장음표시 사용
41쪽
Dincia I Iradus, quo quantitas una aliam VI continet, dicitur multiplicitas;
modus autem, quo quantitas una in alia continetur, submultiplicitas. Cor 1. Qi quantitas, quae in alia continetur, o ad instat unitatis sumatur num. . Pres. multiplicitas exponetur per numerum integrum , in quo unitas numerans toties repetatur, quoties dicta quantitas in alia continetur def. II in Sic si longitudo hujus Scholae bis continet latitudinem , binarius bis unitatem continens longitud, ni super latitudinem multiplicitatem exprimet. r. a Q vero quantitas continens unitatiso instar consideretur, m. . l. Jmo dus, quo quantitas in quantitate continetur, per numerum tractum exponetur fissi. in .
Deficia Umerus, quo multiplicitas ipsius super B determinatur , dicitur exponens multiplicitatis A super B is submultiplicitatis B respectu A
Sch. CV mltiplicitatem A super B exponat b, naris , A duplum iternarius, triplumst quaternarius, quadrupultiminc dicitur, B spective subduplum , iubtriplum , subquadruplum dic. Imo cum simplum quod es minus , quale sit parti multipli, quod es majus, i. 8 Prol. y pium respectu multipli vocari etiam solet pars ,
42쪽
midia, tertia , quarta, in θα si dictus exponens fit binarius, iernarius, quaternarius, quina rius qiuini multiplum ita contineat simplum a quoties, ut tamen supersit in illo pars, qua sim pium integrum non amplius contineat, sί--θ- multima sit , multiplicitas f cor. i. o. defII J exponetur per numerum ex integro, iactione compositum , hoc es per numerum mixtum. Fx quo quatuor multiplicitatis species numeris mixtis exponuntur, ut apparet ex enumeratione ea suum, quam hic subdo. I. Aut multiplum continet simplum semel, or unam praeterea ipsius partem aliquotam, a. aut semel se plures ipsius partes aliquota uera aut pluries, re unam. aut denique
pluries, ct plures partes aliquotas Multiplum in I. casu dicitur superparticulare, in Deci sesquialterum , sesquitertium , sesquiquartum dic. st parsilia fit simpli dimidia , tertia, quarta Orc. in . multiplum superparticulare, se in specie duplum- sequialterum, quadruplum sesquisextum c. si rem tineat is, quater e , se pars illa simpli si s
eundi ve sexta c. in a. dicitur superpartiens, quidem secundas, tertias, quartas c. si partes in sint secunda, tertia, quarta sec., superbipartiens via tripartiens, vel quadripartiens , si pa te illae fuerint dua, tres, quatuor i demum casu dicitur multiplum superpartiens in specie triplum supertripartiens quartas, fi ter contineat simia plum, scires ejus partes quartas c. a uinarius respectu quaternarii est superparticulare , quia continet semel ipsum se unam praeterea ejus aliquo
43쪽
quiquartum respectu autem ternarii est suprenditiens , quia ipsum semel continet, prat rea ejusdem aliquota , qua cum sint numero dua, quacitate tertiae , dicetur superbi-partiens tertias Novenarius respectu quaternarii est multiplum superparticulare, se quidem duplum sesquiquartum, quia his quaternarium, O unam insuper quartam ejus partem continet Denarius respectu ejusdem multiplum superpartiens. qvidem duplum superbipartiens quartas , quia bis continet quatuor, duas ejus fartes quartas. In omnibus his casibus motum gaudet iisdem nominibus, quibus multiplum, praemis tamen particula sub . Haec fuse prosequutus sum ingratiam eorum , qui Musica Theoretica operam msuri sunt. His nominibus exponuntur divisiones,
nochordi, quibus sua respondent consenantia, et diffonantia. Sic divisimi via correspondet consenam ria, quam octavam dicunt, sesquialtera ea , quam dicunt quintam c.
Def. Id. ι Uoniam pars aliquot dicitur
' etiam mensura num 8. Prol. 3Quantitates, quarum una est aliquot alterius, vel quae communi aliquot gaudent, dicuntur commemsurabiles, secus incommensurabiles. Dati huiusmodi uuantitates videbimus in Geometria.
