장음표시 사용
61쪽
puncto κ: Sitq; angulus D H B aequalis angulo B Κ G : aut angu- Ius A H D aequalis angulo B K Fr aut denique BHD & BK squales sint duobus rectis. Dico duas A B & C B esse in cotinuum& lineam Vnam. Si enim non sint ejusmodi: protrahatis Λ B, Ut secet F G in puncto L , & sit A L linea una : sitq; Triangulum B L Κ. Et erit angulus D H B aequalis angulo G L B alterno, per prima partem hujus vigesimaenonae: Qua a propter C L B aequalis A K C interiori & opposito : Quod in Triangulis fieri non potest. per deciman sextam. insuper erit, Persecundam partem huiusce , angulus AH Daequalis angulo B L Κ, ex eadem parte exterior interiori. Sed idem A H D ipsi BKF ponitur aequalis. Erit igitur BKF ipsi B L Kaequalis: Quod per eandem decimam sextam fieri non potest. Postremo , quum A H D & B K F ponantur duobus rcctis aequales : sintq; A H D & B v K duobus rectis aequales, per vitimam partem hujus vigesimaenonae: erit B KF aequalis ipsi BL x, repusnante eadem dcci ' sexta i, ,. - . 's i is y Tngo REM A iu PB 6 POSITIO XXX. . '
Quae eidem sunt aequid istantes, eae quoque interk-'sinx aequi distantes. . :
Sint duce AB & c D aequidistantes ipsi ε 3 lineae. Dico & sh-bas inter se aequi distare. Ponam G H lineam, secantem tres li- T. xl
quoniam A B aequidistat E F : erunt angu- η li alterni s x L & E L x, per primum c . . dem, quia C D aequidistat E F : erit E L Κ, per secundum caput ejusdem, aequaliso M L, exterior interiori. Angulus igitur B K L angulo C M L, per animi Notionem aequalis. 'Qui quum sint alterni, emur,
62쪽
LIBERI.ier vlgesimamseptimam Propositionem, duae A 2 S c D aequia istantes : Quod erat demonstrandum. P o T E R A T euidentissime demonstrari ex Recto. Scilio cet in AB rectam dimitto, per undecimam, G H perpendicularem, quae ipsam A B secet in Α -- puncto H: quam G H continuabo donec secet x v lineam E F in puncto x:& inde usque ad c D, ut secet ipsam in puncto L.
cissim duobus A B & C D cum E F , adductaqp in probationem vigesimaseptima, seu vigesima octaua: satis constat, per desi- .nitionem perpendiculari, ic per decimamquintam Propositionem , Omnes angulos qui ad Η, Κ, L, esse rectos: ac propterea aeqitales. Quare, per antecedentem,duae A B & C D parali li: Quod erat demonstrandum. PROBLEMA io, PROPOSITIO XXXI. Απο γῆ--μύου , τῆ
Per punctum extra lineam rectam signatum, ipsi li
neae par ille turn diacere. . Sit punctum A extra lineam B C signatum. Volo per A punctum, ipsi s c lineae parallelum ducere.
Duco lineam A D , sccantcm B C in puncto fortuito D : qnae cum ipsa taciat angulos A D B & A D C : Et constituo in puncto A, per vigesimam tertiam , angulum D AE aequalem angulo A D naticino. Ac tum crit A E ipsi B c parallelus,per priorcm partem vigesimae octauae: iiod erat faciendu.H AE C etiam poterat Perpendicularis ossicio ab lui. A puncto enim A duco. per undecimam, ad rectam BC, perpendicularcm A n : Et, per decimam , ad ipsam A D super pun- ε ctum A erigo perpendicularem A E. AC tum manifestum est, per conuersam ratio- nem Petitionis ultimae, duas lineas AE &B C non concurrere: quum neutra inclinet iri alteram: hoc est,
quum ex neutra parte duo anguli interiores sint duobus rectis min
63쪽
ELEMENT. EUCLIDIS minores. Neq; majori probatione indiget haec assertio quam ipsa Petitio. lHaec ideo annotaui, quod lineae Paralleli, Recti & AE qualis praecipuo quodam officio conseruent. mo fit ut Propositiones, quae Parallelorum mentionem hactenus fecerunt,vsum habeant in Geometricis Demonstrationibus frequentio
THEO REMA 1i, PROPOSITIO XXXII.
