장음표시 사용
281쪽
ELEMENT. EUCLIDIS connecto F G. Et quia angulus o E FG A qualis est angulo C: & duo latera E E & E G sunt aequalia duobus C B & C A : erit Trian- gulum GEF, Triangulo ABC aequale&κ-
qui laterum , per quartain Primi: & per vigesimamoctauam Musdem , F Gipsi B R p rallelus. Sic itaque argumentationem in stituemus. moniam o a ipsi A C est parallelus: erit, per secundam hujus. A D ad D s ut C E ad E B : Quapropter coniunctim, per decimamoctauam Quinti, ut A B ad D B , sic C B ad E s. Sumili ratione, quia B D ipsi F a est parallelus: erit, per secundam hujus , FB ad B E ut G Dad DE: Ergo conjunctim , F E sacpr pterea , B c ad B S , sicut G S ac propterea, sicut A C ad D E. At probatum est ut A B ad D B , sic C B ad E B. Quare, per unde. cimam Quinti, ut A Bad D B & C Bad E A. ira A c ad D h: Quod erat demonstrandum. Atque ea est altera Triangulorum AE- quiangulorum compositio. Tertia vero est ad decussationem inter duas parallelos: qualia sunt in subjecta Figura Gnomonica, duo Triangula A BC& a D E : quorum duae bases A C & D E sunt paralleli: atque inter has, duae lineae A E & C D. se decussantes in puncto a. ac duo ipsa Triangula A B C & B D E cum ipsis parallelis, constituentes. Figuram autem Gnomonicam complevimus , ut foecundita tem ipsius ubique obuiam ostenderemus. Habes enim uno intuitu triplicem positionem Triangulorum AEquiangulorum. Scilicet in dimidio Parallelogrammo, duorum Triangulorum BC& BE G , super A E Di metiente : ac tantundem in altera medietate PataIlelogramini. Quae positio ad primam demonstrationem pertinet. Alteram duorum Triangulorum Α E K & B E G,etiam aequiangulorum:quo-e rum minus intra majus insitum est : sicut & a E D in A E H. mod in secunda so
Tertiam habes positionem duorum A B C &B D E , itidemq; A B p & B E G. Quorum probatio satis mani sesta est, ex iissiuaesa ha In te tradidimus. A r . E hic etiam,si diligenter animaduerteris,comperiis,
282쪽
L I B E R V I. ex Triangulorum probatione , Parallelogrammorum probationem consequi: quum constiterit sicut A C ad C s, ita a G ad c E. Sed haec jam pluribus verbis non indigent.. .Quarta erat Triangulorum AEquiangulorum positio circa eandem Di metientem: qualia sunt A B C & A a F : item B E G &n E D. Quae quia sunt aequalia, demonstrationem non requirunt, sed ad aliorum probationem accommodantur.
Triangula proportionalium laterum, aequales haribent angulos lub quibus latera proportionalia subten
Haec est Conuersit antecedentis. Sint duo Triangula A ae& n E p: sitq; E ad D E , & A C ad D P, ut B C ad E s. Dico angulum A esse aequalem angulo D: dc angulum B , angulo E.: dc at gulum C. angulo F. Sit per lineam E F ex aduersa parte Trianguli D E p , constituam, per vigesimam tertiam Pcimi , angulum p E C aequalem angulo B : & angulum E FG aequalem angulo C. Eruntq; duo constituti, minores duobus finis. quia aequales minoribus duobus tectis, per decimam- septimam Primi. cancurrent igitur E a & F G , ut ad pulictum G. Eritq;i angulus G , per trigesimam secundam Primi, aequalis angulo R. itaque, petantecedentena, AB ad x et & A C ad F G , ut B C ad E F : ob id q,, A B ad D E sicut ad E pr& A cad o p sicut adha, per undedimam Quinti. Igitur, per alteram partem nonae ejusdem, erit D E aequalis E G : & D F aequalis FG. Quapropter, ex octaua Privii, duo Triangula D E F& et E F sunt aequiangula. Quum igitur Triangulum G E F sitata uiangulum Triangulo AS C i crit &D E F eidem ABC aequia ulum: Quod erat demonstrandum.' SED & haec probatio et F. gula Gnomonica elicitur. Sint
283쪽
enim duo Triangula ABC&DBE: sitq; AB ad Ac, ut BD ad BD&AB ad BC, ut BD ad ED . Dico angulos proportionalibus lateribus contentos, esse aequales.. Ponam latus A a unius, i in directum lateris B D alterius: it. sint A a C & a D E Triangula, super lineam unam A D. Et ducam. A D F parallelum ipsi C Λ , quae concurrat cum C s protracto ad punctum P. Quia ergo, per decimamquintam Ptimi , angulus DBF aequalis est angulo A B ci&,per vigesimamnonam eiusdem,angulus B D F, angulo B A C: erunt, per trigesimamsecundam ejusdem, duo Triangula A BC & BFD, aequiangula. Itaque, per antecedentem , ut A B ad A c, sic B D ad D F. Sed ut a s ad A c, sic positum est a D ad B E. Est igitur, per nonam Quinti, D r ipsi E naequalis. Rursus, per antecedentem, ut A B ad B C, sic B D ad B p. Sed ut A B ad B c,sic B Dad D E. Sunt igitur, per eandem Quinti , BF & E D latera aequalia. Itaque, per octauam Primi, duo a Dr.&BE D Triangula sent aequiangula. Quare Asc&a D naequiangula: Quod erat demonstrandum. THEO REMA PROPOSITIO UL
Duo Triangula, unum angulum uni angulo aequalem habentia, dcq iae circum aequales angulos latera proportionalia: inter se sunt aequiangula.
