장음표시 사용
301쪽
1 1 ELEMENT. EVCLIDIS ti, ut A R ad O, sic E r ad p. Sed ut A B ad O, sic Triangulum ABK ad Triangulum C DL , per Consectarium decimaenonae hujus: Et per idem ipsem, ut a F ad y , ita Parallelograminum. K M F ad Parallelogrammum M H.Vtri ἰgitur , per undecimam Quinti,
2 a a x Triangulum ad C D L Trian- , gulum, ita M F Parallelogrammum
l ad NH Parallelogrammum : Quod
a M , Sint vero duo Triangula Ah κ&e DL similia& similiter posita: duoq; Parallelogramma M E & N H , ejusmodi. Dico esse A Bad
Ponatur,pet duodecimam huius,ut A B linea ad C D lineam, ita E Fad ML: &,per vigesimam huiusce,describatur super Parallelogrammum ras utrique ipsorum M p & NM simile similiterq, positum. Et erit, per priorem partem hujus, ut A BKTriangulum ad c D L Triangulum, sic M F Parallelogrammum, ad s a Parallelogrammum. Sed sic fuit M F ad N H. Igitur,persecundam partem nonae Quinti, Parallelogrammum s R . quale est Parallelogrammo N H. Et quia sint similia de similiter posita, aequalis erit linea G H, lineae Q R, per secundam. Pr-tem decimaenonae hujus. Nam quum sit ratio N H Parallelogrammi ad s a Parallelogrammum , dupla quam c H lineae adus lineam, eaq; aequalis r ipsa non nis ex aequali produci potest. Quare ut AE ad c D, ita EF ad GH: 4od Lit demon- .strandum.
In omni Parallelogrammo,quae circa Di metientem Parallelogramma, similia sunt toti, & inter se.
In Parallelogrammo Aa et, sint duo complementa gra& F κ, circa Dimetientem A c. Haec dico esse toti a D Hntex se similia. ' , , ' . . ER
302쪽
Eadem argumentatione erit A D ad a. H, ut A.B ad E C, & vet D c ad A c. .ia ergo Parallelogramma sunt aequiangula erir, per definitionem Similium Superficierum pG H simile toti B D. A Haud dissimili ratione probabitur . Fκ eidem B D toti simile : quum sit. B A ad Ax& D A ad D, ut C A ad A E, α . per secundam huius & Conjunctans. proportionalitatem 'Quapropter. - ex usgesima hujus, erit& p x simile
M si Sicq; constat Propbstio. S g o & hoc constabat ex Triangulis r ex iis stilicet quae pr6bauimus ad quatiam hujus. Quum enim duo Triangula.Λ ac lu'ε G c sitit aequiangula,& laterum ad aequos angulos proportionalium: erit A a ad E c ut 1 Ead E C. Rursus,quum A ' CVE H e sint fiuilia: erit A Dad Dc ut E Had H c. Quod& eodem argumenro probabitur de duobus Triangulis A E p Akκ. Uiuris p x Parallelograssimum complentibus. Sunt igitur p ὰ ς Ac Parallelogramma, toti a D Parallelogrammo de intes se similia: Quod erat demonstrandum. Abhoc mi eoremare non incommode locum sbi thueniet 'sic Probilema -ante proponi potuisser. Preminis duia in Paraia2 Uammis ,IM non, as et o Horam, Parviaelogrammum asteri simis resecare. μ Η - ,- , -- 'aralleψgrama A B C D. , . . . . '& C EFG.;Quiangula quidem, sed
I secare proportionem umilem ipu
303쪽
Id vero satis constat ex hae vigesimatertia r quum ambo sint circa eandem Dimetientem. Atque ad clariorem notio nem, persem A B G L Parallelogrammum. Hic etiam sibi locum
Inter duas superficiesrect ilineu mediam Saper m Forti milem inuenire . 'Sint duae Superficies tectilineae A &3, inter quas sit collocanda media Superficies proportionalis. Reduco ipsas ad duo Parallelogramma Similia, secundum doctrinam deciniaeoctauae huius: vel, si placet, utramque ad Quadratum, ex ultima Secundi . Et sint duo Parallelogramma C D E F & F G H Κ, similia inter se, & duabus Superficicbus Ade B mutuo aequalia. Tum pono angulos qui ad F sunt aequales, alterum ex aduerso alterius: ut sint duo Parallelogramma E D& H G circa eandem Diametrum C K. Et perficio Patallelψήgrammum C L K M. Dico alterutrum Supplementorum F L,&F M, esie medium proportionale inter C r S F Κ: hoc est, inter A & B: es se scilicet vi H C,Supcificies ad P LSuperficiem,sic eantam F L ad E DSuperficiem. Est enim, ex hac vigesimatertia Propositione, linea H F ad lineam F D , ut linea G F ad lineam F E : At,per primam hujus,
ut A r ad p D, sic H et Superficies ad F L Superficiemis rei & ut C sad F Ε, ita v L Superficies ad E D Supe ciemia mare, per undecimam Quinti, ut H o Superficies aq p L Sumhciem, siq eadem p L Superficies ad ED Superficiem od fuit faciendum.