Angulus exterior Trianguli, duobus interioribus sibi oppossitis est aequalis: Et cuiuslibet Trianguli tres anguli duobus rectis sunt aequales.
Sit Triangulum AB c : Cujus latus B C producatur ad punctum D. Dico angulum AC D exteriorem , duobus A & B interioribus simul sumptis esse aequalem : Et tres angulos intimos ipsius Trianguli simul sumptos, duobus rectis esse aequales. A puncto C ducam, per antecedentem , lineam C E paralle- - tum lateri B A. Tum erunt anguli E c A & B Ac, per primam partem vigesimaenonae, aequales, utpote alterni: & per secundam partem ejusdem , anguli AB &ECDaequales, exterior interiori. Quare totus AC D exterior, ambobus A & a interioribus est aequalis: Quod est prius. Atque e dem erit probatio reliquorum angulorum extra sumptorum. Quum itaque duo anguli A c B & Α C D sint, per decimam- tertiam, aequales duobus rectis: erunt tres anguli A B C, B A C,.&AC B, aequales duobus rectis: Quod fuit demonstrandum.
. Εκ hac eonsequitur, Culuilibet Figi irae Multilaterae omnes angulos simul sumptos bis tot rectis angulis esse aequales,quota est ipsa Figura in ordine Multi laterarum. Verbi gratia, Trigonum est Figurarum prima, quum nulla sit
64쪽
st pauciorum laterum: duae enim lineae si a perficiem non con- cludunt. Trigonum itaque duos complectitur angulos recto Vnitas enim,quae ordinem Trigoni notat, bis su napta facit binarium. Tetrapicuron, seu Q adrilaterum , quod in ordine est secundum,quatuor includit angulos rectos : Binarius enim duplicatus quaternarium efficit. Ordo autem Figurarum et, rteribus colligitur. Nam si duo semper latera sustuleris, numerus laterum residuus, ordinem Figurae ostendet. V t si quaeratur Hexagona quota sit Figurarum : a senario aufer binarium, ac supererit quaternarius. Est itaque Hexagona ordine inter Figuras quarta. Quare octo angulos rectos continet. In sun ma, ut etiam addamus ad Campanum, quum Triangulum sit Figura prima: ut ordinem caeterarum cognoscamus, initium numerationis faciemus a ternario : ut quaternarius sit pro binario, quinarius pro ternario: sicq; ordinatim. H-C autem rectorum angulorum consideratio inde prompta est, quod omnis multilatera Figura in tot Triangula resoluitur, quota ipsa fuerit a prima. .
Quadrilatera enim in duo, Pelagona in tria,Hexagona in quatuorTriangula resoluitur:sicqicωtinenter: scut ex adscriptis Figuris cernere est. Verbi causi, In Pentagono A B C D E quum quodlibet trium Triangulorum, in quae resoluitur, duos rectos angulos includat: ipsum Pentagonum sex rectos includet angulos. la idem etiam recidet si dicamus, In omni Figura multila- tera omnes angulos simul sumptos rot rectis aequari angulis, quor significantur per numerum angulorum duplicatum,demptis
A puncto enim fortuito Intra FIguram signato, quale hic in Hexagono
A B C D E F, punctum G, si ducantur lineae rectae ad quemlibet angulorum: erunt in ipsa Figura totTriangula com . prehensa, quot anguli in ipsa fuerint. . Horum itaque Triangulorum omnes
anguli simul silmpti tot rectis angulis
65쪽
aequantur, per hanc trigesimamsecundam , quot sent anguli totius Figurae duplicati: ut hic sex Triangulorum, sunt anguli duodecim recti. Quumq; omnes anguli punctum G circumstantes , sint, ex decimatertia, quatuor rectis aequales: si quatuor ex duodecim auferamus, supererunt in Hexagono sexanguli octo rectis aequales. Hi NC etiam manifestum est, Figurae Polygonae angulos
exteriores omnes simul sumptos quatuor rectis aequales esse. Sunt enim interiores cum exterioribus bis tot rectis aequales,
quot in Figura anguli fuerint, per decima-
tertiam. Interiores autem bis tot rectis sunt
aequales, quot ipsa Figura habuerit angu-ὶ Ios, demptis quatuor, ut modo ostendimus: quapropter exteriores semper quatuor rectis aequales.
