장음표시 사용
381쪽
SIΜPLICISSIMARVΜ VNICAΜ FORMULAM DIFFERENTIALEM INVOLVENTIUM.
Indolem iunctionis binarum variabilium x s
indagare, si eius quaepiam formula disserentialis tertii gradus evanescat.
Sit a functio illa quaesita, et cum eius sint quatuor formulae dissirentiales tertii gradus Diuili oo by Corale
382쪽
prout quaelibet harum nihilo aequalis statuitur, totidem habemus casus euoluendos.
stante prima integratio praebet ε. tum simili modo secunda integratio dat Vnde tandem fit ubi Γ:s, Δ: F et Σ:a denotant functiones quascunque ipsius di , ita ut ob triplicem integrationem tres functiones arbitrariae in calculum sint ingressaeia ut rei natura postulat. II. Sit , ae primo his integrando per solius x variabilitatem reperitur ut ante :
quandoquidem apices signis iunctionum inscripti hielamper hunc habent significatum ut sit for :set Γ et fdν Δ ζ' Δ'.I. III. Sit s o , et quia hic casus a praecedente non differt, nisi quod binae variabiles X et 1
383쪽
Sit Pὶzzo et M similem permutationem
plicem integrationem ingressae sunt vel ipsius X , vel ipsius I tantum ; omnes tres sunt ipsius ν tantum casu primo , ipsius x vero tantum casu quarto duae vero sunt ipsius y et una ipsius x casu secundo contra autem duae ipsius x et una ipsius a casu tertio
58 I. Porro obseruasse iuvabit, si eiusdem variabilis puta x duae pluresue occurrant iunctiones arbitrariae, unam quidem abQlute poni, alteram per I multiplicari, tertiam vero si adsit per ἰυ seu quod eodem redit per 33 multiplicatam accede e.
382. Perpetuo autem tenendum est has sune iones ita arbitrio nostro relinqui , ut etiam functiones discontinuae seu nulla continuitatis lege contentae non excludantur. Scilicet si libero manus tractu 1 inea quaecunque describatur, applicata respondens a ' scissae x huiusmodi functionem Γ: x reseret. x x a Scho- Diqitiam by GOrale
384쪽
aga. Minus hic immorandum arbitror transis formationi formularum differentialium altioris gradus , dum loco binarum variabilium x et aliae quaecunque in calculum introducuntur , quoniam in genere expressiones nimis fierent complicatae vixque ellum usum habiturae , tum vero imprimis quod methodus has transformationes inueniendi iam supra nas. in satis luculenter est tradita. Casum tantum simpliciorem, quo binae nouae Variabiles t et alaco. x et a introducendae ita accipiuntur, ut sit et u γx--δν 'hie quoque ad formulas disserentiales altiores aceom modabo. Cum igitur viderimus esse
et pro formisir secundi gradus:
385쪽
a serit pro formulis tertii gradus: et pro formulis quarti gradus:
unde simul lex pro altioribus gradibus elucet pro formula scilicet generali hi coefficientes iidem sunt qui oriuntur ex evolutione huius formae α νς ', siquidem termini secundum potestates ipsius C dispo
584. Haud alienum fore arbitror euolutionem istius rurmulae ex principiis aute stabilitis accuratius docere. Sit igitur xx a
386쪽
ubi quidem primo patet esse pro reliquis vero coem cientibus inueniendis, sumtis disserenitalibus Iogarithmorum habebimus:
unde quilibet coessiciens ex praecedentibus ita definiturA- α β
387쪽
as xllis igitur coefficientibus inuentis, si ponatur: et u T VX--δrtransformatio formulae dictrentialis cuiuscunque ita se habebit, ut sit
a 3s. Indolem functionis binarum variabilium x et I investigare, si eius formula differentialis cuiuscunque gradus evanescat.
Ex iis quae de formulis differentialibus tertii gradus nihilo aequatis ottendimus in praecedente problemate satis perspicuum est solutionem huius problematis pro formulis differentialibus quarti gradus ita se habere. I. Si sit erit x zz ac Γ:=- a 'Δ: ν --XΣ -- Θ . II. Si sit erita a 'T --x Δ ν --Σ - Θ: α
388쪽
386. Cum hic quatuor furtistiones arbitrariae occurrant totidem scilicet, quot integrationes institui oportet, in hoc ipὶ criterium integrati mis
58 . Quin etiam vicissim facile ostenditur sormas inuentas aequationi propositae setissecere. Sic
389쪽
, eodemque peruenitur , quocunque ordine disserentiationes vel solam x vel solam 3 variabilem sumendo, instituantur.
388. Hactenus unam formulam disserentialem nihilo esse aequalem assumsimus , calculus autem perinde succedit, si huiusmodi formula iunctioni cuicunque ipsarum X et st aequalis statuatur: quem admodum in sequentibus problematibus sum ostensurus. Hoc tantum inculcandum censeo si V fuerit functio quaecunque binarum variabilium x et I
tum IV dx id denotare integrale , quod obtinetur si sola x pro variabili habeatur , in hac vero Prmula Vo solam a pro variabili haberi: quod idem tenendum est de integrationibus repetitis veluti id V dx, ubi in utraque sola x variabilis assumitur, in hac vero sos V dx, postquam integrale LV dx ex sola ipsius x variabilitate suerit erutum, tum in altera integratione sos V dx solam a variabilem accipiendam esse. Et cum perinde utra integratio prior instituatur , etiam hoc discrimen e modo signandi tolli potest hocque integrale geminatum ita 1 V dxo exhiberi: hincque intelligitur quomodo has fiormulas: H dx'6 seu I Uddo et I -- V dx o interpretari oporteat; hic scilicet signo integrationis f indices suffigimus, prorsus uti signo diistren-'
390쪽
ties intefratio sit repetenda.
289. Singulas has integrationes repetendas ita institui hic assumimus , ut nulla relatio inter binas variabiles x et I in subsidium Vocetur , quae circumstantia eo diligentius est animaduertenda, cum vulgo, ubi talibus integrationibus opus est, calculus prorsus diuersu modo institui debeat. Quodsi enim proposito quopiam corpore geometrico eius 1bliditas seu superficies sit inuestiganda per duplicem integrationem huiusmodi formula I cxo euolui debet, existente V certa iunctione ipsarum x et I ;vbi quidem primo quaeritur integrale IV o spem-ta X ut constante; at absoluta integratione ad te minos integrationi praescriptos respici oportet, dum scilicet altero praescribitur , ut hoc integrale Psso evanescat posito F o , altero vero id eo usque e tendendum est, donec a datae cuipiam functioni ipsius x aequetur. Tum vero postquam hoc int arate IVo isto modo fuerit determinatum , altera demum integratio formulae dVVo suscipitur , in qua quantitas I non amplius inest , dum eius loco certa quaepiam functio ipsius x est substituta, eaque formula iam reuera unicam Variabilem x complectitur. Hic ergo prima integratione absoluta varia