장음표시 사용
171쪽
maior, vel minor est altera is maior rationa maiore multo maior est minore , minor minore multo minor est maiore.
Ι grotiam eorum, qui in perpendendis
monstrationibus lacumine utuntur, nonnulla
hie ut adjiciam opus est. Alicubi in Art: a , se sequentibus cap. III., in nonnullis c rollar, hujus Articuli supponuntur principia quadam , qua nullibi a nobis demonstrata sunt , quamvis facile a quocumque concedantur quod quidem non parum incit ei proposito meo, quod in prologomem essui Hujusmodi principia sunt inversiones theor Io. D. 3. 4. IS. I9. Noam, veι alteram hi demonstrabo caterarum demonstratio ad exemplum istarum facile a quocumque excogitabitur. I. ergFIι summa aequales prodeunt addendo ipsis a. b idem c. vel aequalia c. d, etsi aquales prodeunt disserentia subtrahendo idem c vel aequalia , is , dico Nam hyp. ac diu v d. Ergo Pth. 3. vel IO. Sicut his inverψο-oiob: Io, inservit th: 3 ct contra, ita mersioniar infervis contra, uti facile videre potest, qui vel levi attentione utatur. - , si ac
172쪽
I 8 Caterae partes horum theorematum juxta ea, qua superius nouimus, Mili ιιιι ngotio iovertuntur. It ad ... pra ens monitum dirigitur, intelligeut licet id hie nou ostendam, qua his demonstrata sunt, nullo modo pendere ab ilis. qua eadem supponunt; ct ad hune locum non in sese tranflata ob defectum principiorum necessariorum ad ea demonstranda inciis Dei , qua uis thodo nostra naturali ex postulantur . uodsi quis roget, urbis ire locis non fuerint exposita, is sciat
ber me agnovisse ac missa fuisse a Upothetis,
propterea quod ipsis exciderit, aut nescio quomodo evanuerit pagina , in qua hae habebanturi Def. II. Ie ponens est , antecedens aequatur o consequenti,4 ratio dicitur aquali ratis in exponens est major , antecedens est etiam
major consequente, & ratio dicitur majoris inae qualitatis, si exponens est x minor, antecedens est etiam consequente minor,is ratio dicitur mino-ris inaequalitatis. Si exponens est numerus attinnalis, ratio dicitur rationalis, si irrationalis, ratio etiam est irrationalis, si exponens partim ration lis est, partim irrationalis, ratio est mixta Ratio porro rationalis tot in species subdjviditur, quos species . sub se continet exponens rationalis Bitionalis integer exponit multiplicstatem, fractio submultiplicitatem, proinde exponens integer multiplae, submultipla, fractus respondet. Rationalis mixtus constans ex I, fractione, cuius nume-
esto, respondet superparticulari Ich defo3. Ratio
173쪽
Ratio igitur tali exponente gaudens dicetur super particularis . Quodsi pergas per reliquas partes seb. it. alias rationum rationalium species intelliges.
Def. 22 dςnique exponens sit numerus in se
compositus, ratio dicitur composita, ex iis rationibus, quarum exponentes in se ducti ianponunt illius exponentem. Sic quoniam expinnens rationis a solvi potest in factores , , Vel a , 6, ratio illa composita est ex tripla is quadrupla, vel ex dupla, sextupla. In specie si exponens componatur ducendo albquem numerum in se ipsum, ratio dicitur mu solicata ejus rationis, quam ille numerus exponit , dc quidem domicata, triplicata, quadruplicata, si ex aens proaucatur ducendo illum numerum bis, ter quater in se ipsum simplex vero respectu duplicatae dicitur subduplicata, sub-rriplicata respectu triplicatae, Win genere submultiplicata respectu multiplicatae. Sic exponens Iorationis solvitur in a. a. a. a adeoque illa est id ruolicata duplae,' ratio dupla v. g. 3a. I 6 est illius subquadruplicata is exponens rationis a I solvitur in a. a. a. a proinde illa ratio est quadruplicata rationis a I. Discri- me ipter rationem multiplam , submultiplam, multiplicatam, ac submultiplicatam , facile agnoscetis praesertim ad ea , quae in V, α monuimus, attendentes. Si denique exponens sit sectum ex ejus radice secunda in ipsum , ratio di
citur sesquiplicata ' hujus subduplicata suo qui-
174쪽
.des. o. quorum factum est in prob. Io.)Igitur ratio ace: bdf, quam habet factum ex
antecedentibus aliquot rationum ad tactum ex earundem consequcntibus est ratio ex isdem composita.
Cor. a. T quoniam huiusmodi fractiones v rri sunt exponentes
respectivarum rationum simplicium azb, c d ,e:Lω exponit rationem ex isdem compositam, exponens igitur rationis compositae Muatur iacto ex exponentibus rationum simplicium. Cor rationibus aequalibus exponens
a. exponens rationis duplicatae est factum ex exponent simplicis in se ipsum, seu ef 6. secunda ipsius potentia , exponens triplicatae te tia potentia, sic deinceps. Porro ejusdem, vel aequalium iumerorum potentiae sunt aequales; adeoque rationes ejusdem, vel aequalium duplicatae, triplicataeinc sunt inter se aequales. th. I 8.3
175쪽
cg .dhm compositae ex rationibus e: d, g b, H mi; gitur rationes compostae ex totidem similibus habcnt aequales exponentes, adeoque inter se aequales sunt. des. Q. Cor in Cant quantitates quotcumque des e. Wrationes , quas inter se dicunt omnes a b b c c d c ratio ex his omnibus composita erit cor. I. f. bcae fgma g eor.I. des 32. In serie ergo quotlibet quantitatum prima est ad ultimam in ratione composita ex rationibus omnium.