304쪽
cepto, inter parallatos constituo alierum paratalagran mum Κ D L F , aequiangulum ipsi C H Parallesogrammo, & aequale ipsi a Reinlinem Iam in linea E p, inter ipses e M N L Dbasis , pono lineam MN media ratione proportionalem, per nonam huius. Ductisq; M o & u, parallelisse G H & D F,consitis Superficismaeouidistantium 'iterum M p. Hanc dico es. se media ratione proportionalem in rer r' duo e M&ns: ac propterea inter A N BRectilinea. enim , per primam huius, ut e G. l l L G hasis ad M-basin , sic C H Parallelogram-
mum ad M : Et,per eandem, ut M N balis
ad x o basint, sic Mν ad κν. Quare, per undecimam Quinti, ut CHMMν, sic Myad Kr: Quod tuit probandum.' Sed nos priorem demonstrationem astruximus, ad illiu- strandam ubique Figuram nostram Gnomonicam,
- , i si duo Paralselograma similia & similiter polita,
e Monem angulu habuerint angulum aequalem angules aequali contra posuit m habuerint: ambo circa eandem Dimetientem consistunt
305쪽
fuerit, patet Propositio, suis Di
Secundum sita Educta. ut modowimetiente per L punctum, 'erit, per ant&edentem M sad E B exc ad c ol hoc est, vix L ad CH . ' M, eά hyhothesi , vad Emvix G ad cin Quare, per ipsam undecimam Muinti, erit F s aequalis Mus de praeterea K L ipsi x G,contra communem Sensum ALITER compendiosius. Parallelogrammum E M simule est toti A C., pex antecesentem : quapropter & minori E F, per vigesimamprimam hujus Echypomesin : Gq. tiuisa: htoportio lia: Eritq; L MM M. ut o Rad y p. Quim igitvpsi psidipsi L M aequalis erit ,s septimam. nti. ρM B ut GF ad PB. Quare FB ipsi MB'ae ualis , pars roti': Quod est
H wr v.s Promidiorsis uidentiam ideo ampliaui, I etiam de Parallesogrammis connexi liuelligeretur: qualia in Ionstructione apparent a Q.&be inmeriens enim infinite prodμ- ei potest,&Rarallelogianima similia circu*scribi. Breuiter,ut haec omni ex parte Conuersa esset antecedentis. -
306쪽
307쪽
- Rectilineuti M. Quod dico -ni FB A ii 3 a esse aequale ipsi B Rectilineo.
per KL -ndam ,rie linea prima ad Do tertiam: ob id, per primam ut o νων ω ob id4;,per priorem partem ut mae mmti,ut A ad F c: ac propterest, per seciviam paretem ejusdem, ut A adn. Quare,per secundam partem nonae ejusdem, erit M aequala a: Quod erat faciendum. Sed erit promptius ex Permutata proponi insitatequum enim sit A ad M vt.ε ε adi erirperminatim. A ad c ν ut M ais FG. Quum igitur sit A aequale es, erit Maequalexa: Quare dc Quale a: Quod erat cotistitutum THE REMA - . PROPOSI TIO XXγIL '
Super climSo histae Parallelogranaiolata, descriptu, maju* ust Parallelogrammo, quod sirper eandem Mneae
308쪽
. L Ii s L R v - 1 ssit linea Aa, super cuius dimidio o descriptum si Patal lesogrammum c a D E , culus Dimetiens B R : & supra ndem A a sit projectum A F Parallelograminum, crius unum laterutris et latus e E in puncto G : deficiath, specie . . Paxallelogram- 1.L - mo EB, simili sivilitei, positio ipsic a D E.Dico Parallesova num C Desie majus PatalesogriunmoA . . GEst enim, per primam hianis, in Gaequale C s pN, per quadragesimam tertiam Primi,c ν aequale F D: Itaque per communem Notionem, totus Gnomoc B D E, UsI- Pa, rallelogrammo aequalis. Sed nil maius est ipso nomone Quare de ipis Ar Parallelogrammorumodiuit demimsu ais. dom. Tanto autem est maJus, quantuosi est E v Parallelogram-
i Iam veris, si a F altius erigatur, quam c D, Vtinaee nda Figura : in jus etiamnum erit c.Dipse V l Est enim, per ponam hujus ,A c reqv le o s. Ablaus em Arimque duobus
inter te aequalibus: eris c D innio majus A F , quantum-E FParallelogram m. p.
