장음표시 사용
121쪽
Cor. I. plures fractiones habeant numer o tores, qui eodem modo suos denominatores contineant, aut eodem modo in suis denominatoribus contineantur, quot ex divisione num ratorum per suos respectivos denominatores erunt aequale des a Dadeoque fractiones ipsae erunt aequales. Si vero numerator unius pluries contineat suum denominatorem, quam numeram alterim, quotus pluries unitatem continebit in primo casu, quam in secundo def. a Ladeoque erit maior. n. 8 Pro. igitur ipsi fractio in primo casu erit maior; si vero numerator unius pluries contineatur in suo denominatore, quam numerator alterius in suo, ille minorem denominatoris partem continebit, quam iste Cn. 8 Prol. adeoque Jch a defa3.)numerator secundus quodammodo continet pluries denominatorem suum, quam primus in per dem: fractio semida maioris erit valoris, quam
,4 numerator a m , etiam denominator Dracsib cum numeratores debeant in suis denom, natoribus aequaliter contineri ex dem etiam mmeratores erunt aequale o. si a et , etiam h et d. o. cit in nempe si fractio fractioni aequatur,in numerator unius aequatur numeratori alterius, etiam denominatores erunt aequales, s in eadem hyp aequantur denominatores, etiam iuueratores erunt aequales, si unius numerator sit His major,
122쪽
ea minor est, quae majorem habet denominatorem.& si habeant eundem denominatorem, ea maior est, quae maiorem habet numeratorem .sic
Cor. Qi diviis aequatur dividendo, quotus eis. 3. U. s. si divide
do minor est, quotus est unitate maior, seu unitatem pluries, quam semel continet, si maior sit, quotus integram unitatem ne semel quidem continet, sed aliquam tantum ipsius partem def. s. igitur, si in fractione denominator aequatur numeratori, stactio aequivalet uni integro, si sit numeratore minor, fractio est uno integro maior, si sit maior, fractio est uno integro minor,is in primo, ac secundo casu fractio est spuria, vera est in tertio casu
Q I aequatur uni parti tertiae unius, ut constabit inserius.
INtegra, quibus aequivalet fractio,
A sunt fractionis valor, adeoque ex stactione spuria integra eruuntur , si numerator per denominatorem dividatur. Quodsi in divisio. se residuum aliquod supersit, indicio id erit, int gra inventa non esse adaequatum valorem, sed ipsis adijciendam esse fractionem, cuius numerators illud residuum, denominator autem ipse divissor, seu denominator primae fractionis spuriae s prob.
123쪽
118 DE OPERATIONIBUs Cori dividendus sit, divisor M, erit
numerus dexponit tum multiplicitatem N super M. tum submultiplicitatem, relate ad , Qtum multiplicitatem O supero, tum respectus su multiplicitatem tuor. a. def. , J Igitur in fra
ctionibus Q adhuc idem erit exponens
submultiplicitatis numeratoris respectu denominatoris, adeoque Wipsa aequales erunt secor. I. IDR a1 F, Ractiones diversorum denominax torum sunt numeri heterogenei. Dem. Enominator exponit nomen par L tium, quas numerat numerator, o. seu quae in numeratore dicuntur unum . Odef. r. Si ergo fractiones diversis gaudeant den minatoribus, diversae etiam, & diversi nominis
sunt partes , quae in numeratoribus dicuntur unum,in pars una exposta per unam fractionem non potest dici unum respectu unius earum, Quae ab altera exponuntur n. 3. Prol. adeoque ii terogeneae suntinum.cit. sed fractiones sunt harum partium numeri cor. I. th. o. ergo fractiones diversorum denominatorum sunt numeri eterogenei q. e. d.
Th eta Ractiones, qua exponunt a
λ es tuorum heterogeneorum sunt numeri Braerogenei.