Exempli gratia, protrahantur quinque
latera Pentagoni A B C D E , ad puncta F, G, H, ac, L. Eruntq; , per decimamtertiam, duo anguli qui ad A quales duobus rectis: ac, per eandem, duo anguli, qui ad B, . quales duobus rectis. Sicq; binos quosque angulos sumendo,h omnino decem rectis aequabuntur. Demptis itaque interioribus,qui sex rectis aequantur,ut modo probauimus: erunt e teriores quatuor rectis aequales.. C o N s TAT etiam, in omni Pentagono sic constructo, ut quodlibet latus duo secet ex reliquis , quinque angulos duobus rectis esse aequales. Sit enim quale proponitur Pentagonum A B C D E, ut stilicet A c latus secet i tus B E in puncto C: & latus A D secet idem B E in puncto F. Eritq;, per praesentem, amgulus A F C aequalis duobus angulis B & D, Trianguli a D p : exterior interioribus oppositis. Eadem ratione angulus F G a , dum bus angulis c & E, Trianguli C E G , erit aequalis. Atqui duo anguli A E.G & F G A cum angulo A, per hanc ipsam, sent aequales duobus rectis. Sunt igitur quatuor anguli B, C, D, Ea cum auul. A . aequales duobus rectis: Quod erat
Hae Ompani commemisones, quamuis non indignae co-
66쪽
LIBERI.gnitu videantur: tamen ejus generis inuenta si conquirantur, in immeiastina excrescere possent. Figurae enim Geometricae tam latum spatiandi campum ingeniis quam Numeri , immo adeo latiorem, exhibent. Ex hoc etiam Theoremate intueri licet, Trianguli constructionem ex duabus lineis super tertiam ad rectos angulos erectis,perfici. Si enim altera in alteram inclinetur, ambae cum tertia sic includent superficiem triangulam , ut quod duobus A crectis angulis deperit, id in tertio angulo recuperetur. Vt si intelligantur duae lineae A B & c D ad rectos angulos se per lineam B D erectς, moueri autera alteram versus,& coire ad punctum E , ut fiat DTriangulum BDE : quod duobus rectis angulis A B D & C D B decrescit, id tertius angulus E sibi assumit, ut S perficies exurgat. Sic res humanae comparatae, ut aliae in alias cadentes,tot specierum varietates componant. Sed nos ad institutum reuertamur, alias de iis Iussiri.
Si duae rectae lineae duas aequales & aequidistantes
lineas ex aduerso connectant: erunt & ipsae inter se aequales de aequi distantes.
Sint duae lineae A n & C D, quae duas A C & B D aequales & aequidistantes connectant ex aduerso in quatuor punctis A, B, C, D. Dico duas A B & C D esse aequales inter se & aequidistantes. Connectam enim A D. Et quia a C & B D sunt aequalas & ae- e quidistantes: erit angulus C a D, per primam partem vigesimaenonae, angulo A DB aequalis. Itaque, quum duo latera a C & AD, Trianguli A c D. sint aequalia duobus lateribus B D& I, A, Trianguli B A D : erit, per quartam, basis a B aequalis basi e or
quales. Quare,vum sint alterni, aequidistabit, r vigesimam-h a septim
67쪽
so Ε L E M E NT. E v C L i D I sseptimam, A B ipsi e n : Quod erat demonstrandum. THEOREM A L , PROPOSITIO XXXIIII.
