장음표시 사용
271쪽
Similes Figurae dicuntur, quae angulos aequales habent ad unum, di latera, quae angulos aequales continent,proportionalia.' Vt si fuerint duorum Triangulorum' A B C dc D E F, anguli mutuo aequales: nempe angulus A angulo D angulus B angulo E : fueritq; latus A B ad latus D E, ut A cados Et B c ad E Frerunt haec duo
1 Reciprocae pigurae dicuntur, quum utriusque ipsarum mutua latera fuerint proportionalia.
Vt si fuerint duae Figurae, verbi gratia, inadrilaterae, A B C dc D B E: fueritq, latus A B ad latus B D , sicut latus B E ad latus a C: hae duae di .cum tur Rociprocae. Sic enim stat proportionalitas, ut duo latera unius sine
272쪽
L I B E R V I. 143 sine antecedentia, & duo alterius sint consequentia. Atque eam ob causani, a nonnullis satis apposite vocantur Figurae
3 Per mediam & extremam rationem diuidi recta linea dicitur,quum sic fierit tota ad majus segmentum, ut majus segmentum ad minus.
Id est, quod vulgo dicitur lineam diuidi secundum proportionem habentem medium & duo extrema. Vt si fuerit linea a . . A B sic diuisa in puncto C , ut sit totat Aa ad segmentum AC ut idem A cad
Hanc diuisionem domit undecima Secundi, sed nulla proportionum mentione : quod nominatim docebit trigesima
Altitudo Figurae, est linea a vertice ad basin peinpendiculariter deducta.
Trianguli A n e altitudo, est permn Maris A D. Rectum enim, ut antea monuimus, omnia metitur. Vbi duarum linearum aequidistantia intelligitur : scilicet linea duci per punctum Λ a, quae sit basi B e parallelus. 4od si bafi,. 'poneretur AB, huic duceretur parallelus per ' piinctum et sicut&ipsi Aassi fungeretur vl- ' --φ basis per punctum B Am ab eo puncto ubi vertex esset,demitteretur perpendicultaris,quq altitudinem monstraret. ' f iΛογγ --χεγγίτου - λογοπ
1 Ratio ex duabus rationibus aut ex pluribus con-
273쪽
α E L E M E N T. E U C L I D i s stare dicitur, quum rationes Quantitatum inter se multiplicatae, aliquam rationem efficiunt.
Rationes antitatum hoc loco dicuntur denominationes ipsarum proportionum. Ob id, vocem quantitatis generaliorem quam Magnitudinis usurpauit, ut significaret hunc locum sine Numerorum consideratione praetcriri non polle. Si itaq; fuerint tres Quantitates A B, C D, & E F, quarum C nmedia : constabit ratio prima: A B ad ultimam E F , cx ductu rationis qua habet A B ad C D in rationem quam habet C D ad E F.
Hoc igitur totum ex eo sumptum est, quod Medij ossicium sit extrema conjungere & colligare. Quod nos Numerorum auxilio declarabimus. Ponatur enim ratio A B primae ad C D mediam,' sesquiplex seu sesquialtera: sed c D mediae ad E F extremam, dupla. Scilicet, quum A B ad C D sit sesquialtera: qualium partium est A B trium, talium C D sit duarum: Quumq; C D sit ad E F dupla: qualium duarum est C D, talis sit E F unius. Habes itaque duos Deria ominatores Proportionu, nempe : & : quos si inter se multiplicaueris, conflabitur Denominatio primae A Bad ultimam E p : scilicet Tripta. Iam, si plura sine Media eadem etiam ex iis constabit ratio,
ac si unicum ellet. Vt si inter A B & E F, earundem, quas posuimus, partium , statuatur alterum Medium C H r manebit etiamnum ratio A B ad E F composita ex tribus rationibus, quae ex duabus modo componebatur, quantacumque sit G H. ia Sit enim, ut prius , A B ad C D ratio sesquialtera: C D vero ad G H , subdupla: erit G H ad E F , quadrupla. Ducantur iam tres De nominatores inter se:
scilicet : in ' , fit : : Et ἰ in ', fit 'r , id est Tripla
denominatio. Quare, ut prius, A B ad E F tripla ratio, sed ex tribus rationibus composita. Quot igitur erunt termini,vi vocant,in tot partes diuidetur ratio primae Quantitatis ad ultimam, dempta uniatate : seu mauis, quot medii erunt termini, in tot parres diuudetur ratio , ae praeterea in unam. Atque, ut uno verbo dicam, ater duas Quantitates, alias medias Quantitates collocare:
274쪽
LIBER VI. 14snil aliud est, quam proportione ambarum in partes arbItrarias diuidere. Atque hoc satis esse putamus ad praesens institutum.
