장음표시 사용
291쪽
Datam lineam non sectam datae lineae sectae similia
rer secare. . . Sit data linea non secta, A B et secta ve 'to sit A c , verbi gratia in tres partest quan inscumquz, A D , D E , N E C. Volo lineam A B in tot similes partes diuide
Iungo A E &'A C ad angulum pro ar burio , B A C. Et connecto B c : Cui per puncta D & B duco parallelos D p N E c. Has dico diuidere lineam A B in partei simia Ies partibus lineae A C. . . ' Ducam tin parallelum ipsi AB, secantem BC in puncto Hr& c E in puncto x. Et sumptis duobus Triangulis A B C & D H C. erit per fecundam tridus,E D ad D A ut G s ad F A r similiter e E ad E D vi H κ ad κ D: ob idq; , ut B G ad G F , per trigesimam- quartam Primi, & secundam partem septimae Quinti: Quod erat ficiendum. Tolles vero repetitur secunda huius, quoterunt paralleli ipsi a cet sed toties trigesimaquarta Primi & s plinis Quinti, quoterv it ipsi AB.parallel. . . ., .E x hac habetur ficilis ratio diuidendae lineae In quascum que partes nominatas. Vt si tripartito secanda sit: fiet Og mqualis , D: 8t E c aequalis eidem, per tertiam Primi. M tum eodem constructionis modo quo Iam usi sumus, secabitur A R. in tres partea aequales. Idem de onustumque generis partibus erit judicium.
AEqualium Parallelogrammorum , & unum uni
292쪽
aequalem angulum habentium, reciproca Gnt latera quae circum aequales sunt angulos; Et quorum Parallelogrammorum unum uni aequalem angulum haben, tim,reciproca sent latera quae cireum aequales angi.
ij duo comprehensi anguli i aequum : Dicu duo Patalleia
i Ponam duo latera a C&cuandiNctum v x sit η ci unea una. Eritq; a o itidem linis una, per ς qu*dmonstravimus ad de--imamquintam Primi. Produco itaque A D a latera donta Concurrant ad punctum M. Et erit, per priorem partem septimae Quinti ,xtriusque Parallelogrammi o C hc c E ad Parali iurammum clis, ratio eadem Ev qu ,γr primam bujus, P rallelogrammum A c ad Parallelogrammum c H est ut B c basis ιά - Π' - Mi ad C, si, hasin ἔ. ,ri liel, Mnmum cs ad idem o u, ut Elpiasis ad C D basin: erit,pex me decimam Ouisiti, BC ad C G H E c ad c m
liis: Esto jam sc ad Ccut EC ad CD. Et erit. per psmam hujus , B C basis ad c ci basin, ut
293쪽
ias E L E M E N T. E V C LI D I sAEqualium Triangulorum & vnum uni aequat angulum habetium reciproca sunt latera quae circum aequales angulos: Et quorum Triangulorum unum vni aequalem angulum nabentium reciproc suiu latet. ra quae circum aequales sunt angulos', ea sunt aequalia
. Sint duci Triangula aequalia ABC &BDE: sitq; angulus Bunius, aequalis angulo B alterius. Dico A B ad B E esse ut D B ad a ct Et si fuerit A a ad a B ut D B ad B Cauerint i duo anguli,qui
ada, aequales, Triangula esse aequalia. - ii. - - l
Iungam duo latera A B & B E, ut sit A E linea una.Et erit D elinea una,eade ratione qua in antecedete: scilicet per Conue sun Decimaequintae Primi.Et connectam C E.Eritq;,per prior partem septimae Quinti , veriusque Trianguli A B C & u D E, ad Triangulum C a B ratio eadem , & quia, per primam limus, este ad B E e ut A B ad n E: & Η D E ad idem Da C ut D B ad n edierit, per undecinas m Quinti A a ad ma ut o Rad 3 e: Quod est
Est igitur, per undecimam Quinti,
tio eadem. Quare,per priorem par- tem nonae Musdem , ipsa Aae flea sunt aequalia r Quod fuit de monstrandum. NIAE E figuratio, si' intelligatur connexa A D , erit Quadrilatera cum duabus Di metientibus. Sed non oportuit esse aequi distantium laterum quum de selis Triangulis agereturi neque iis xquiangulis. Nam sic essent AC & D E paralleli. Caeterum haec mutuorum laterum in Triangulis compar tio , sic colligitur : ut sit Aa se perior ad suam directam BE, sicut D a itidem se perior , adsiam direrum B c. Nam si diiceretur A n saperior, ad B E, ut C B inferior, ad B D : non resp=mderent singula singulis: neque esset mutua comparatio. Ium intelligo de permutatione aut c'nuersione. - Αtquo
294쪽
L I B E R ' V I. Atque hoc notabile est ad reciprocationis cognitionem. Hoc igitur totum ex duabus Dimetientibus iniatilineri sedecustatibus pendet. THEOREM A D. PROPOSITIO XVI.
