Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

61쪽

Solutio.

quantitatem I pro constante capiamus, erit dMVis, ubi cum V sit functio data ipsarum s et x et pro constante habeatur aequatio erit integrabilis, ex euius integratione completa oritur qua aequatione relatio inter ternas variabiles x, set a ita in genere exprimitur , Vt. ex ea a per de

et o definiri, indolesque functionis a assignari possit. Quodsi hinc alteram quoque disserentialis partem qo seu functionem q indagare velimus, ponamus integrale fu , Vbi ν ut contans spectatur, ita capi ut evanescat posito emo, eritque quanti talem denuo disserentiando ut etiam a variabilis

assumaturi

ubi in integrali quantitas a iterum pro constante habetur , hocque integrale ita capi deiat, ut posito a c evanestat. Quo facto cum aequationis inuentae disserentiale sit:

62쪽

pro forma proposita habebimus: unde quantitas q innotescit.

, Coro II. I.

sa. In hoc problemate lacillime definitur, qualis functio quantitas x futura sit binarum reliis quarum et et, eum sit siquidem V per et a detur. Perinde autem est siue a per x et , siue x per ' et a determinetur

Coroll. 2.

s . Cum relatio inter ternas Variabiles x, set a ita sit determinata , ut fiat )zz V functioni datae ipsarum I et et , ob dx zzz v , sumto 3 cm stante , erit x eiusmodi functio ipsarum a et a vi

sit ill) α Ψ, ideoquo Scholion.

ss. In genere autem quaecunque relatio inter ternas variabiles X , I et a proponatur, Vnde unaquaeque per binas reliquas determinari et tanquam earun- dem functio spectari possit; semper erito . 2 π r. Ponamus enim aequatione illam relationem exprimente disserentiata prodire P dx- R da o ;Dissiligod by Corale

63쪽

autem modo erit:

vnde propositum patet, etiamsi relatio inter plures tribus variabiles locum habeat Ceterum hic casus a praecedentibus dissert, quod hic natura functionis e , quatenus ex binis reliquis x I Brmatur, non ev icito exhibeatur , sed per reisutionem demum a quationis inuentae definiri debet, cuius rei aliquopexempla euoluisse iuuabit.

Exemplum t.

ranter

eritque . . . r

quod idem per regulam datam reperitur. Nam ob erit I integrali ita sumto ut eua-G a nestae

64쪽

stat posito xmo; rem vero erit

V v ., I dis a II eadem integrationis lege obstruata. Iline fit quae expressio cum praecedente conuenit, ex co-Πratione enim fit

unde x aequatur Vt ante quantitati Z ma eum functione ipsius a. Hoc tantum notetur, quod adeonisnsum perfectum hic pro fra scribere debuishanus II I

Exemplum a.

65쪽

Per regulam autem datam λ , est I-ν 33-zz in integrali ita sumto , ut euan 'scat posito z o. Iam vero est

hinc

integrali eadem lege sumto. Quocirca colligitur

prorsus ut ante.

Problema 8.

s s. si a ita debeat determinari per binas variabiles le et I , ut inmuta disserentialis ) paequetur functioni cuipiam datae ipsarum x et x, quae sit TV definire in genere indolem functionis aper x et r.

Solutio.

Ponatur da dx--qθ, et eum sit praV . sumatur quantitas constans, eritque da V dx o, quae aequatio duas tantum quantitates variabiles x et x continens , integrabilis reddetur ope cuiusdam multiplicatoris , qui sit - Μ, ita ut rida ΜVdx sit differentiale verum cuiuspiam functionis ipsiarum x et a , quae iunctio sit ras, quantitatem a non i ' voluens. Dissiligod by Corale

66쪽

voluens. Ex quo aequatio nostra integralis erit S s: F , unde indoles iunctionis x quemadmodum per x et ν dc terminatur, innotesciti Differentiemus hanc aequationem sumto praeter x et a etiam avariabili, eriique dS m. Σ-ΜVdxα f .s seuda V dx- 1 f.F ita ut sit

Coroll. I.

so. Multiplicator etiam Μ Brmulam δε o. integrabilem reddens , quantitatem a non continebit, quia in functione data V non inest a. Statim autem hoc multiplicato inurato, valor ipsius colligitur;

Coroll. 2.