Cor 6 Uodsi hae quantitates constituant' continuam proportionem, ita ut sit a b αα : e: f&α quoniam ratio a b me est composita ex ration, bus a b Qx e seu duplicata ipsius a b emque cor. I. de . 3 o. prima erit ad tertiam in ratione duplicata primae ad secundam. Similiter ratio abe iacerit triplicata ipsus a b utide cum abe: bc π a d cor. s. . o.ὶ erit prima ad quartam in ratione triplicata primae ad secundam c& eodem pacto videtur primam fore ad quintam in ratione quadruplicata , ad sextam in quintuplicata cc ratione primae ad secum
Cor Uemadmodum a re est ratio qua-
176쪽
ad aliam quotcumque locis ab ipsi distantem, ut ad aliam a quidistantem. Sunt ergo in serie continua quantitatum eandem rationem habentium quantitates arauidistantes in eadem ratione. Cor. 8. Oniam secunda , tertia , quana .c c. potentia prima ad secundam, tertiam, quartaminc. potentiam secundae est respective in duplicata, triplicata, quadruplicata primae ad secundam cor. I. defcio. erit cor. 6. prima ad tertiam, ut quadratum primae ad quadra-
ri ac d anteeedens per aliquid multiplicetur, o vel iυidatur, per hoc ipsum multiplicatur ve dividitur exponens rationis, si per. aliquid multiplicetur consequens, per hoc ipsum, viditur, si dividatur consequens, per hoc imum
multiplicatur idem rationis exponens.
nens est hujus fractionis valor cor. 4. V. p. sed hujusmodi valor multiplicatur per integrum quodlibetis ducendo ipsum in illius numeratoinetem dividitur ducendo in denominatorem cor. r. a. orci prob. Is ergo si antecedens rationis multiplicetur per aliquid, per hoc etiam multiplic tur, si multiplicetur per aliquid consequens, per hoc dividitur exponens rationis similiter si antecedens
177쪽
tu consequens b eadem evadet in raob eandem rationem Perinde est igitur dividere antecedens, ac multiplicare consequens. Ergo si antecedens dividitur per , per cetiam dividitur exponens ex dem in cor si consequens dividitur per , per u multiplicatur exponens ex dem in cor a I . . . . .
Ch Ati qualibet est ad quamlibet in mP ut Gione eomposita ex directa antecedentium est inversa consequentium.
ad bis composta ex directa antecedentium, Min- versa consequentium est eadem cum ratione quam habet cor. . V. 28. ratio a ad rationem c d
o tu prima inversa b a , ratio composita ex directa antecedentium, Winversa consequentium erit duplicata antecedentis ad consequens cor. I. de 3 Myomnis itaque ratio est ad se ipsam inveri nimia ratione duplicaeta antecedentis ad consequens.
Cor. 2. Iim exponens rationis umida x tae si secunda dignitas exponen- . r. iis, is rationis, quam habet
178쪽
habet ratio quaelibet ad se ipsam inretiam, est quadratum exponentis rationis simplicis. Est verό antecedens ad consequens, ut exponens ad I. Er-r omnis ratio est ad se ipsam inversam, uti qua ratum sui exponentis ad . . V
tar a. Mi secunda fuerit a e habens idem
antecedens cum prima , ratio illa composita ex directa antecedentium, Winversa consequentium erit ais: a b ra cor. s. des 29. adeoque prima ratio erit ad secundam in ra. tione inversa consequentium.
ciris I secunda sit habens idem
' ' o consequens cum prima ratio illa composita erit a b eor. I. de 3I. απώ ς cor. s. des. o. in stilicet rationes, quae eodem consequente gaudent, sunt in ratione directa aintecedentium.
De Proportione esu proprietatibus , ct in is in ipsi argumentandi modis.' Dentitas, seu similitudo duarum ' a' a rationum proportio dicitur, quae, si eonsequens primae rationis sit idem cum antecedente secundae, appellatur continua si minus,
cir ca Mer sectum, factores, mx et dividendum, divi rem, quorum
dici ac demum inter antecedens con Sequens, exponentem rationis QI; proportio intercedit
179쪽
Cor. 2. TN omni proportione, vel anteceden- tia consequentium, e conseque tia antecedentium sunt partes similes cor. 1 f. o.
Cor. ., datis duabus quantitatibus oritur L proportio, si per eandem tertiam, vel per aequales ambae multiplicentur, vel dividantur; facta enim, vel quot eandem, a quantitates ipsae, rationem habent cor. 6. defcio. Cor. n. Λ Liae adhuc bene multae eruuntur L proportiones secor. 3. 4 6. O. Jquas hic non recente , protereaquod clarissimae sunt, sua sponte fluunt. Cor. quantitates proportionales nesa, b, c, d, proporti exponetur Dponendo rationes a ad b c add, c earum aequalitatem. Porro ratio a a b exponitur per abb& ratio e ad diser r. . def. s. J ipsa autem aequalitas per et Prol. gnum ergo derivativum proportionis quatuor quantitatumo, esto: m e d.
σοnsequens secunda, quotin facto mediorum D et consequeniis prima in antecedens secundae; μntra. iactum a d duarum quantitarum aqua- rursum b c aliarum duarum factores , ct cfunt termini medii proportionis, extremi sunt
a. d, vel hi sunt medii se illi ex remi.
180쪽
signim substituatur Q, ultima eonclusio erit arabis, adeoque si fuerit a b d, erit etiam a I seu factum extremorum erit majus. vel minus secto mediorum. Similiter, si in secum da parte , exceptis aequationibus eu α ' αν - , loco signi et substituat G, ea-