Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

391쪽

. variabilis, minime ut eonstantem spectare licebit. Ex quo patet hunc casum toto coelo esse diuersum ab iis integrationibus repetendis , quas hic contem piamur , ad quem propterea hic eo minus respiciis mus , cum ista peculiaris ratio tantum in formula si V dxo locum habere possit; reliquis vero ubi alterum ditarentiale dx vel dy saepius repetitur , adeo aduersetur. Quam ob causem hinc omnem relationem , quae sorte peracta Vna integratione inter binas variabiles x et I statui posset, merito re

movemus.

Problema Q.

aso. Si formula quaepiam, differentialis tertii altiorisve gradus aequetur iuncti ni cuicunque hinarum variabilium x a . indolem sussistionis Edefinire.

Solutio.

392쪽

ass C A P V T l. simili modo patet si fuerit Bre

393쪽

primo libro usitatum iam per se inuoluit constantem per integrationem ingredientem ita quoque hic functiones arbitrariae per integrationem ingressae iam in formula integrali inuolui sunt censendae , ita ut non sit opus eas eXprimere.

392. sussicit ergo pro aequatione m Vintegrale triplicatum hoc modo dedita Συ V dx', quae forma iam potestate complectitur partes supra adiectas: quod idem de reliquis est tenendum.

as . si ergo in genere haec habeatur aequatio eius integrale statim hoc modo exhibetur ta V dx o quae potestate iam- inuoluit omnes illas iunctiones

arbitrarias numero m--n per totidem integrati es inuectaru

394쪽

as . Hi casus utique sunt simplicissimi, qui

ad hoc caput referendi videntur , pro magis autem complicatis vix certa praecepta tradere licet, cum ista calculi integralis pars vix adhuc coli sit coepta. Interim tamen iam intelligitur , si aequationes magis complicatae ope cuiusdam transformationis ad has simplicissimas reuocare liccat, etiam earum integrationem in promtu esse futuram ; quod quidem negotium hic non copiosius persequendum videtur. Progredior igitur ad casus magis reconditos, eo ueita comparatos, Ut ope aequationum inferiorum ordinum expediri queant, unde quidem insignis methodus satis late patens colligi poterit, qua saepius haud sine successu uti licebit. Neque tamen in haς pertractatione nimis dissusum esse conuenit, sed sussiciet praecipuos sontes adhuc quidem cognitos patefiecisse.

395쪽

INTEGRATIONE AEQV

TIONUM ALTIORUM PER RE-DvcTIONEM AD INFERIORES.

Problema 6 .

assis Ρroposita hae aequati e tertii gradus indolem functionis a inuestiPre.

Solutio.

Fingatur huic aequationi fit - α --μeior primi gradus εἰ προπε et eum hine disserentiando obtineatue

hineque porro euritas ust quaesito satisfieri, dum sit Pana', id quod

396쪽

Pro quolibet ergo valore quaeratur integrale eom Pletum aequationis et tria haec integralia coniuncta praebebunt integrale completum ae quationis propositae. Cum autem in aequationes: θὶ na quantitas ν constans sumatur, erit da Ttana dx seu qI-n x

unde fit Ia nx--lΓν seu arae' P . Tribuantur iam ipsi n terni valores, eritque Pro aequatione proposita: arae' ro e cum autem sit erit iunctionum arbitrariarum formam mutando:

397쪽

a 96. Integrale hoc etiam ita repraesentari potest: .Σ ΗΓ : e Δ, cos. - Y denotante Y functionem quamcunque ipsius I.

Coroll. 2.

39 . Quia tribus integrationibus est opus , et in singulis quantitas a vi constans tractatur ; secundum praecepta libri primi haec aequatio Ezzaari ressiluatur, ,et' loco trium constantium iunctiones quaecusque Ἱpsius ' introducantur ι unde eadem Blutio elicitur.

Problema 6s.

a 98. Proposita hac aequatione cuiuscunque gradus:

via litterae P, Q, R, S, T etc. iunctiones denotant quascunque binarum variabilium x et a , indolem sanctionis a definire.

Cum in omnibus integrationibus instituendis quantitas F perpetuo ut constant spectetur, haec, L III. Z Z aequa- Dissilired by Cooste

398쪽

a 6 a aequatio inter duas tantum variabiles x et a consistere est censenda. Quare per praecepta libri primi haec tractanda erit aequatio:

cuius resolutio si succedat, tantum opus est, ut loco constantium per singulas integrationes inuectarum mnist ones quaecunque ipsius I scribantur; sicque habebitur integrale desideratum, idque completum siquidem hanc aequationem complette integrare li

Coroll. I. ssy. si ergo litterae P, Q, R , s m. sint

mustantes vel sistam variabilem a inuoluant jure- gratio semper succedit, quoniam in primo, libro huiusmodi aequationes in genere integrare docuimus.. Coroll. . I. . , oo. Deinde etiam resolutio laccedis huius aequationis

siue Iitterae A , B , C etc. sint constantes siue sunctiones iplius y lautum.

or. Tum vero etiam si hae sormae non sint aequales nihila, sed functioni cuicunque ipsarum Disit iam by Corale

399쪽

rum X et I aequentur resolutio nihilo minus succedit, Per ea, quae in postremis capitibus libri primi sunt exposita.

oet. Haec etiam muIto latius extendi possunt - ad omnes plane aequationes, in quibus nullae aliae formulae disserentiales praeter has lquae solam x ut variabilem implicant vixurrundiduomodocunque enim illae inmutae cum quantita tibus finitis x, ν et x fuerint complicatae, aequa tio sumper ad librum primum pertinere est censenda; quoniam in omnibus integrationibus lassituendis quantitas perpetuo ut constans tractauar. Coth sectis demum integrationibus dicrimen in hoc consistit , ut loco constantium arbitrariarum functiones arbitrariae ipsius in calculum introducantur. Superfluum seret hic monere, quae de altera variabselium a sunt dicta, etiam de altera x esse imtelligenda.

Problema 66. - l. i

os . Proposita hae aequatione inuestigare indolem iunctionis x. '

Σκ a solutio.

400쪽

Solutio.

Facile patet huic aequationi satisficere hane aequationem simplicem unde fit a statuamus ergo et es υ eritque :hincque quibus valoribus substitutis et diuisa aequatione per habebimus: Quia nunc hic ubique occurrit erit cuius integrale est f F-bx vscribamus ergo ut prodeat OzzP: I-bXὶ Δυ , ideoque integrale quaesitum erit:

quae Diuiliam by Corale