Sint duo Triangula ABC & DEF : sitq; angulus B aequalis angulo E : & AB ad DB ut B cad BP.Dico duo Triangula esse ae quiangula. Manear, urin priori figuratione an R recedentis Triangulum EG F ex adue
se Trianguli D E ν, aequiangulum ipsi
ABC. Et erit, per quartam hujus, A B
284쪽
L I B E R V I. partem nonae lainti, o E est aequalis E a. Quia ergo duo latera D E & E F, Tianguli D E F , sunt aequalia duobus E C & E p, Trianguli E G F : & angulus E unius , aequalis angulo E alterius, quum uterque sit aequalis angulo B : erunt,per quartam Primi, D E p & G E p aequiangula. Quum igitur 1 a s sit ipsi A Bc aequiangulum : erit D E F eidem A B C aequiangulum: Quod erat demonstrandum. Sed & idem ex Figura Gomonica probabitur.
Si duo Triangula unum angulum uni angulo aequalem habuerint,& quae circa duos ex reli uis angulis utera, proportionalia: reliquorum vero duorum Vterque aut neuter fuerit recto minoriaequiangula ersit Triangula, de anguli proportionalibus lateribus contenti, aequales. Sint duo Triangula A B c & , E r: sitq; angulus A aequalis
angulo D, & ratio AC ad DF ut Bad FE: & utcrque duorum angulorum a & E , aut neuter sit minor recto. Dico Triangula cise aequi angula , & angulos proportionalibus lateribus co tentos este aequales.
Iam enim si angulus C fuerit aequalis angulo F , constat ipsa esse aequiangula, ex antecedente. Si vero inaequales fuerint,sit major C : & ponatur angulus A C G aequalis angulo F , per vigesimamtertiam Primi. Eritq, , per trigesimam secundam ejus dem, Triangulum A G C. Triangulo D E F aequiangulum. Iraq;, 'Per quartam hujus, A C ad D F ut G C ad E p. Sed sic fuit a c ad B F.Igitur, per non/m Quinti, o c & B csunt aequales: ob idq; , per quintam Pii- mi, angulus B, aequalis angulo hoc Si ergo neuter duorum B & E fuerit minor recto, erunt duo anguli a &c, Trianguli
285쪽
ELEMENT. EVCLIDIS' BG Q; non minores duobusrectis, repu-o i gnante decima septima Primi. Sin v te que fuerit minor recto , rerit angulus A G C major rscto, Per decimam tertiam 'ejusdem, ac proptorea angulus E majox recto, contra hypothesin. Non ergo inaequalis est angulus a C a ipsi Fqngulo Quare 'B C Triangulum, ipsi DE F Triangulo aequiangulum, & anguli proportionalibus lateribus comprehensi aequalςs i Rimd erat demonstrandum. P o Ni T v R autem uterque C-E , aut neuter minor recto: ut deducamus ad absurdum . Scitu et quum reperiantur duae lineae C C dc B C aequales, erunt duo anguli B 8e C C B aequales, per qii inta in Primi. Si ergo: uterque E & B sit minor recto, erit& A C c minor recto, utpote ipsi E aequalis . QVare , per decimam tertiam Primi serit C G B major recto: ergo & B major eodem : qui positus fuerat minor.. Si vero neutcr B & E sit minor recto , erit uterque , minimum, rectus: Quapropter & C c a rectus, per quintam Primi: repugnante decimaseptima ejuΩ
Ab angulo recto Tmia guli perpendicularis ad basin den lassa,Triangulum in duo Triangula secat, simi
lia toti,&interse l. --- Sit Triangulum AB C. cuius angulus A rectus : sithi, A D perpendicularis ad sciasin. . Dico duo Triangula A B D &Α D C, toti A ac Triangulo & inter se esse similia.