Sch. mmensurabilium illa, qua uerius aliquota es, adhuc aliquotam habeat
utrique communem, numerus exprimens primam quantitatem relate ad secundam aliquotam am- quam unitatem, erit etiam commensurabilis numero exprimenti quantitatem secundam in ordine ad uni-
ratem eandem desis. I .Jοῦ Sin minus , prima
44쪽
num respondebit numerus e sola unitas, cui unice commensurabitis erit numerus secundo respondens. Si communis me ura ipsa aliquotam habeat Abi , commensurabilibus communem, tum ipsi mensura, tum quantitatibus commensurabitibus re pondebunt mmeri,quorum Iti, qui commensurabilibus quantitatibus respondent, commensurabiles erunt ei, qui respondet commoni mensura , ct praeterea dicta secunda aliquora tamquam unitati. Si vero communis mensura talem aliquotam non habeat, nullus ejdem num rus respondere Hierit sed sola unitas def. I. cui unice commensurabius erunt numeri quantitatibus commensurabilibus respondentes. I incommen- rabilibus autem neutri, neutriusque parti respondere potest ulla unitas, cui commen serabiles sint numers ipsis ineommensurabilibus respondentes, unde nec inmtegri, nec fracti nec mixti ipsis respondere possunt def. i.). Ut id inlevigatur, debet vi exemplum juxta 'potheses nostras, eique applicari
Def. 1 Umerus unitati tantum comis
mensurabilis ni us in se com serabilis alteri numero in se compositus dicitur. Duo numeri mul commensurabiles tantum n, tali inter se primi dicuntur , commensurabiles alteri numero, vel tales, ut unus si mensura alterius inter se eo inti sunt.
De 16. MI Umerus unitati commensurabi. a lis Rationalis, unitati incomemsurabilis irrationalis dicitur. Sch. MFies fori e numeros irrationales Ita proprie numeras 3ci non posse, eum
45쪽
, DEFINIT IN TOTA ARITH NECESS.
de ratione generica numeri sit continere unitatem. Sed observa in definiιione numeri generatissimanos pro unitate sumere partem quamcumque sve ea aliquata sit, sive aliquanta Guantitates incommensurabiles carent aliquota unitate, sed non aliquanta Latus , diameter quadrati fiunt incommensurabiliaci sed diameter continet latus pro unitate sumptum modo determinato , veluti recta qualibet rectam sui aliquotam determinato continet mari eri latus sumatur pro binario, vel pro quolibet numero , diameter semper determinato modo continet lateris medietatem , ve partem quamcumque lateris pro unitate sumptam. Cum igitur non minus determinatus fit modus continendi unitatem aliquantam , quam aliquotam, o determinationes secundi modi constituant unam numerorum speciem, rationalium scilicet, eodem jure alteram numerorum speciem constituent secundi modi determinationes. 9uodsi numeri irrationales dicuntur in abrius dicuntur in hoc sensu, quod rationales, qu unitatem respiciunt tamquam aliquotam, velut totum, cujus ipsi sunt vel aliquota vel aliquota , eorum valorem nenueant attingere. Longe operosior es, ductis morana, in qua essedat in Ontologia MOL s, irrationalium numerorum ad rationem numeri
genericam ct minus fortasse felix.
46쪽
ARTICULUS I. De characteristica Integrorum
Dec. 17. aracteres primitivos appello eos,
qui numeris simplicibus, seu articulis primis dessignandis destinantur tales vero primitivorum combinationes . quae consequentesqxprimant, dico derivativos. Sch uriculorum divisis prorsus arbitraria I est , Muti arbitrarius es terminus numerandi , post quem initium reassumitur Pinerent quemadmodum post denarium , ita post binarium . ut in Dyadica Arishmetica, post quatern rium , ut in Tetractica, vel pasi alium quemlibet uumerum numerandi initrum reassumi, ex quo rariculi prodirent dives ab iis , qui decadico proprii
I uni Ua numerorum chara Derisua per signa primitiva numerorum simplicium, ordinum articulorum absolui potes.
Demonstratio. Ruculi cujuslibet ordinis
iunt unitates ordinis prI-mi cum adjecta aliqua particula sui ordinis def. I. O. . . s. ac proinde in ipsis unitates se a habent,
47쪽
habent, ut genus,' particula illa. ut differentia: Cum ergo definitio rei completa habeatur, si nus,in differentia exprimantur, cujuslibet ordinis sussicienter definientur articuli omnes, si charactere primitivo exponatur qualis sit articuli unitas , cujus articuli sit unitas ac proinde .per hujusmodi characteres tota numerorum charactetistica abibuetur. 'uod erat demonstrando m.
Theor. et RG articulorum numeris v ni potest. Dem. Rdines articulorum a se invicem
solo gradu differunt, def. . . . . s. s. IO. cum ergo gradus qualitatum sit quanritas is quantitas quaelibet numeris exponi possit cor. . U. I. D, omnes igitur arriculorum differentiae ita numeris exponi possctant , ut ipsi lassicienter agnoscantur, adeoque &c. q. e. d. Sch. C attentio ad modum, quo ordine deso eripsimus, Ufensum vindicat huic propositioni ita enim , in hujusmodi descriptione superiores evadunt , quodammodo crescunt , cutivnitatis additione crescunt numeri. o. hoe etiam obtinet in omni specie Arithmetica.
it licetur in serie , ut ipsam tot nota praecedant quo ordines artieulus ille sub se continet , numero exponente articuli ordinem opus non erit.
