Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

361쪽

a a Ivltima Nero ita repraesentari potestas G-Frὶ-s G F r)Φr H Frno . Quod si iam prior per H - F s haec vero per -- G Fr) multiplicetur summa fit

sicque habentur duae aequationes simpliciter differentiales ex quibus binas quantitates r et s definiri oportet, quibus cognitis etiam functiones P, Q et Rinnotescunt.

362쪽

unde dae eliminando fit .

cnnis retautio in genere vix suscipienda videtur. Sumtis autem constantibus afo et o To aequatio' posito staIrrs transit int

unde sit

etr α. hine

IS9. Pro eodem cala singulari ponamus, Ut fiat

ita ut sit hincque: β-αX et

363쪽

C A P V T Rubi quidem salua generalitate lami potest

Tandem ergo colligitur PT i , QTo et

s o. Proposita ergo aequatione cuius integrale est O - Γ:ίX IJ Δ: x-λὶ , huius aequationis integrale assignari poterit:

Scholion I.

3 I. Haec pro casu Frax, G o et IIIIo multo facilius atque generalius computari possunt Pro qu0cunque valore quantitatis a , dum sit b o, tum Diuiligod by COOste

364쪽

ex quo prima aequatio hanc induit Brmam Ponamus r - , fiet di LP - ιι dx--adxzz eui particulariter satistacit

statuatur ergo

ae prodit: du sedae audXVa zzzo , quae per multis. et integrata praebet:

et ne

365쪽

indeque

Quantitas R reducitur ad hanc

366쪽

ubi eum termini per a a affecti se destruant, retineantur ii soli qui per a sunt affecti, erit idemia denominatore obseruato: 3βa'x- 8 x β- x'ὶ - .

quae iam lacile ad formam

reducitur sumendo

Schorion I.

a a. Cum euolutio 2Iutionis inuentae sit dinficillima , neque ulla via pateat , quomodo ambae

367쪽

a a I

quantitates, incognitae r et s ex binis aequationibus erutis definiri queant , in scientiae incrementum haud parum iuuabit obseruasse , idem problema, per repetitionem transformatIonis in priirao problem. huius capitis quoque solui posse, neque proinde usu carebit has duas solutiones inter se comparasse. Proposita ergo aequatione Ponamus primo

ac p ex hac aequarione determinetur :F ι -Gp dx-Fppdx GH C - Η dx Izo ac tum ista resultabit aequatio Nunc pro hac aequatione porro transQrmando statuamus simili modo ita ut sit quoque

el quantitate q ex hac aequatione definitu

orietur haec aequatio: Tt di cuius Diqitigod by Corale

368쪽

a aet

Cum hac ergo soliuione conuenire debet ea , quam postremum problema suppeditauit , in quo cum statim posuerimus: erit utique

festo prodeunt tinna. Verum multo minus apparet , si pro r et s isti valores per p et ρ substituantur , tum istas binas aequationes :

ita ut hae constantes C et D ad illa, A et B certam teneant relationem. Interim patet has postremas aequationes multo esse simpliciores, dum prior duas tantum variabiles p et x complectitur , indeque p per x, cuius F, G et Η sunt iunctiones datae,

369쪽

33a determinari debet, qua inuenta quantitatem ρ simili modo ex altera aequatione elici oportet. Verum in ambabus superioribus aequationibus binae variabiles r et s ita inter se sulit permixtae , ut nulla meis thodus eas resoluendi vel adeo ad aequationem inter duas tantum variabiles perueniendi habeatur. Cum igitur cortum sit priores solutu difficillimas ad po-stcriores multo faciliores ope substitutionum assignatarum perduci posse, sine dubio methodus hanc re ductionem efficiendi haud contemnenda subsidia in Analysin esse allatura videtur.

. Scholion

. a a. Cum adeo e sensiis harum duarum stlutionum maxime sit absconditus, casum specialem accuratius perpendi expediet. Sit igitur Frax , Gmo et limo , ac binae priores aequationes inter r et s has induent formas: I. et II. rrs-HAs B posteriores vero istast

T t a quas

370쪽

quas cum illis certum est ita cohaerere ut sit: -r pH q et sta pq. Vt saltem consensum a posteriori agnoscamus, sit