장음표시 사용
441쪽
sunctione quacunque data easdem variabiles, vel duas , vel unicam inuoluente.
43. Quodsi igitur esse debeat o, seup o, functio quae sita erit υ 'Γ: Ieta), et ut fiat ig) o erit Oz T: x et et , tum vero ut fiat in 'o, necesse est sit OzzΓ: x etal.
Quemadmodum in praecedente parte suoctiones arbitrariae unius variabilis per applicitas Curvarum quarumcunque siue regularium siue etiam irregularium repraesentari poterant, ita in hac parte functiones hiirarum variabilium arbitrariae per superficient pro lubitu descriptam repraesentari possunt. Ita si super plano, in quo binae coordinatae X et νmore solito assumuntur , superficies quaeeunque e Pansa concipiatur, tertia coordinata distantiam cuiusvis superficiei puncti ab illo plano defignans , tunctionem quamcunque binarum variabilium x et srepraesentabit. Hocque modo aptissime vera idea huiusmodi functionum constitui videtur , cum ex ea non solum ratio harum functionum regularium sed etiam irregularium perspiciatur.
so. Hic etiam notari eo enit huiusmodi functiones binarum variabilium infinitis diuersis mo-
442쪽
os dis etiam designari posse. Variatis enim in plano memorato binis coordinatis X et I, in binas alias t et v, ut sit i a. x D et u Vx δ', manilastum est functionem binarum variabilium t et u seu Γ: tetu) conuenire cum functione ipsarum X et a seu Γ: a et γ); si enim loco t et u illi valores pro x et F siabstituantur utique prodit lanistio duas tantum variabiles x et 3 inuoluens. Atque multo generalius si t aequetur iunctioni cuipiam datae ipserum x eta, pariterque u huiusmodi alii functioni, tum Γ: tetulfacta substitutione abibit in sulictionem ipsarum x et a ita exprimendam Δ: A et γ); non enim necesse est ut idem functionis character Γ rationem compositionis quasi denotans utrinque sit idem cum hic in genere de functionibus quibuacunque agatur. Quare si in sequentibus forte eiusmodi iunctiones
Γ: ax υ et Ixx et ), vel Tet i Jetc. earum loco semper haec fiorma simplex T: x et sinscribi potest.
Vnde patet vi eiusmodi esse quantitatem, cuius dise
443쪽
binarum Variabilium a et a tantum , tertia X pe nitus exclusa; et quia circa quantitates q et ν nulla conditio praestribitur , recte pronunciamus , IMO quantitatis v accipi posse functionem quamcunque binarum variabilium γ et a seu esse et Σὶ quam eandem solutionem consecratio formulae rio
suggessit. Deinde si esse debeat generalius sA zp'S
denotante S quantitatem quamcunque ex variabilibusat, I , a conflatam , habebimus do S dx--qΟ --r quae aequatio ita resoIuitur. Quaeratur primo im tegrale formulae S dx sola quantitate X ut variabili
hocque ratiocinium , quo isthue peruenimus diligenter Diuitiam by Corale
444쪽
os genter notari meretur, cum etiam in parte prima eximium viam praestare possit. Proposita enim aequatione quia est et erit: Da ad νὶ seu
cuius posterioris membri integrale manifesto est F: a --οὶ hincque quo Vna integratio absoluta est cenχnda. Quare cum sit
445쪽
pro duabus variabilibus t et a hincque
set. Inuestigare indolem iunctionis trium Variabilium x , F , a cuius Ermula quaedam diM-rentialis secundi gradus aequetur datae cuipiam sunctioni S.
Denotet v fiuictionem quaesitam, ela cun ieius sex dentur Qrmulae diuerentiAes lacundi gradus , ponamus primo esse debere et in r. tione Rmel insitata prodit .
quantitas x ut variabilis spectatur , quemadmodum imia supra est inculcatum. Similis autem 6mmno est integratio aequationum
Pro re tuis Drmulis disserentialibus inundi gradus
446쪽
Deinde altera integratione per solam variabilem sinstituta colligitur :
ubi primum obseruo partem primam nullo discrimine ordinis inter binas variabiles x et a habito. ita HS dxo exprimi posse. Deinde quaecunque fuerit J Feta in functio ipsarum I et a , si ea pero multiplicetur ex speetata a vi constante integretur , euidens est denuo iunctionem ipsiarum ν et x prodire, et quia illa nullo modo determinatur, etiam hanc fore inde terminatam ideoque arbitrariam, unde statuere poterimus: να. Is dxo P
sa. Hic obseruo per integrationem Brmulae et αὶ iam sponte Brmulam Δ:ίxeta iovehi ; cum enim ibi sola quantitas a ut variabilis spectetur, loco qvntitatis constantis per integrationem adiiciendae Fnctis quaecunque ipsarum a et zscribi poterit. Coroll.
447쪽
s Qiodsi functio illa data s evanescat;
'Co ro si Ii '' . . 3s, Quia hic duplici opus est integratione, atque etiam duae iunctiones arbitrariae utraqua Binarum variabilium in calculum sunt inuectae; hoc certissimum est criterium: Moe/ integrali inuema
448쪽
C A P V Τ II. Secundum hoc principium ergo si fuerit v et s
qua isma cum illa collata loco ν habemus I'ὶ et loco q et r has krmulas ex quo integrale erit . R)-Sdx--t I et Cum iam porro sit
449쪽
- 43 . Inuestigare indolem iunctionis trium variabilium x ,3 et a , cuius quaedam Brmula disserentialis tertii gradus aequetur datae cui piam qua titati S ex illis variatalibus et constantibus utcunque compositae.
Posita iunctione quaesita', percurramus non tam singulas eius mrminas disserentiales tertii Lindus, quam eas quarum ratio est 'diuersia.
Sit igitur primo Dὶ S, et prima integratio statim dat in I S aT: et,
M seeundo sim res et binae priores integratio
450쪽
quia nunc ut vidimus pro for ' et αὶ scribere
licet: Γ . I et a) per tertiam integrationem inuenimus :ω-I S dx' ον--xΓ : F et x ΦΔ: Feta ΦΣ : xet xl. In his autem duobus casibus omnes Brmulae dict-rentiales tertii gradus, variabilibus permutandis, continentur , sola excepta ultima hac idcirco storsim tractari oportet: Sit igitur 'S et prima antegratione per Mam variabilem ae instituta obtinetur nunc secundo integretur per 2lam variabilem saac reperietur
unde tandem tertia integratio per a dabit
sicque problema perfecte est ressilutum.
ss. Quoniam hic triplici opus erat integratione, integralia inuenta etiam tres iunctiones arbitrarias complectuntur, easque singulas binarum variabilium , quemadmodum natura totUralium completorum postulat.