In omni Paralicio grammo, latera ex aduerso posita, sunt aequalia, & anguli oppositi aequales: Et Dimetiens medium Parallelograminum diuidit.
Sit Parallelogrammuni A B C D, cuj us Dimetiens A D. Dico duo latera A B & C D inter se esse aequalia : duoq; A C S: C B inter se: Duos item angulos A N B inter se aequales, duosq; B &c inter se. Totam denique Superficiem a Di metiente A D, mediam diuidi.
y Quum enim AB& CD sint aequid istantes:
duo alterni anguli A A D & C D A erunt, Per Vigesimamnonam, aequales. Quumq; A C & BDe is itidem sint aequidistantes: erunt & duo alterni CAD&BDA aequales, per eandem. Quum itaque duo Triangula A B D & Α C D, habeant duos angulos duobus angulis mutuo aequales, scilicet B L D N B D A, ipsis CD A&CAD: & l tus A D , Cui incumbunt anguli, utrique Triangulo commune: erit, per vigesimamsextam, latus A B lateri C D aequale: latusq; A C lateri B Dr-angulus B angulo C aequalis : ob idki totum Triangulum a B P, toti Triangulo A c D aequale. Quare Theorema omni ex parte constat.' Inter duas lineas interminatas ad angulum datum refunctaου, seneam data linea aqualem collicare, qua cum altera uiarum fa- ciat angulum alteri angulo dato aqualem. Oportet autem duos amgulos datos duobus rectis esse minores. . Sint duae lineae A B & A c, constituentes angulum datu B A C, . . sed quae sint interminatae ex parte extensionis earum: sitq, linea data, D: angulusq; alter datus, E. Volo inter duas AB SA c collocare lineam aequalem lineae D,quae cum altera illatum faciat angulum aequalem angulo E dato. Modo tamen duo anguli A & E sint minores duobus rectis. Aliqui fieri non posset
68쪽
LIBERI. Gr Triangulum, per decimamως ptimam. Placet ergo ut angulus constituendus sit super lineam A C. Super puncto A facio angulum C A F aequalem angulo E dato, per vigesimam tertiam Propositionem :& ex altera parte produco F Λ ad punctum G,ucvta G sit aequalis lineae D datae , per secundam: Et per pulictum G duco, per trigesimam primam, G H parallelum ipsi A C:quam produco eo usque vr Concurrat, siue secet A B in puncto H : itidemq; per punctum H, duco HK parallelum ipsi a F , quae secet lineam A C in puncto K. Dico jam lineam H Κ conlii tutam inter duas a B & A c, esse aequalem lineae D , & angulum K esse aequalem angulo E dato. Quoniam enim,ex constructione, A G H K est Parallelogrammum e erit K H aequalis A G , per trigesimamquartam Propositionem : quapropter re ipsi D lineae aequalis: Quod est prius. Et quoniam A K in duas parallelos F G & Κ H incidit:erit angulus AK H aequalis angulo FA Κ , per primam partem vigesi- maenonae: quum sint alterni: quapropter & idem x angulus, ipsi E angulo dato aequalis. Linea igitur H x inter duas A a&A C collocata, & lineae D aequalis, facit angulum x aequalem angulo E dato: Quod erat constitutum. Hoc Problema hic apponere visum est, aliquando mihi propositu ab artifice quodam Geometriae non imperito: quod dissicilem probationem videretur habere: Tria enim dantur, ut Triangulum constituatur : duo anguli, & linea una:prae se tim quum uterque angulus datus , non sit super eadem linea constitutus: sic enim facilis esset constructio. Ut si super linea Ax constituendum Triangulum proponeretur, habens duos angulos duobus angulis datis aequales. Hic vero Λ K linea, arte
Quae super eandem basin Parallelogramma & inter easdem parallelos consistunt, inter se sunt aequalia. h 3 sine
69쪽
ELEMENT. EVCLIDIS Sint duo Parallelogramma ABCD&E BCF, super eandem basin B c, & inter easdem parallelos A r & a C. Dico esse inuicem aequalia.