Super datare linei, dato Rebilineo Rouale Parrallelograminum aptare, deficiens specieParallelogra mo, quod simile sit dato. Modὁ itinere Rectilineum datum majiis hondit Parallelolassimo MU
midio hi eae dat , siritis paralleioli vivi
309쪽
'uSaeiustalltimo: datumq, Rectilineum c : datum vero P rallelogrammum D. Volo super linea A a sic designare Parallelogrammum aequale Rectilineo c, ut deficiat specie Parallato- grammo . uni sit simileParallelogrammo D. Oportetautetuc nomene riseius Parallelogramno , super dimidium datae lineae ascolloc triri simiIi eidem D Parallelogrammo. Alioqui niteremur in praeceptum antecedentis Propositionis: o Divido A per aequalia in puncto E : &, per decimamnonam huius, se F dimidiuus Aa , conitituo Parallelogrammum E F, sapis ipsi mi Tum super tota AB, compleo Parallelogram-muma.RF c. xi a Quum ergo et Rectilineum, non sit majus E FBarallelogrammdi, si lucidem aequale erit Parallelogrammum R. a quia luimus, pei vigesimam hujus. enim simile ipsivan quum eidem aequale & aequilaterum. Sin erit C minus, auseratur excessus ab ipse E F per ea quae demonstrauimus ad
Α . . M L: Et qucam RP, quae se scindant in punctos quaeqi metutuq aequidisten . tqribus t sus parallelogrammi λ r. ' Eritq; intersectio iplarum in Ds-tlante B N, eer vigesimamquartam hujus: quia N.s aequale ec simile. ipsi H M. . Producta demum R P in A c ad punctum T , dico
risintertiam primi .E F quale s F : erit, per adimi Notionem,
310쪽
deficit specie Parallelogrammo quod est simile ipsi B dato): Quod faciendtim fuit.
Hoc aurem Theorema, cum iudicio tractandum est: vietiam hoc ipsblbeo arenotauit Nicolaus Tartalea Brixellensis, vir in e Geometrica serio versatus.
Sit enim , ut ipse in exemplum proponit, area C Rectilinei, vigintiduoium pedum: & κη lineae longitudo,duoaecim: sed D Parallelogrammi longitudo, sit sua latitudine duplo major Tum si ponatur a E longitudo: quum ipsa sit 6 , erit B p 3. Actum A 2 constitui non poterit in Parallelogrammum quale
quaerimus: nempe, quin sit majus ipso E F. Nam Ap erit 3 pedum. At s ponatura Elatitudo, erit BF longitudo I 2 g ν Parallelogrammum; erit 7 2. Ac tum demum stabit Problema. Quamobrem ea cautio erit, ne longitudo in a B dimidio lineae ponatur. Hoc igitur Problema, ut nihil dissimulemus , eo minus Geometricum est, quo minus uniuertae. Quinetiam in errorem inducere possit bene exercitatos. Quod ego longiori sese mone non explicabo. Satis fuerit admonuisse dearrore vitando.
Ad datam lineam dato Rectilineo aequale Paralle. logrammum praetendere, excedens specie Parallelo, grammiam: simile dato.
Medatalinea AB, datumhRectilIneume, Ze datum Parallelogrammum D. Volo ad A B lineam, applicare Parallel grammum aequale Rectilineo e , ex dens specie Parallelm
Druido A a bipartito in truncto E : M, per decimamnonam lituus , super dimidiam 2 E constituo a 3 ν Q Parallesograntismum simile D Panulelogrammo. Tum, per vigesimamis