Haec enim qui ampliora cupiet. ex Arithmeticis petat. Proportionum vero mareriam in Tertio nostrae Arithmeticae Libro abunde tractauimus.
SCIO non defuturos qui non probent, quod inantitatum rationes dixerim: non, ut Euclides reliquit, Rationum quantitates. Quibus ego breuiter respondeo , me id ut doctrinae consulerem fecisse. Nam si, exempli causa, quantitatem 4 ad quantitatem 2, duplam habere rationem dixero , scienter Besignificanter dixero. Si vero rationi duplae quantitatem esse: obscure & implicate. Nam quum Quantitati ratio insit; ru sus Rationi quantitatem inesse, circuitionem importat, quRin disciplinis maxime fugienda est. Ratio igitur nobis ea est, quae denominationem prae se fert i ut dupla, tripla,& quae iant Musinodi. Atque hae inter se multiplicantur; scili t dupla ratio in triplam, quae sextuplam parit: ac caetem suo modo. Neque hic Quantitas in QPntitatem ducitur, ut sine in lineam. sic enim fieret Parallelogrammum : quoM huic t co est alienum. Ri nihil multiplicatur nisi quodquantum est. Certe. Et fateor quidem Rationes quantas Me. Sed circuitu illum vitare volui. Unicuiq; tamen ut quatitates Rationii dicati per me licet. Hic enim agitur non dicendi.sed docendi ratio. t D etiam obiter monebimus, hanc Rationum 'compositionem, non esse Proportionum Additionem , ut quidam purarunt. Aliud quippe est, Rationes alias ex aliis componere , de aliud, Rationes rationibus a
jungere. Quod & in Arithmeticis
275쪽
Triangula ejusdem altitudinis,itidem.& Parallelogramma, inter se sunt ut ba
. Sint duo Triangula A 8 c & xc o,ejusdem altitudinisvico, ve est se basis adco basin , sic esse Anc Triangulum ad Acurriangulum. Sint etiam Parallelogramma C E & C F, ejusdem alet iudinis Dico itidem ut a c basis ad c D basin,sic c E Paralle hinaminum ad F c Parallelogrammum. QPhoduram h D trimque in G, H puncta: Et ponam duas μου ipsi eusaequalas: Mo Mipsit c D.Tum connem A G,A Mae Triangula Aia A k s, & A G x inter se aequalia, per trige amoctauam Primi : iticlam,& Triangula Acu κώ o H ser eandem, inter se aequalia. Ac proinde Triangulumi a G C, tam multiplex Trianguli An c, m basis G c multiplex ipsius basis in c.Item. Triangulum a C RTrian,- 'guli AAEo tam multiplex. - b sis e si ipsius bass c D. Et per eandem Primi, si C c bass aequalis est C A basi: erit & Triangulum A a C aequale Triangulol A c H :-, maius : & 6 minus, minus. Est igitur, per sextam Definisionem Quinti, sicut a c basis ad c Dbasin , ira Aa e Triangulum ad Ac D Triangulum : Quod est
Quumq; Parallelogrammum E c duplum sitTrianguli A B C. W:ru--gesimampridnam Primi: & Parallelogrammum F C, duplum Trianguli Ac D, per eandem: erit, per decimam ein-ram Quinri, ut Triangulum A ac ad Triangulum a C L, siuParallelogrammum E c ad Parallelogrammum F c a Quod fuit demonstrandum. Hoc
276쪽
L I B E R V I. 247Hoc autem in communi judicio totum positum est. Quod sic probabimus, ut Demonstiationis vice elle possit i simul ostendemus quanam ratione inducatur Trigesimaoctaua Primi ad probationem excessus & imminusionisAEquemultiplicium, quum ipsa de aequalitate tantum proposueri r. Sit Parallelogranamum AB CD, Musdem altitudinis ut Parallelograminum D c E P. Dico ut est B c basis ad c p basin , sic esse Aac D,Parallelogrammum ad D C E F, Parallelogrammum. Primum enim, si aequales sint bases, non est dubium quin cadem sit ratio basium & Parallelogrammorum : quum sint & Parallelogramma aequalia , peripiam Trigesimamoctauam Primi. . Si vero inaequales fuerint: neque Paralle logramma aequalia esse possunt , per eandem. Sit ergo B C --jor C E, quam excedat quantitate E civi scilicet C G sit aequalis ipsi a C. Et ducatur parallelus G H, perficiaturq, Parallelogramnaum D C G H. Et erit, ex ipsa jam inducta Propositione , Parallelograminum A B C D aequale Parallel grammo ' D C G H. Quapropter, ex communi Notione, sicut DCCH majus est D C E F, ita A B C D majus est eodem D C E F. AC propterea , quum BC major sit C E, erit simul Λ B C D mnus D c E F. Simili argumentatione probabitur, si B C minor sit c ε, smul A B C D majus esse ipso D E E F. Vnde colligitur ut a c basis ad c a basin, ita A B c D Parallelogrammum ad D CE r Ruallelo. grammum. Nihil enim relari virum dicas, non posse esse primum majus secundo, quin totium sit majus quarto p neque aequale, quin aequale: neq, minus quin minus: an verodicas,ut
Primum ad secundum, ita tertium ad quartum : licet illud nominatim ab Euclide positum sit , AEquemultiplicium gratia,ut notum est xx ininto. Atque hoc dictum volui utrubiq; admonerem, AElacuitatem esse omnium Proportionum origi
277쪽
Si Trianguli duo latera recta linea sic secet, ut ipsa ad reliquum sit parallelus: duo latera proportionaliter secabit: 5e ii proportionaliter duo latera secet, erit ipse ad reliquum parallelus.