Dem negas, sint homogenei, igitur adio te per eas fractiones numeratae sunt unitates homogeneae, ita ut par P totius Tisos
124쪽
st dici unum respectu partis p. totius t n. 3. Prol. Sicuti ergo totuino exurgit ex repetitione unit, iis P Cn. o. P=M. in ita exurget etiam ex rep tione unitatis . Jam denominator est numerus, qui exponit quoties pars in toto contineatur ib. o. Si ergo hae partes eodem nomine gaudeant, totum continebit toties partem , quinties totum T continet partem , vel ipsam ;
ex demo si diverso, tota , Qt diverso modo continebunt partem p adeoque in primo casta aequalia erunt, inaequalia in secundo n. o. prol. sed quae aequalia, vel ii qualia sunt, homogenea sunt Cn. . prol. igitur tota erunt homogenea, quod est contra b p.
signant res diversas, vel quia remeandem vivebo modo signant. Si tuum unum sit pondus, alterum extensio, sunt eterogenea nummo sensu futum unum sit menjura Romana, alterum Parisina, dicuntur heterogenea in secundo sensu. Fractiones eterogenea propterea quod reseramur ad rota heterogenea in primo sensu, ad homogeneas reduci nulio pacto possum rerum enim essentia sunt immutabile ι sed relata ad tota b rerogenea in altero sensu, ad homogeneas reduci possunt . uoniam enim tota, ut ut eterogenea, rem eamdem gnant diverso modo, seu diversimode rei eiusdem quantitatem exponunt si sabiliatur aliqua eiusdem rei minima portio, qua toti utrique opplicetur, se utrumque numeret, utrumque X-primetur aemeris ad eamdem unitatem relatis sequour ingemis. Sic pes Pari us,' H manser
125쪽
manus sunt tota, quorum unum non potest diei -um respectu alterius, ct hoc sensu adhuc sunt heterogenea, ct fractiones s , quarum prima ad Parianum, altera ad Romanum reseratur, adhuc heterogenea sunt, sed si inea prima vessecunda e accipiatur pro unitate ιν utrique pedi applicetur, c mensura utriusque exponatur numero ad ipsam lineam relato, evadent rota homogenea, ct eterogeneae Aa fractiones, si ita misi centur, ut ad eandem lineam, ad quam feruntur tota, cse me reserantur, homogenea sent. uvenit etiam, praesertim in subdivisionibus mmerorum, mensurarum, ut una, eadem res habea-rur pro toto, o parte. Sic asses respectu ultorum considerantur ut partes, respectu terunsiorum con- erantur, ut tota , unde etiam prodeunt alia heu genea fractiones, quarum via , qua oriuntur ex immediata divisione primi totius , duuntur simplices, qua vero oriuntur ex divisione mediata partium primi totius dicuntur fractiones fractim num quarum quidem duplex es genus Vel enim fractis fractionis refertur ad unam partem earum, qua a denominatore fractionis superioris exponum rur, tamquam ad totum vel refertur ad totam fractionem superiorem. Sic, - - - sints
mones, quarum prima sit simplex, ct altera sit fractio fractionis, ve intelliguntur esse nona
partes unius eptima, vel trium sepιimarum. AL-rte in primo sensu fractionem fractionis congrue poni
126쪽
paui post simplicem, in secundo ore ipsam. Sic si dua viui unius septima scrιbituri si sint trium septimarum , scribitur substituto Deo signi additionis Egno utinplicationis, cuius οἱ ratio infra manifesta eri . ex quo etiam diverso modo enuntiantur . O . . . - Ieguntur tres septimae, plus duae nonaeinb
us septimae, M Ieguntur duae nonae trium septimarum. Agedum ergo, quoniam additis, se subtractio, non nisi numeri dati sint homogenei fior gen an I J fractiones eterogemas, propterea quod reseruistur ad diversa tota , eri eamus ad ota eadem inde eterogeneas ratione diversi denominatoris ad eumdem , ut sic ad ope rationes suscipis a praeparentur.
Prob. I x. LPMinoem fractionis ac Nicen
Resol. 3. fractio actionis fuerit sub D
. V o no --, seu primum sensum in sch. prae. descriptum praeseserat, duc denom, natorem simplicis in denominatorem fractionis fractionis .factum erit denominator novae sea, cti is simplicis ejusdem valoris cum fractione, numerator vero ille ipse, quem sta
127쪽
valent -- unius integri . Quod fractiones huiusmodi plures fuerint, ita ut quaelibet posterior referatur ad anteriorem 'uti fractio fractionis ad simplicem actionem, tum earum quaelibet reducetur in simplicem, si eius denominator ducatur in denominatores omnium antecedentium, & factum num ratori, quem antea habebat, subscribatur. e. r.
