puncto E ducatur E L parallela ad DB. quoad rectae A Rcontinuatae occurrat in L: erit B L quarta proportionalis quaesita. Demonstratio constat evidenter ex numero Ias. Cum enim sit DB parallela ad basim,
Beneficio duorum problematum, quae modo solvimus, praeter alia quam plurima, illud maximi sane momenti obtinemus , ut proportionem inter datas quascumque figuras similes , quarum latera homologa novimus, geometrice c gnoscamus quod sequenti problemate solvitur.
2 ς 9. Invenire rationem , quam inter se habent duae quaecumque 'gurae similes, data ratione , quam habent latera homologa. RUOl. Proponantur duae figurae similes , regulares , aut irregulares v. g. duo agri pentagoni D dc Q Fig. 37): vel veras laterum homologorum SP, ΛΒ magnitudines habemus, vel eorum tantum m modo rationem agnoscimus: in primo casu ponatur AB ducentorum passe
suu in , SP contineat quadringentos est A B ad SP, ut 2 ad 6: rone ergo ΛΒ duplam rectae alterius Λ D, dc quaere ad has duas AD, AB tertiam
144쪽
ELAMENTA GEOMETRICA. De. t; am proportionalem BL n. a13): erit si extra se ait figuram D, ut AD ad B L, hoc est, ut 1 ad 3. Fig. 69.ὶ
Alio modo omnem casum complectenti r Datur ratio inter AB, SP: sit haec, ut 3 ad 8 : quaere horum numerorum quadrata 23, 64: erit figura Q ad figuram D, ut ad 6 . Sunt enim figurae s miles, ut laterum homologorum quadrata n. I 34 . Si ratio laterum homologorum ΑΒ, SP esset in da, hoc est , exprimi numeris non posset; supra rectas, q)iae latera ipsa representant, perficiantur quadrata n. 239), eaque figurarum rationem expriment . In circulis, & aliis superficiebus curvilineis similibus res eodem modo procedit. Sint duo circuli ,
vel canales Λ, dc X Yo, Fig. 4 .ὶ per quos fluit
perenniter , atque eadem velocitate aqua et quaerimus circulorum rationem , ut fluentium aquarum proportio innotescat: habeantur , aut quaerantur risis
dii , vel diametri circulorum , qui in nostro casu , sint ut unum ad tres : quaere quadrata unitatis , &numeri erunt haec, I, & 9: Circulus igitur Λad X Y Ο, seu aqua fluens per primum , ad fluentem per secundum est, ut I ad 9.
16o. Circulum datis pluribus circulis aequalem δε- Ieribere . Problema aeque proponi , ac solvi potest in quibuscumque figuris similibus , regularibus , aut irregularibus ; de omnibus enim eadem est rario. ut ex demonstratione patebit e usum vero habere potest multiplicem , ut in simili etiam diximus numeroa Φ, 6 F, 66. Sint, exempli gratia, duo circuli, seu canales, per quos aqua perenniter effluit , ut sensibili, dc obvio exemplo problema solvatur, XYU, & AER. Fig. q. 9. tertium circulum . seu canalem construere oportet, qui duos simul adaequet. Resos. Duos datorum circulorum radios CZ, Λ V in angulum rectum ABC disponantur et ea duo
latera conjunge hypothenusa Λ C: Fig. 33 dico
145쪽
factum; haec scilicet hypothenusa erit quaesiti circuli, seu canalis radius; hoc est , circulus , cujus radius sit hypothenusa AC, est aequalis duobus datis circulis, quorum radii sunt ΛΒ, BC.Demonstr. Circuli sunt inter se ut quadrata radiorum n. 13s r si ergo tres reme AC, AB, BC sint circulorum radii, hujusmodi circuli erunt inter
se , ut quadrata earum rectarum: quadratum autem
rectae AC est aequale duobus aliarum rectarum, seu Iaterum quadratis sn. IIo d ergo dc circulus radii δε C est aequalis duobus aliorum laterum ΛΒ, BC cireulis.161. Simili modo habebis circulum , tribus, quatuor, aut quibus umque aliis datis circulis aequalem, ut superius de quadratis docuimus , & demonstra
Similiter ope ejusdem regulae, citato numero deis monstratae, habebimus differentiam inter unum, &alium circulum datum . hoc est , radium circuli , qui sit excessus unius supra alium circulum.