Aut enim linea B E secabit lineam A F citra punctum D , aut in ipse puncto D, aut ultra. Secet igitur primum citra D pun-μ tas ctum. Et quia utraque duarum linearum AD & E p, est aequalis lineae B C : erunt & ambae inter se aequales. Dempta igitur E D communi , remanebit A E aequalis D F. Rursus quia, per eandem , A B est aequalis C D : & angulus E A B , per secundam partem vigesimaenonae,aequalis angulo C D F, interior exteriori : erunt, per quartam, duo Triangula E B A & F C D inter se aequalia. Qwe addita utrique Figurae anormi C D E B,erunt duo Parallelogramma ABCD NE BC F qualia. Nunc autem secet linea B E lineam A p in ipse puncto B: eruntq; ijsdem rationibus, duo Triagula A B D & D C F aequalia. inare, addito utrique BCD Triangulo, fient duo Parallelogramma A B c D Γ D B c F aequalia. Sed N per trigesimamquartam probabitur fic. Duo Triangula A B D dc B C D sunt aequalia, ratione Dimetientis, per trigesimamquartam: itemq; duo Triangula C D F & n D C aequalia, ob eandem rationem. Duo igitur Triangula AB D & c D F , sunt, per Communem Notionem aequalia. re, utriqne addito Triangulo B C n, fient duo Parallelogramma ABCD&DBCF aequalia. Secet demum linea B E lineam A F praeter D punctum in criti intersecet lineam e D in puncto H. Quia i tur duae lineae A D&or sunt aequales, per antecedentem & communem Notio- D G nem: addita Virique particula D G , erunt duae ac di DF aequales:& Trianguluma ac Triangulo D C F aequale: quia utrius que latera sunt mutuo aequalia, & anguli mutuo aequales, per antecedentem, & per vige fimamnonam. Vtriq; ergo addito B c H Triangulo, & ablato D c Η ab lifilem rerunt duo ABCD Acolles Pardelogramma aequalia: Quod erat demonstrandum.
70쪽
Quae seper aequales bases Parallelogramma, & inter easdem parallelos consistunt, inter se sunt aequalia.
Sint duo Parallelogramma ABCD&EFGH, iupet aequales bases c D & G H , & inter duas Parallelos A p & c H. Dico haec duo Parallelogramma esse aequalia. Ducam duas lineas C E & D F.Eritq; per trigesim tertiam, superficies C D E P aequidistantium laterum Duae enim aequis distantes c D & E F inter se sunt aequales: quum utraque sit aequalis G H , & connectantur duabus C E & D F ex oppositis paseis tibus. Quia ergo , per anzecedentem, D
trumque duorum Parallelogrammorum ABCD&EFGH, est aequale Parallelogrammo C D E F hinc E F basi,illinc co intes lecta): ipsa erunt, per animi Notionem, aequalia: Quod erat demonstrandum. THEOREM A n, PROPOSITIO XXXVII. Τα είγωνα, να si ὀυ--ον φ αὐτῆς ἴ--Γυ.
Triangula super eandem basin & inter easdem p rallelos, sunt aequalia.
Sine duo Triangula A B c & n B C, super eandem basin a c,& inter duas Parallelos A E N B F constituta. Haec dico esse in
. Duco, per trigesimamprimam, C G aequidist*ntem A B:& cHA aequidistantem B D. Eruntq; duo Parali telogramma ABCG dc DBςH aequalia: ob id, & eorum dimidia. Qii re, quin B I. P ABe Triangulum sit dimidium Parallelogrammi A B C G, per trigesimamquartam: & D B C Triangulum sit dimidium Parallelogrammi D B CH , per eandem: ipsa Triangula inter se erunt aequalia: Quod tuit demonstrandum. 'THEO REMA 18, PROPOSITIO XXXVIII.