- h . ι . Nam quum Vrrumque sit rectangulum , & uterque habeat unum angulorum toti Triangulo communem :Crunt per trigesimam secundam Primi, toti aequiangula: quapropter de inter se. Scilicet, angulus B aequalis aseulo C A v idi angulus C, angulo B A D: &duo anguli qui ad DGect i sicut de angulus B A c. Quod oc nos supra ad quadragesima- , septimato
286쪽
L I B E R J V M septimam Primi demonstrauimus. Itaq; , per quartam hujus, latera aequos angulos continentia, proportionalia. Quare Triangula, toti & inter se similia: Quod suit ostenclandum.
Perpendicularis a rectio angulo Trianguli ad deducta, inter duo basis segmenta proportionalis est: Et utrumuis laterum inter basin & segmentum sibi c5-
Inter duas lineas rectas, mediam proportionalem
-ii Mneduae lineat rectae A B de ne,inter quas sir inuenienda mmdia proportionalis. i a Ponam 3 e in continuuin spfius 1 Mut sit A e linea vita. ' super quam describam Semicirculum A D c Et puncto B, erigam B D perpendicularem .Hanc dinoesse mediam inter a B & B C. Connectantur o A & D c. Et erit, per trigesimam tertium-gissus A D C rectus. Quarα, per Consectarium antecedentisi a B
287쪽
Constat. quippe, ex trigesima Terth,
i dente, duo Triangula AEDR B E D esse' inter se & toti A D s similia. Quare, per quartam huJus, A B ad BD ut BO ad Es: ob idq, , ut B D ad C : Quod erat faciendum. Iu hacio turconstructione, uno intuitu triplex conspicntur proportionalitas. Est enim a D media inter A B & E B , ut iam probauimus: sed & A D media inter AB &, E : Ac tertio E D .
imedia iniri A E NE a segmenta. - . . . - :
Dato i alio= oportionali , in data linea duo extrema reperire. Oportet autem datum insedium .dimidia parte data linea non esse
Sit darum Medium NK, datae veto linea BC. Volo inra c duo extrema proportionalia reperitali, inter quae sit AB medium proportionale.. Modo tamen a B non sit majus dimidia parte ipsius B C. Nath sic naedium esse non posset. Iungo Aa & B c χ ut A c sit linea una. Tum super B c des ibo Semicirculum B E c. Et a puncto A,erigo perpendicularem A Drquam pono ipsi A a aequalem. Eo per punctum D duco D E , pa-axillatum ipsi AC r quae onmino seci bit , aut continget Mini- circulum,ut in puncto E : quum A D non sit major Semidiamtatro. Tum a puncto E , demitto E F perpendicularem ipsi E C. Dico a c sic diuisam in puncto F, ut A B sic media proportion lis inter B F & E c. Hoc autem satis manifestium est ex ipsa trigesima Tettij αConsectario antecedentis. Nam quum p E sit aequalis A D, per tri-miu fit gς simam quartam Primi: ob idq;, ipsi An: ductis lineis B E & C E , fiet Triangulum B E C Re tangulum. Ob id , ex ipse Consectario, erit B F ad F E ob idq;, ad ipsam A Bὶ ut F E ad F o : Quod sule iaciendum. -
288쪽
Duabus lineis profositis tertiam ccintiRuὸ propor-
Sint duae lineae A B & A c, quibus sit addehda terila eqtitinu.
proportionalis. a. conjungo ipias A e & AB ad apylum arbitrarium A c. Tum protracta AB, facio 3 D aequalem ipsi a C. Et connexa s C, duco D 2.parallatum ipsi a c: & protraho A C : donec concurrat cum D E ad E punctum. Dico lineam c a esse tertiam ad duas A B & A ccontinue proportionalem.