a6a. Data ratione, quam inter se habent bomologa latera corporum similium , invenire rationem superfici rum , ετ massarum. Ut problema ad usum, & rem familiarem applicetur, sint duo vasa PM, CB Fig. Ioo in figurarum similium, quorum altitudinem P Μ, C Λ, vel diametrorum basium ratio detur, eaque sit v. g. 3 ad 1; quaeritur quaenam sit ratio superficierum , &ma Tarum horumce corporum , aut etiam pondera fluidorum quae in iis continentur. Refol. Numerorum 1 dc 3 quaere quadrata Α, &s, atque cubos 8 , & 27: superficies erunt, ut quadrata ad 9: pondera seu massae, ut cubi 8 ad 27. Idem geometrice obtinebis , si positis duabus rectis AD, AB Fig. 69.) quarum prima sit ad secundam, ut et ad 3. , tertiam proportionalem invenias; superficies enim praedictorum quorumcumque corporum siti ilium erunt inter se, ut prima Λ D ad
tertiam proportionalem inventam . Quod si ad eas
146쪽
ELEMENTA GEOMETRICA. xl Τtres rectas proportionales aliam quartam invenias , ita ut omnes sint continue geometrice proportionales v. g. P. O. N. Μ; Fig. 6 r. in massae erunt inter se, ut prima ad quartam. Demonstratio est facilis: corpora enim similia sunt inter se, ut cubi homologarum dimensionum v. g. altitudinum, lonsitudinum, aut latitudinum . Rursus corpora similia comprehenduntur aequali numero planorum similium cn. 133): plana autem sim Iia sunt inter se ut suarum mel altitudinum aut Ioningitudinum quadrata n. 13 ) : integra igitur unius corporis superficies est ad illam alterius similis, hoe est, omnia plana unius sunt ad omnia plana alterius, ut quadrata altitudinum , aut longitudinum n. 33. Eadem est ratio quaerendi rationem superscierum,& massarum in sphaeris, & aliis quibuscumque corporibus sphaeroiditis similibus , nisi quod in hisce
loco laterum homologorum utimur radiis aut diam tris, ut in loco demonstravimus n. Iῖε). Exemplum. Semidiameter Terrae habet Iam leucas geometricas: semidiameter orbitae solaris ex observationibus astronomicis per 3o Ieucarum milliones extenditur ; sunt ergo radii ut 3 ad asom: horum numerorum quadrata sunt, I, & 62soooocio et ergo imperficies terrae est ad superficiein sphaericam orbitae solaris, ut praedicta quadrata: rursus eorumdem semidiametrorum cubi sunt. I, & 11,613, OF FOQ.
163. Datam rectam ΑΒ Fig. 7o. dividere in quase
eumque parres volueris a ualer , inaequales , O in quacumque proportione data.
Res i. Ab extremitate Λ ducatur utcumque recta infinita Λ T, in eaque circino a puncto Λ incipiendo, quot dc quantae libeat magnitudinis partes assumes, in ea proportione, in qua datam rectam seocare volueris: Sit v. g. ΛΒ secanda in ratione a. 3.3. I; assumantur 'ab Λ ad T duae circini aperturae
quaecumque aequales; a T ad V 3; ab V ad 4 3 ,
147쪽
118 PHILOSOPHI AE NATURALIS a Q ad Z una : ducatur a Z ad B, extremitatem datae rectae, ZB; ex punctis vero divisionum . V T ducantur usque ad B A rectae QC, VO, . Tl parallelae ad Z R , dico facti im .