Si quatuor lineae proportionales fuerint, quod sub extremis continetur Rectangulum,aequale est ei quod sub mediis:Et si sub extremis comprenensium Rectangulum aequale fuerit ei quod sub mediis, quatuor lineae proportionales erunt. .
Sint quatuor lineae AB, ac, D,&BEproporrionales, ut an ad BC, ita BD adaa. Dico Rectangulum comprehensum A A E sub A B & B E , esse aequale Rectangulo comprehense sub E c M a D: & si Rectangulum comprehensum sub A vde, a, sit aequale Rectangulo quod sub B ς & a D udico di esse A B ad a C ut B n
Fiat Rectangulum A E ex a B 8c B E: Rectangulum quoque C D , ex B C &B di. Et statuantur ad angulos conir se positos, qui ad 3 : ut clarius fit, totum ex Figura Gnomon ca pendere. Uum it que sit' a a ad a e vi a D ad B Ee erit permutatim, a B ad B D ut B C ad B E. Quapropter, in quocumque sint sitia Rectangula, quum sint annui undiquaque aequales , erunt latera reciprocε proportionalia. Quare, per secundam pamtem decimaequartae hujus, Parallelogramma aequalia: quod est aeus. ' . S undum patet ex rimori parte ejusdem. SI enim fine Patarallelam na aequalia: Mum omnes anguli sint aequaues, la-L ter.
295쪽
' Si tres lineae proportionales fuerint: quod sub extremis continetur RechaiTulum, aequale est ei quod a media fit Quadrato: Et si sub extremis coprehensum Rectangulum, aequale fuerit ei quod a media fit Quadrato : ipsae tres lineae proportionales erunt.
Sit linea A a ad lineam a C, ut eadem B C, ad tertiam Elo. Dico Rectangulum comprehensim sab a B & B D esse aequale Quadrato quod ex a C. Et si Rectangulum comprehensum sub A a & a Dsie aequale Quadraro B C: esse A E ad
- Hoc autem satis manifestum est ex antecedente. Nam linea B C, hoc loco est pro secunda & tertiae B Dautem quarta. Hoc igitur Theorema luperiori connecti poterat, ut Conseaesium. THEO REMA. 33, PROPOSITIO XUIII.
Similia Triangula duplam inter se habet rationem, quam similis rationis latera. . . H
296쪽
nalium : Et sit angulus A aequalis angul D: angulus a , angulo E :& angulus C, angulo F: sitq, a B ad DEN AC ad DF vincadas. Dico duplam esse rationem Trianguli A nc ad Triangulum D E F , quam B C ad E F. Duabus enim lineis a e & E F addo tertiam c G, per decimam hujus, , Continue proportionalem r resectatas c, aut patam protracta , Vr maior aut minor fuerit quam a F scujusmodi ille dupliciter figulauimus .