Est enim, per secundam huius, a B ad B D sicut a C ad c Ersed Ap ad an sicut AB ad ac , per alteram parrem septimae Quinti. Quare A a ad A c sicut A c ad c E: quod erat iaciem
ΑLrYER. Constituo An&BC datas, in directum. Tum seper punctum A erigo a D lineam , ad angulum arbitrarium: quam facio aequalem ipsi B c. Et a puncto D, per punctum B , duco transuersamo E : ad quam demitto Concurrentem C Ε, . parallelum Ipsi A D.. Dico e E esse tertiam proportionalem ad A B & a C. Quum enim, per decimamquintam Primi, angulus B , Trianguli Asit aequalis angulo B, Trianguli C B E : Si per vigesimamnonam ejusdem angulus A aequalis angulo C, & angulus D angulo E : erit, per quartam hujus, A B ad D A sicut D c ad c E. Quare, per undecimam Quinti, A a ad se sicut EC ad c E : Quod erat f
. A La T E R rursus. Constitu. ipsas a B & a c ad angulum rectum Anc. Et connexa A c , duco a puncto c, pe pendicularem C D: quam produco donec concurrat cum A B Pr i tracta, ad punctum D. Dicoa D esse tertiam proportionalem ad Aa & se. Id vero sitis constat ex Conse io octauae hujus. 3
289쪽
Tribus lineis propositis quartam proportionalem adjungere.
Sint tres lineae Ap, BC, NAD. Volo his tribus quartam pro portionalem adjungere. - Aa&ac facio lineam unam Aca&statuo AD cum AC, ad angulum fortuitum C A D: dcconnecto D B : cui duco parauleium C E. Tum protraho A D donec concurrat cum C E ad - ' ipsum Epunctuin. Dico D E esse qua proportionalem ad AB, BC, le. AD. ivi α- με - -- Erit enim, per secundam huius,' - a. .l , s lsicut λ a M. BAE; ita' Ri xy ad Ο Ε
Quod erat faciendum. Sed & hoc patebat ex antecede is .i Nodo tamen ammaduertast m Contiouam quam. ln- continuam proportionalitatem hic probari a quas Euclide separatim non tractat: ut in Definitionibus .inti monui
. ALO' E R. Sisit res lineae A B, B C, & B D. Volo ad ipsas ad- Oxς quartam proportionalem. - , Coetu ungo ini a primam cum B D tertia: ut sit Ad linea una. Ac stipet cuic crigo ne secundam , ad angulum sortuitum AB ci Et connecto A C. Tum per punctum D duco D E ipsi A c, parallelum: quam produco donec co currat cum C B itidem protra ad Puu-L ctum E. Dico 3 E esse quartata proporri tionalem ad ipsas AB, BC & aD : esse M scilicet yt AE ad BC, ita BD ad BE., , . - Qesum enim, ex decimaquinta & vigesimanona Primi, duo Triangula A B CLDAE sint aequiangula: erit, per quartam hujus, a B ad B c ut hoad a M Quod erat si endum, . 'HMς Campanus antecedenti Propositioni annexuit, ut
290쪽
Adata linea constitutam partem abscindere.
Sit data linea Aa , ii qua sit resecanda, verbi gratia, ops:
-oniam enim. .pc 3eeungam; utis cadi Q It B FadFA: erit conjunctim, L in C A A ad F A. Sed AE M.'Pl igitur & a A ad F A tripla. .Quare in F ipsi P A s te tua pars: offerat iaciendum La SED quoniam minutς denominationes,quales sunt Superpartientes & Superpartiuulates . non ita sunt e1 peditae: id n ,
Sit linea A B , a qua rese*nda sit pars sib*pertriparum
, Quum octonarius ad Quinarium sit superrripartiens qui ras : ex octo lineolis aequalibus faciam lineam unam : cujus, . modi hoc loco est linea A C:quam conjungam ad angulum BD avitum cum ipsa A B diuidenda. Et connexa s c , pG punctum it quimae sectionis, qάω βι v. dummi D E parallelum ipsi B c. Eris E ipsa pars quam quaerimus lineae A B , sciliacet subsupertripartics quintas. od delineatio ipsa satis ostendit. Nam ' quum A D sit ad A C supertripartiens qu vas: 'sith I ex postrema probatione, ve A'Dad A c , sic: A fiad 1 at erit & A E ad A a 2blapertripartiens quintas: Quia filii