Demonstratio constat evidenter numero I 2s. Cum
enim in triangulo ABZ sint rectar IT, OU, C. Q parallelae ad basim ; latera AZ , Α B in eadem
ratione secabunt . Multo facilius problema resolves, si ducta infinita I QRS, Fig. 7o. circino in ea ab I versus S notetur ratio , secundum quam dividenda est data recta AB quae minor semper statui poterit, aut major, quam notatae circino partes IR S); postea vero ducatur data ΑΒ parallela ad infinitam IS: deinde per I & Λ ducatur recta, quae cum alia S B , per aliud datae rectae extremum du- cta, concurrat in C; e X puncto vero C ad singula divisionum puncta I ORS ducantur rectae; eae squidem datam Λ B in data ratione divident.
264. Scalam Geometricam costruere.
Scalam geometricam nuncupamus rectam A B t , a Fig. 72 in partes decupla ratione decrescentes divisam. Ducatur recta indefinita Λ B Σ, in qua cim cino decem parte S aequales arbitrarie assii mantur ΔΒ, HI, I. a &c. Dividatur prima pars δε R in decem partes aequales A 9, 9. 8 &c. Ex puncto A erigatur Α C perpendiculariter , quae in decem etiam partes aequales dividatur : Per divisionum puncta ducantur parallelae ad rectam AB r; divisa tandem CD, rectae AB aequali , in decem partes aequales, ducantur per divisionum puncta rectae transversales a D, 2. I &c., quibus peractis habes scalam geome
In hujusmodi scala , cujus usus in Geometria practica , & Architectura frequentissimus , si statuatur AB esse decempeda , erit Λ 9 longitudo pedalis ,stu decima pars decempedae ; parva lineola 9, 9 erit digitus', seu decima pars pedis Λ 9; lineola 8, 3 erit digitus duplex, seu duae decimae, &ita deinceps, ut facile ex numero ras. demonstratur. Prae-
148쪽
ELEMENT A GEOMETRICA. M pcipuus scalae usus consistit in dimetiendis magnitae dinibus linearibus, earumque proportione, di in f guris, & typis servata mensurarum proportione delineandis. Uno aut altero exemplo reS fiet clarior.
Datas longitudines Z & X ope scalae dimetiemur , ct earum proportionem hoc pacto invenies: re tam ΑΒ Fig. 78. 79. circino comprehensam auferes ex X quoties fieri poterit v. g. quater, si nihil supersit, erit X o pedes; si supersit pars aliqua Ο U; astu
matur circino ea pars ; deinde circinum eo usque per transversales trahatur quoad cum aliqua evtransversalibus parallelis Congruat, v. g. cum segmento Κ, in quo sunt 3 partes decempedae AB, seu 3 pedes, & quatuor decimae partes pedis, seu quatuor digiti, ut indicat nota A transversali apposta : unde si A B statuatur decempeda continet X 34 digitos, seu A decempedas , s pedes, 4 digitos: Si alias quascumque longitudines eo paeto dimetiantur , earum proportio innotescet ; A B tamen statui potest , ut decempeda ulna', stadium , leuca Sc. Ponimus hic divisionem pedis in Io partes ;scimus tamen communiter dividi in I a. Si aedificium v. g. palatium designare velis, opescalce ,' rem a curate secundam datam mensurarum proportionem deline abis. Sit v. g. delineandus fenestrae typus, cujus altitudo sit ad latitudinem , ut 8 ad 3 palmos : Statuantur igitur decem palmi in AB. N asIumatur Λ a pro altitudine , Λ s pro latitudine fenestrae , & juXta eam mensuram reliquas onmes aedificii partes designabis.