Dem. ci enim notae praecedentes numerentusio eo pis dignostetur, quot articuli Dium p cedant 'p. ut si datam notam praecedant tres notae, ea erit articulus continens sub
48쪽
tres primos ordines. Sed hoc ipso sussicienter agnoscitur, cujus ordinis articulum indigite illa nota,ma in dato casu indigitare quartum, addendo scilicet unum numero notarum praecedentium fuch. prac. J. Quare numero exponente ordinem articuli per eam notam indigitati opus non erit. q. e. d.
articulus infimus numeri non Marticulus infimi, seu primi oranis, sed alicuius -- perioris, notam ipsius tot ca ama pracedere hent, quot articuus ilia habensiab se. Dein in numerantur hujusmodi loca vacua. eo ipis numerantur notae, quae illum articulum praecedere debent, Qinde agnoscitur, cujus ordinis sit articulus dati numeri infimus, Th. 3. quare cum in dato numero b p. articuli locis illis occupandis apti non habeantur ra. . ea loca vacua relinquenda sunt . . . Seh. emo hac duo Theoremata mιrum ιυλ modum compendissam magis , atque pliciorem reddunt numerorum characteristicam His enim sublatis tu exponentibus opus esset, quot sunt numeri cu mi articuli Th. a. qui superflui evadent sub his legibus postremis . Caeterum loca vacua impleri solent nota aliqua non significativa,
seu Do nihili, quod etiam punctorum ope feri posset. Theor. M omni specie Arithmetica ,
'.' I numerus componatur ex arti mus interruptis, inter quos scilicet alii mediant , inter notas eorum articulorum tot ioca vacua a Lόnari debent, quo sunt articuli mediantes. Dem. Duo
49쪽
Dem. Uorum interuptorum articulorum s L perior ub se continet alium cum ejus inferioribus, Qtot insuper, quot inter ipsum, Winferiorem mediant f V. . . . . s. ως quare cum tot locis promoveri debeat quilibet articulus, quot sub te inferiores habet articulos N. 3.3 loca, quibus occupandis articuli idonei desunt. vacua destignanda sint N. . Warticulus inferior ante se habeat tot loca, quot articulos habet sub se P . . inter ipsum in superiorem tot m diabunt loca vacua, quot sunt articuli mediantes.
Theor. 6 omni speciae Arithmetiea nota
articulorum ejusdem ordinis ea-dem abiisent locum se contra . ,
Dem. Rriculi ejusdem ordinis totidem ordi- ne continent sub se Gam vero
quemlibet articulum tot loca praecedunt, quot γdines ipse habet sub se o. 3. . . nec ea lex pro ullo articulo dispensatur. Igitur notas articulorum ejusdem ordinis totidem loca praecedunt; unde eundem occupant delerminatum lCcum4.e. I. a. Quot sunt hoc praecedentia, tot praecedunt articulorum ordines, adeoque si totidem loca praecedunt, totidem articulos sub se continent illi, quos indicant notae, quas loca praecedunt. tquirit, qui totidem ordines sub se continent , aniculi sunt ejusdem ordinis F. . . . ergo notἡ eundem occupantes locum indigitant notas ejus-
50쪽
D mi, Est nant articulos eiusdem ordinis a. 'LI p. o. . in quibus icilitat numerandis eadem adiicitur particu post nomina simplicia de V . s. o. . . o. sed ea particula fiat 'it.J indicat quid in eo ordine dicatur unum . igitur
notae occupantes eumdem locum camdem habent imitatem , adeoque , 3. Prol. numeri homo gene sunt. q. e. d.
ri deradiea applicabimus. Ea AEquidem non modo omnium simplicissima est sed se commodis sim . Denarius procul dubio digitorum numerus homines compulit ad reassumendu post decadem numerandi initium , in quo conmis Arithmetica,
Problema merum emissib et confer
unum, a duo, . tria 4 quatuor , . quinque . I , T septem, 8 octo; novem, o nihil crabri vel quae pro destignandis locis vacuis adhi-betur. Notandum ob arabicum fortassi legendi morem notas in numeris distribui procedendo a dextera versus sinistram. His positis. T. Si numerus conscribenditi fuerit simplex. ipsum.destignabit aliqua ex suprascriptis notis. a. Si vero fit compositus, obstrvςtua numerus' smplex, qui pronunciatur ante particulam indigitantem ordinem articuli, isque nota ropria indiscetur , atque ea nota ad sinistram debit prom