Sit Triangulum A s c, cujus duo Iatera A s & A C sic staei recta D E, ut ipsa sit lateri a C parallelus. Dico prius ut est a D ad
D A, sic esse C E ad E A. Connectantur B E & c D. Eritq;, per trigesimam septima Primi , Triangulum aE D aequale Titangulo C E D : Sunt enim inter Parallelos D E & a C, & eandem habent basin E D. Vtrumq; igitur ad Triangulum A E D eandem habet rationem, per septimam Quinti. Erit itaque ut B E D ad A E D , ita B D ad D Α, per antecederitem: quum eundem habeant verticem E : similiter, per eandem, sicut c E D ad A E D, ita C E ad E A: eundem enim habent verticem
D. Quare, per undecimam Quinti, B D ad D A, sicut C E ad E A: Quod est prius. Iam sit B D ad D A ut C E ad E A. Dico D Eesse ipsi a e parallelum. Erit enim, per antecedetem & per undecimam Quinti,Tria guli A E D ad utrumque B E D & C E D,proportio una. Itaque, per secundam partem nonae Quinti, duo a B D & c ε D Triari-goluari ualia. Quare, quum eandem habeant basin D E , & ex eadem parte: erunr, per Trigesimam nonam Primi, inter duas Parallelos: Quod erat demonstrandum. H v rv s etiam Theorematis rationem, ab AEqualῖ ductam esse satis manifestum est. Sit enim Triangulum A A C duorum uterum A B & A C aequalium , quae secentur a linea rect a D E, quae ipsi a c sit Parallelus. Et constat, en
vigesimanona Primi, quatuor angulos B, C, D,& E,esse aequales: unde,per quintam ejusdem, duo A D bc A E latera, Τria'guli AED, aequalia. Ex communi igitur .N
tione, Da ipsi E c aequalis. Qirare AD ad DB ut AE ad Ec: Quod est prius Iam
278쪽
L I B E R V I. 24s. Iam connectantur BE&CD. Et quoniam ponitur Α D ad D B ut A E ad E C: erit, per antecede nitem, Si per undecimam Quinti, Trianguli A DE ad utrumque BD E&C E D proportio una. Vtrumque igitur aequale, Per alteram partem nonae Quinti. Quare, per trigesimam nonam Primi, ipsa inter duas Parallelos consistunt: Quod erat ostendendum. Vides Parallelorum osticio conseruari jus AEqualitatis: ut in si periori, immo ut in Demonstrationibus Geometricis passim apparet.
Si recta linea angulum Trianguli bifariam secans, secuerit & basin : erum duo segmenta inter se , sicut duo reliqua Trianguli latera: Et si segmenta fuerint viduo reliqua Trianguli latera: linea basin secans, & an gulum oppositum bifariam secabit. - : 'Sit Triangulum A E c,cujus angulum A diuidat linea A D b tiriam. Dico BD ad D cesse vi AB ad AC Et si BD ad lac ut A aad A ctangulum bitariam esse diuisum. , . 'Ducam B Eaequi distantem D A:Et protraham C A donec con- eurrat cum B Ead punctum E. Et erit, per priorem partem vigesimaenonae Primi angulus E B A aequalis angulo B A D. Et,per alteram partem ejusdem,angulus E aequalis angulo DA C. Quapropter, ex animi Notione, angulus E atatualis angulo A B E. Itaque, per sextam Primi, A B & A E aequales. Ob idq,, per priorem partem septimae Quinti, erit EAad AC ut AB ad Λ C. Ar, per antecedentem, E A ad AC ut BD ad DC. Quapropter AB ad: A C ut B D ad D C : Quod est prius. Sit Jam, manente eadem constru- I. ctione,,
279쪽
Per antecedentem. E A ad A C est ut a Dad o ct erit E A ad A C , ut A B ad AC.