26s. Altitudinem quamcumque ad cujus pedem accedere possumus, v. g. Obeliscum ΛΒ Fig. 74. 7s. dime tiri . Resol. Latere quadrantis X horizontaliter disposito, eoque adducta alida da E O , ut oculus in C per Pinulas, vel foramina verticem obelisci intueatur chorda aut virga, aut circino distantiam dimetire , quam go pedes statuamus: deinde circino assiimptis, ct in scala exactae dimensis recta C I horizontali, &
149쪽
T perpendiculari, quarum prima sit septem , Ω-
eunda vero 3 , quaeratur ad hos tres numeros T. 3::8o- quartus proportionalis in. 37 ), qui altitudinem Α R pedibus expressiam dabit. Extra calculi moleti iam ope solius scata altitudinem habebimus, si ducatur in charta CI7, perpem dicularis IT, s , CΛ8o, dc ΛΒ tamdiu producatur quoad restae CT B occurrat ; Si enim Λ B in scala dimetiaris, quot pedes contineat innotescet effandPm enim habet rationem ad C A innumero Pedum, atque in partibus similibus stata. PROBLEMA XXXII.,66. Quantum horion talis planitiei RQ datae mom, sis decliυitati RO reoondeat, invenire. Id in praxi ad vendendos, permutandos, & aesti. mandos agros inpissime quaeritur, idemque est , atque inquirere quantum horizontalis plani plano in
ReDI. Primum recta RO Fig. II 6 , montis de clivitas , ut supponatur data , aut circino , chorda , vel virga dimetiatur et deinde investigentur anguli R & Ο, primus quidem ope quadrantis X Fig.
II. , secundus autem ope perpendiculi E Λ, dc regulae, aut quadrantis, cuius alidadae secundum monetis declivitatem sint accommodatae; angulum quippe
positu in & aequalem . In charta assume rectam X Ttot partes v g. scata habentem, quod fuerint de cempedae in montis declivitate : ad illius extrema
describe a neu los XL angulis Ro aequales, duc is Tectis XY. ZY, quae in puncto Y concurrent; tandem rectas XY, LY in partibus scata dimetire: eamdem rationem habebit Ro montis declivitas ad RQ planitiem declivitati respondentem atque Z X ad ZY in partibus stata. Eodem pacto montis altitudo, & latitudo inveniri potest, dc plurima alia pro-hlemata solvi. PRO
150쪽
ELEMENTA GEOMETRICA. mPROBLEMA XXXIII. 167. Figuram D figurae Fig. 37. similem construere, quae eam in data ratione excedaι, aut ab ea
Quaeritur figura similis D, quae prioris sit v. g. dupla , aut sesquialtera , in ratione scilicet D B ad DC Fig. 63 . Resol. sit v. g. CD dupla rectae DB, lateris scilicet figurae datae; quaeratur recta D A media proportionalis inter CD. & DB, erit Uri latus, seu recta SP, supra quam erigetur figura DLimilis, & dupla figurae . Eo modo describi potest
figura quae ter, quater, centies , millies, aut in qua cumque alia ratione datam comprehendat & superet . Hujusce igitur problematis infinitus sere erit usus , ut jam superius indicavi . Uno aut altero exemplo rem illustremus. Sit tubus, seu canalis, cujus capacitas seu laetio sit circulus parvus, A, Fis. 4.ὶ per eumque effluat aqua in data ratione v. g. libra in singulis minutis ; quaeritur alius tubus, seu circulus X Y U , per quem eodem tempore effluat aqua octu pla, hoc est , circulus prioris Λ octu plus . An me circino radium dati circuli Λ, & sit DB Fis. 68.); produc eam.rectam in indefinitum, atque ex illa ita producta cape circino 8 partes aequales rectae DB: sit v. g. C punctum extremum: quaeremediam proportionalem D A ad duas rectas si D , DC in. a 7 : erit DΛ radius circuli octu plo capacioris , quam circulus Λ datus. Similiter agro cuicumque , civitati , arci D con- fruenda sit alia similis , ad quam sit prima, ut Μad P, hoc est, ut Is ad a. Dividatur figurae datae D latus unum SP in I 6 partes aequales s n. 26s), dc inter integram SP, & decimam sextam illius partem quaeratur media proportionalis in. 2 7 : media haec proportionalis erit construendae figurae similis datus, ad quam sit figura D, ut I 6 ad I. PRO.