Et connecto G A. Eriti, per alteram parrem dccimaequimae hujus, Triangulum A G C , aequale Triangulo D E F: quum sit a C potitum ad DF ut E Fad G c,&sitan-- gulus C , angulo F aequalis, Itaq;,
per secundam partem septimae Quinti iit Trianguli A v c ad utrumque ipsorum a G C & D E F, ratio eadem. Atqui Triangulum B A c , per primam hujus , ad Triangulum AC C , est vi ac U G C: sed a cada Cratio , est ut a C ad E F duplicata, per decimam Definitionem Quinti. Quare Trianguli A a C ad Triangulum D E Fratio , est ut B c ad os duplicata: Quod erat demonstrandum. l Iam vero si cic sit aeqvalis a C. erit, per allieram partem decimae intae hujus, Titangulum A B C aequale Triangulo D 1 F. AEqualis autem pr portio, quocumque modo multiplicetur,
manet eadem: quum ab Vnisare denominationem famat , quae
similia Polygona, in similia totidem, numero . Triangpla diuidu ur Et Polygψmun ad sole Poly-
297쪽
gonum duplam habet rationem, quam latus ad simi- .
lis rationis latus. 'Sint Polygona similia, au in praesens Pentagona, A B C D EM KL Haec dico diuidi in Triangula inter se similia,& n
mero aequalia: Atque insuper , este utrumque illorum ad alte 'riam, ut proportio lateris A B ad F a latus si inite duplicata. Connectantur A C & A D: itidem FH &FΚ. Eritq., propter similitudinem Polygonorum &per sextam huius,Triangulum Α Β . Triangulo FG H aequiangulum et & Triangulum Λ E D, Tria guto p L x Ob id, quum Pelagona sint,ex positu,aequiangula re laterum proportionalium et erit & Triangulum a C D, Triangulo F H K aequiangulum. Sicq, utrumque.alteri simile, per quartam hujus & definitionem Similium Superficierum. Quare, quum aequalia sint numero patet prior par Altura autem sic. Ducatur B D , quae secet A C in puncto M:& G K. quae secet F H in puncto N. Eritq;,propter similitudinem Polygonorum Se per sextam hujus , 'Triangulum B C v, Triangulora H K aequiangulum et unde S Triangulum AB M Triangulo F G N aequiangulum : AEquales enim simi anguli 2 A M &G E M , & ab aequalibus auferuntur A B M & F G M : ob id, per trigesimamsecundam Primi,aequiangula. Eadem ratione A M Dipsi F N K aequiangulum: Q propter, ex quarta hujus, B M ad A G M ut A M ad FN ritidem a Mad F, ut M D ad N K. Igitur, per V decima Quin in M ad G N ut M Dad mc: 8c permutatim,B M ad M D ut G N ad N K. Sed, per prima hujus, A B M ad A M D de B C M ad
ut p C H ad F H x : Sc 'periaulatim , ABC iapa H ut A cnadr H x. Eadem ratione si intellexerimus ductas E C 8c L H , probabitur sic esse A C D ad F L κ. Quare, per decimam tertiam Quinti, eri totius Pentagoni ratio ad totum Pentagonum, ut A B C ad F G H: ob idq, , per antecedentem , ut A B ad F pd
plicata: mod erat demonstrandum. SED hoc posterius caput in communi notione est. Nihiquum
298쪽
L I B E R U I. 16squum Triangula, in quae resoluuntur Pentagona, sint aequalia , . numero, de inter se similia: erit, per antecedentem, ratio A a cadsc Hvthcad GH duplicara :&AEDMFLxvtDEad KL duplicam. Atqui eae omnes duplicatae rationes sunt aequales, quum earum simplices sint aequales: erit igitur, per decimam- tertiam Quinti, ratio totius Pentagoni ad totum Pentagonu, ut unius laterum ad suum simile, duplicata: Quod erat pro- bandum.
Si igitur tres lineae proportionales fuerint: quanta est prima ad tertiam, tanta erit Superficies quae saperprimam, ad Superficiem quae super secundam: quum utraque fuerit similis di similiter descripta.
Quod ex jam ascripta deductione manlisum euaditi H vi c etiam Theoremati quida aliud subjiciunt Consectarium de Parallelogrammis Similibus, quod in dupla sint ratione , quam ipsorum latera similiter iumpta: Sed hoc patet vel ex Triangulorum similitudine. Triangula enim, ut jam non semel monuimus, dimidia sunt Quadrilaterorum. Immo AeTheorema si de Rectilineis pronunciassee,uniuersam peraequε habuisset probationem, atque de Polygonis. PROBLEMA G PROPOSITIO XX. iry, campano I 8.