Itaque,per priorem parte nonae Quinti, E A & A a sunt aequales. Quapropter, per quintam Primi, duo anguli E & E n A aequales. Quare, per vigesimamnonam Primi & animi Notionem, angulus a A D aequalis est angulo C A D: Quod fuit probandum. Esr autem hetc constructio dimidia pars illius Figuret Gn monicae quam in Quadragesimatertia Primi ad omnes Demonstrationes Geometricas locupletissimam esse diximus quaeq, omnibus sere hujus libri Sexti Propositionibus accommodatur, ut posterius cognoscent qui compositiones Figurarum diligenter attenderint. THEO REMA , PROPOSITIO IlII.
PEquiangulorum Triangulorum, latera quae circum aequales angulos, sunt proportionalia: 5e similis sunt rationis, quae aequalibus angulis latera subten
duntur. Sint Triangula A B c & D E F aequiangula : sitq; angulus A. aequalis angulo D: M angulus B , angulo E:& angulus C, angulor. Dico este DE ad Allec DF ad AC, sicut E F ad B C. Producam unum laterum alterutrius Trianguli,ut latus E pr& faciam F C aequalem B C. Tum a puncto F ducam p A aequidistantem E D & aequalem ipsi AB : Et connectam A c. Eritq;
Triangulum AF c aequale & aequilaterum Triangulo A n C, peris quartam Primi: propterea quod angulus A F C aequalis est angulo E per vigesimamnonam ejusdem duo latera A F-F C po Ita sunt aequalia duobus A B Ze' c. Ob id, angulus F A eaequalis
280쪽
aequalis angulo B A c: ob idq; , angulo D. Reliquus igitur E ν Dreliquo C aequalis. Itaque, per priorem partem vigesimaeocha-uae eiusdem , Ac &DF Paralleli. . Productis igitur CA& E D, compleo ParaIlelogrammum F G. Et erit, per tri ge simam quartam A G aequalis DF : & DG aequalis A F. inioniam ei go, per iscundam hujus, si A ad A C sicut Ε F ad F C: & per eandem, EF, ad F C sicut E Dad DG : erit, per septimam Quinti. D p quia aequalis G A ad AC:ac, per eandem, ε D ad F A aequalem ipsi D c sicut E p ad F C : Quod fuit demonstrandum. ALITER ut Theon. Eadem constructione, erit per se, cundam hujus , ut Eo ad D G fac propterea per undecimam Quinti, ut E D ad F A in sic E F ad F c. Et permutatim igitur, pcrdecimam sextam Quinti, ut E Dad B F, sic F A ad F C. Rursus, per eandem hujus, ut E F ad F C, ita G A ac propterea, ita D F ὶ ad A C : Et permuratim ut A F ad D F, ira F C ad A C. Sed probatum est ut E D ad E p, sic F A ad A c. Ex aequali igitur,per vigesimam- secundam Quinti, ut E D ad D P , ita F A ad A C. Quare Triangulorum aequiangulorum latcra proportionalia : QAod erat demonstrandum. Qv y M autem hoe Theorema se usitatissimum , neque μre vllum in Di mensionibus occurrat fiequentius : triplicem Triangulorum uiangulorum constitutionem exponendam esse duximus: quarum primam Jam tradidimus, ex Vel
xum praestri pio: stilicet, quum Triangula se per eandem lineam rectam construuntur: qualia hoc loco ED F&FAC, si per lineam Ec: nisi quod compositionem aliquantum varia..uimus: schemate tamen eodem retento. A ltera igitur qste sonis ratio erit ex Triangulis AEquiangulis,quae aliud in aliudiisseruntur. Sint duo Triangula ABC & DBE , aequiangula : ut angulum a. sit aequalis angulo D: & angulus B unius, aequalis angulo B alterius: angulusq; C, .angulo A. Dico esse B D ad 3 A & s E ad E c, ut D E ad A C. Quoniam enim angulus D aeqDalis est angulo A : erunt, per vigesimam octauamil l Primi, A c & D E paralleli. Protraho c E ad