6 v. si sormulae disserentialis ΜdΣ-ΜVdx Integrale fuerit S functio ipsarum X et x , pro s Iutione problematis habebimus S .f:I, Vnde patet constantem, quam quis serte ad S adiicere voluerit, iam in functione arbitraria I: γ contineri.

Exemplum I.

6 r. Ouaeratur eiusmodi functis et ipsarum Tet y Posito dem αγ- ρυ . sumto 3 constante erit di- - o , quae aequatio per . multipli

cata Dissiligod by c, O

67쪽

cata fit integrainis. ita ut sit multiplicator M. hincque ilategrale S Iz-IX'έ ergo aequatio nostraiotegralis quaesieta erit unde etham aequabitur mactioni cuicunque ipsius , ita ut stacta XV :I.

Exemplum I.

62. Quaeratur eiusmodi functio Σ binarum varia billam x et y, sit si formula disserentialis nx-α

a. quaeratur eiusmodi functio Σ binarum C . Habilium x et y, οι si formula disserentialis. 3 Ponatur ergo' ---qd' et posito constante quaeratur inimale huius aequationis disse-rol. IIL H rentia-Diuitiam by GOoste

68쪽

rent alis:

quae integrabilis redditur ope euiusdam diuisoris ἰ: qui ob homogeneitatem reperitur scribendo X et ' et loco disserentialium dae et da, ita ut hic diuisor sit:

hincque multiplicator . Quare erits *- η βη - , ideoque unde aequatio, nostra quaesita erit

q - a KStas. να qua cum posito Isit etiam vicissim concludi potest fore Iin: α

Si x ita debeat determinari per binas variabiles x et ', ut Drmula daeerentialis aequetur functioni cuipiam datae omnes tres variabile&x , ν et et implieanti , quae sit V, definire ita genere indolem functionis et per x et a

Solutio

69쪽

tum continet variabiles x et e , litteram autem F insunctione V inuoluens Da itur ergo multiplicator Mhanc aequationem integrabilem reddens, ita ut sit Mda HV dxetzdSunde aequatio integralis relationem inter x, s et a exprimens erit S m f :Fubi S erit functio certa ipsarum x, I ct a, fieri: que potest ut etiam n omnes has tres litteras comprehendat. Conuenit autem hinctioni S per integrationem inuentae . Valorem determinatum tribui, quoniam pars indeterminata in iunctione arbitraria f:ν includitur. Ponamus ergo S ita capi ut evanescat

Quod si hine aequationis disserentialis propostae alteram partem ρο inuenire velimus, dissercntiemus functionem S lamis etiam a variabili sitque dSIT 'ddΣ-M VI H-Qυ of '.' ubi cum sit

erit sumto iterum a constante: quae formula certo erit integrab lis. Capi autem Qeadem lege dctet, qua S sumsimus , ita ut evanescat posuO X a et a c, atque inuenta hac quantitate Q, cum habeamus

70쪽

Haec determinatio isto nititur fundamento,. quod sis suerit eiusmodi functio ipsarum XI et et , quae posito xta a et evanescat, etiam sormula disestrentialis is) eodem casu evanescat.

6s. Reducitur ergo resolutio huius problematis ad integrationem aequationis, disserentialis det. - V dx O , in qua quantitas ut constans spectatur , etiamsi Veontineat omnes tres litteras x , I et z. Dabitur ergo utique multiplicator M , qui hanc aequationem integrabilem reddat, ut sitrida MVdx df, existente S certa quadam fiunctione ipsarum X, F et z.

56. Inuento autem hoc multiplicatore M ih- deque integrali S quaatitas et ita per binas variabi les et dc finietur ,. xt sit S OF ubi f:ν deno , tat iunctionem quamcunque ipsius I siue continuam sue etiam discontinuam , ob cuius naturam integratio pro completa est habenda. .