Fractiones actionum in secundo sensu ante signum nempe multiplicationis positae, redincuntur ad simplices, ducendo in se invicem ni meratores, ac denominatores,is factum ex hi
Ita omnes aliquotas, in quas intum primo dividitur, i J denominatoris cundae exponit omnes aliquotas, in quas dividitur secundo quaelibet ex aliquotis primis Psis praeci ib. eis in jam vero, si tot aliquot secundar, quot continet una aliquot prima, toties sumam tur, quot sunt aliquota prima Ch. 4 si ducam με in se umis amminatores ex V a . his
128쪽
habebitur numerus omnium aliquotarum secundarum, quas continet totum seu tactum ex deno. minatoribus expone omnes aliquota totius &non amplius a iquota aliquora . Fractio igitur
huiusmodi facto denominata erit simplex. sch. prac in haec ut plenius intelligantur , peculiari exemplo applicemus. Si fractio fractionis totum continet octo octavas, quaelibet
octava continet quatuor quartas unius octavae hinc totum continet octies quatuor quartas unius octavae, seu triginta duas quartas unius octavae. Cum enim numerus omnium aliquotarum sit denominator partium, a denominabit partem quartam partis octavae.
Fractio fractionis evadit fractio simplex, si
loco denominatoris ipsius substituatur factum ex denominatore, quo primo gaudebat , in denom, natorem fractionis simplicis is dem D. Quodsi tactiones fractionum plures fuerint ad simplices reducendae, actio fractionis secunda evadet smpliciter fractio fractionis, si prima evadat inplex, ipsa secunda evadet simplex, si eius
denominator ducatur in denominatorem primae ad simplicem reductae. Sed denominator primae ad simplcem reductae est factum ex denominatore primae fractionis fractionis in denominatorem
fractionis simplicis ex dem ergo fractio se,ctionis secunda reducta ad simplicem fractionem habet pro denominatore lactum ex denominatore, quo gaudebat, in denominatores primae tracti
129쪽
fractionis fractionis, fractionis simplicis simili modo res ostenditur, si aliae iuerint. Ut haec demonstratio nitidior fiat, fractio simplex notetur Is fractio stactionis notetur f, secunda 1 ff, tertia II V. Demonstratio ita exponetur. Ut ffevadat is debet duci denominator iplius 1 in denominatorem s. Evadent f in f s, ipsa 1 ffconsideratur ad instar quae reducitur in f hs eius denominator ducatur in denominatori mst reductae ad Is Sed denominator V reductae aes s. est factum ex denominatores V in deno minatorem sci ergo reducta a s habet
pro denominatore tactum ex denominatore I fi denominatorem I in denominatorem s. Ad valorem quod attinet, dum loco dcnominatoris substituitur factum ex denominatores in denominatorem fs, ex dem nil aljud essicitur, quam ut partes denominatae per relationem a s denominentur relate ad intum T. Cum idem numerus aliquotarum Drundem . . ut ut diversimode denominatarum in diversis relationibus , habeat eundem semper valorem num. . res vel e in prol. &huiusmodi numerus si numerator ipsius V, 3Κs. patet in reductione salvo valore plum esse
Quodsis sumaturin secundo sensu,&numerator simplicis sit , pro singulis unitatibus ipsus in reductione V ad fs ponendus erit nume rator ipsius qui sitis D f. r. sed toties n. quoties x continet , est x et, def. ergo in reductione numerator esse debebit x n. lor. I.
130쪽
Cor. I. Um pro numero quocumque sumi possit - . U. s. fractis numeri, erit respectu fractio fit,
ctionis, quae reducta ad simplicem evadet in igitur fractio numeri evadit fractio unitatis, si numerus ipse ducatur in numeratorem fractionis. Sic Δ aequatur r. 6. th. O.
Cor II in fractiones diversorum toto.
A tum, seu diversis numeris e pretarum, ne etiam ratione eorum heterogeneae sint, in fractiones unitatis converti possunt. v. g. pedis Romani, τ Parisini heterogenea sunt, propterea quod pes ille exponitur numero 32Ο, ct hic numero Sed ex hoc capite herem neae amplius non erunt, si ipsis substituantulciri,&2m reni. quae non erunt amplius fructiones pedum diversorum, sed ejusdem lineae pro unitate affumptae.
m orici. o. ao. porro fiactio ν- considerata ut contenta sub toto actioni contentae sub unitate lorici mo tr. 3. .ao. Igitur, si istuma referre velimus ad totum 1, ipsius valorem,