Super data linea, datae Saperficiei rectilineae simile superficiem similiteri positam describere.
Sit data linea A a , data vero S 'perficies in praesens Pentagona, e D E FG. Volo super A B constituere Superficiem ipsi e D E F G smilem & similiter posiram. Resellio datam Superficiem in
299쪽
a o E L E M E N T. E V C L 1 D i sTriangula, ductis lineis D F & D G. Tum super puncto A, constituo angulum B A H , aequalem angulo c. Itidem super puncton, constituo angulum A B H, aequalem angulo C DG : ducta a H, quae concurrat cum A H ad punctum H. Et erit, per trigesimam secundam Primi angulus A Hs qualis angulo C DG : ob id, per quartam huius, latera duorum Triangulorum a C D N H A B , proportionalia. Pono etiam a gulum H a x, aequalem angulo G D F : & angulum B H Κ, angulo D G Fr angulum VerO K B L , angulor ψ E : ac demum angulum B κ L, aequalem ang lo D F Ε. Ac tum erit
completum Pentagonum super linea A B, quale quaerimus. Est enim in Triangula aequalia numero & x- quiangula diuisum ut Pentagonu c D E p G. Quare eidem similai Q,d erat faciendum.
V T autem hoc loco obiter explicemus quid similiter positum dicatur in Superficiebus: id est, si occurrat Superncies, cujusmodi est hoc loco Pentagonum C D E F o , cui super linea A a sit constituenda Superficies similis & similiter descripta , ut attendamus an ipsa a s comparetur lateri D C an lateri D E , an breuiter cuipiam laterum Figurae oblatae.: eamque Itaneam comparationi accommodemus. Posset enim fieri angulus a A H aequalis angulo e D E , arque eo instituto perfici Figura : quae ut similis euaderer, non tamen similiter es et destriapta. Quod laris mani fistum est, quum Figura quae Proponiatur , non est ae lualium laterum. THEOREM A u, PROPOSITIO XXI. campano ΣΟ. Τα-smis, in sinις
Quae eidem rectilineo sent si nulla, & inter se senesimilia.
i Sint duo Rectilineat, Re de OE ν: sit. utrumque illorum simile Triangulo G H κ: vi sit Aa ad A c ,& Da ad DF, fices a cti 2 Fadux :--Q. utriusque proportionalibus lateribss
300쪽
sint angulis Trianguli G Η κ. Dico ambo esse similia. Nam , per undecimam Quinti. erit A B ad Ac &D E ad D F ut ac ad BF: idq;, per quintam hujus erunt anguli sub quihu, latera proportionalia subtenduntur. aequales. Ambo igitur aequiangula: Quare, ὲ definitione Similium Superficierum, inter se similia: Quod fuit demonstrandum. Hoc Theorema per se fuit manifestum, velut animi Notio. Nam, ut antea docuimus Similitudo Superficierum est ae
Si quatuor lineae fuerint proportionales: erunt &ab eis Rectilinea similia similiteil posita, proportionalia: Et si ab eis Rectilinea similia similiteri posita,' fuerint proportionalia: erunt & ipsae proportionales.
Sint quatuor lineae proportionales , AB, CD, EF,&GHeri A Bad c o, sic E r ad G H: simq; ab ipsis A B & C D, similia simia κ. litcri; descripta Rectilinea, quae sint Triangula, A Ex &CDLr Abώ--μ A, ---ε F dc G H. similia simili-- s rq defclipta, Parallelogramma
e r a M , Parallelogrammum M T ad Parallelogrammum N H.
Ponatur ad ipsis A a & C D , per docimam hujus , tertia proportionalis o: ad ipsas quoque E F & G H, tertia proportioiialis νι E quoniam ut A B ad C D , sic E F ad C H : sed & ut c D ad O,sie G H ad p: ex aequali igitur, per vigesinia ecundam Quin-