Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

411쪽

quod eum duplici modo euenire queat

postquam has aequationes simpliciores . resoluerimus: praebeat et P

erit pro aequatione proposita ix Ρ -- Q. Met quia tam P quam Q binas functiones arbitrarias inuoluit integrale hoc modo inuentum quatuor eiusmodi suactiones complaeditur, ideoque crit completum.

Ta. solutiones particulares infinitae facile eliciuntur ponendo sieta enim substitutione fieri necesse est ν' lauabaa et μι -- P. Sit ναλ a erit et integrale setisEciens

412쪽

e ατ μ. μ a aut ante, ita ut alia irma integralium particularium sita cos. λ a I - αὶ. Huiusmodi mrmulae infinitae coniunctae integrale completum quasi exhaurire sunt putandae.

I . Eaedem solutiones reperiuntur ponendo generalius καXY, unde fit

utrumque membrum eidem constanti aequari desaei.

Scholion.

et s. Aequatio autem ad quam totum negotiusti reduximus ex earum est numero, quae nullo modo in genere resolui posse videntur, ita ut in solutionibus particularibus acquiescere debamus. Aequatio autem proposita non in mera speculatione est posita, sed quando laminarum elasti-Diuitiguo by Cooste

413쪽

a et elasticarum vibrationes quam minimae in genere investigantur; ad huiusmodi aequationem quarti gradus resoluendam peruenitur, quae etiam causa est quod haec quaestio , non perinde atque cordarum vibrantium in genere adhue resolui potuerit. Simili autem modo sic ile intelligitur hanc aequationem quarti gradus reduci ad hanc geminatam steundi gradus neque dissicile est alios casus a posteriori eruere, ubi huiusmodi reductio ad gradum instriorem lacum

inueniunt.

414쪽

TIONVΜ ΗΟΜΟ GENEARV Μ vBIsINGVLI TERMINI FORMULA sDIFFERENTIALES EIUSDEM GRADUS CONTINENT.

Problema 69.

1xequationis homogeneae secundi gradus '

integralem , seu indolem iunctionis a inuestigare , denotantibus litteris A , B, C quantitates quascunque constantes.

Solutio.

Hanc aequationem voco homogeneam , quia formulis disterentialibus secundi gradus constat, neque praeterea alias quantitates variabiles inuoluit. Ad hanc resoluendam obseruo ei satisfacere huiu modi aequationem homogeneam primi gradus: . hac Diuitigoo by Cooste

415쪽

CAPUT III. 1 9

hac enim duplici modo per x et differentiata

oritur:

Iam illa per A hac vero per b multiplicata tua stim propositam producent si suerit

unde duplex valor pro α resultat, quorum Uterque per aequationem assumtam dabit partem iunctionis quaesitae z. Cum igitur st

416쪽

tum integrale quaesitum erit x x-Γ: I-αx) ubi cum prima pars se iam in binis iunctionibus indefinitis contineri sit censenda ob

a . Pro casu gmae manifestum est integrale etiam hoc modo exprimi posse: αα Γ:ί γ- αχὶμ Δ: 3 - αx quae autem forma ab ilIa non discrepati

I 8. Si Cmo ut sit hinc Diuili eo by Cooste

418쪽

aequales; quando autem hae radices fiunt imaginariae ut sit ααγι--νV-I et g π μ -ννs, tum functiones arbitrariae omni fere Usu destituuntur. Et si enim indoles lanctionum Γ et Δ lineis curuis Vtcunque ductis repraesentatur, ut Γ:υ et Δ: O denotent in iis applicatas abscissae v conuenientes nullo modo patet, quomodo valores

exhiberi debeant, etiamsi imaginaria se mutuo tollant. In quo ingens cernitur distrimen inter functiones continuas et discontinuae, cum in illis sem- Per valores ita expressi

realiter exhiberi queant, id quod si Γ et Δ significent iunctiones discontinuas nullo modo succedit. His igitur casibus solutio generalis hic inuenta ad solas iunctioncs continuas restringenda xidetur, quandoquidem discontinuae applicationi et executioni adversantur. Proble- . Disitirco by Cooste

419쪽

2I. Proposita hac aequatione tertii gradus homogenea Ieius integrala completum inuenire.

Solutio.

Huic quoque aequationi, uti in praecedente problemate , sati flacere aequationem differentia la msimplicem primi gradus, satis luculenter perspkitur, ex quo integrala particulare talam habebit formam x α T : , - - n xl, eolligantur hinc singulae inmutae disserentiales tertii gradus, quae erunt

formam

quae Diuiliam by Corale

420쪽

, quae cum tres iunctiones arbitrarias complectatur, dubium non est, quin ea sit integrale completum. Hoc tantum notetur , si duae radices sint aequales puta Y β, integrale Pre:

sin autem adeo omnes tres fuerint inter se aequales: V tum erit integrale quaesitum: α Γ:ί ν φατὶ Pa: Δ: νεα xl -xxΣ: 'ΦαxJ. Quodsi duae radices fuerint imaginariae, eademerunt tenenda , quae modo ante sunt Obseruata.

a a. Vltimus casus, quo tres radices sunt aequales, etiam inde est manifestus, quod si loco variabilium x et a binae nouae

23. Hinc ergo etiam intelligitur , quomodo in aequationibus homogeneis altioris gradus si aequationes algebraicae inde formatae plures habeant radices aequales, integralia latura sint comparata. Ita Diqilired by Gorale