장음표시 사용
431쪽
a . In calculo disserentiali iam est ostensum , functionum plures variabiles inuoluentium disserentialia inueniri, si unaquaeque variabilium storsim tanquam sola esset variabili1 spectetur, atque omnia differentialia . inde nata in unam summam coniiciantur. Quod si ergo disserentiatio hoc modo instituρtur, singulae istae operationes, deleto tantum dissurentiali, praebebunt inmutas differentiales ,
indicamus: simulque intelligitur, quomodo etiam functionum quatuor pluresue variabiles inuoluentium sormulae differentiales sint inueniendae. C rca sunctiones autem trium variabilium X, a et et eXempla aliquot subiungamus , quibus earum ternas Qrmulas differentiales exhibebimus.
as. Si funino trium variabilium sis
eius formulae disseremiales ita se habebunt. Cum per disserentiationem prodeat dor α dx--βο --γdπmanisestum est Bre: D d d a seque
432쪽
sicque omnes tres formulas disserentiales esse eo flantes.
a S. Si fractio trium uariabilium Detur formulae disserentiales ita se habebunt. Disserentiatione more solito peracta fit: do z'dx Φμχω 'πινε ν x' evnde perspicuum est fore sormulas differentiales r t)αμ. - a';
quae ergo singulae sunt nouae iunctiones omnium trium variab lium X, I, et nisi exponentes λ,μ, νsint vel nihilo vel unitati aequales.
gr. Si funcIis v duas tanIum inuoluat Cariabiles x et y, tertia Z in eius compositionem - Ἀ-grediente , formulae Verentiales ita se habebunt. Quia iunctio O duas tantum variabiles X et Iimplicat, uius differentiale huiusmodi formam in
433쪽
38. Hinc ergo vicissim patet, si merit otum fore O functionem quamcunque binarum Variabilium x eis, quam in posterum ita indicabimus Γ: x,Fὶ denotante Γ: a I iunctionem quamcunque binarum variabilium x et
39. MOX ostendemus, quando functio trium variabilium ex data quadam relatione seu conditione inmularum disserentialium inuestiganda proponitur, qualibet integratione introduci stinctionem qtiamcunque arbitrariam binarum variabilium, atque adeo in hoc consistere criterium, quo haec pars calculi integralis a praeeedentibus distinguitur. Quemadmodum enim , dnm natura functionum Inicae Variabilis ex data differentialium conditione inuestigatur, in quo uniuersus liber primus est occupatus, per quamlibet integrationem quantitas cbnstans' arbitraria in calculum inuehitur, ita in parte praecedente huius iucundi libri vidimus, si functiones binarum variabilium ex data formularum disserentialium relatione inuestigari debeant, tum ad essentiam huius tractationis id pertinere , quod qualibet integrationenin quantitas constans sed adeo functi, Unius varia-hilis proisas arbitraria in calculum introducatur ; etsi enim plerumque hae functiones veluti Γ:ία xΦgγὶ ambas variabiles x et a implicabant, tamen ibi tota
434쪽
quantitas Ti unica spe statur , cuius sun-ctiouem quamcunque illa formula P: ία x--β γ denotat. Nunc igitur, ubi de functionibus trium variabilium agitur probe notandum est, qualibet integratione functionem arbitrariam duarum adeo variabilium in calculum introduci : ex quo simul indolem integrationum, quae circa functiones 'plurium variabilium verantur, colligere licet.
o. Si sit O iunctio quaecunque trium variabilium x, 3 et et eius formulas disserentiales secundi altiorumque graduum exhibere.
Cum eius formulae disserentiales primi gradus sint tres quaelibet instar nouae functionis considerata itori mires suppeditabit formulta dissirentiales, quae cui tom ob
ex quarum denominatoribus intelligitur, quaenam trium quantitatum X, I , et in utraque dictrentiatione pro sola variabili haberi debeat. Simili modo
435쪽
Formularum porro disserentialium quarti gradus numerus est, Is quinti et I etc. secundum numeros triangulares , simulque ex cuiusque forma perspicuum est, quoin O eius valor ex data functione v per repetitam disserentiationem, in qualibet I uicam Va riabilem consideraudo elici . debeat.
I. En ergo omnes formulas differentiales cuiusque gradus, quas ex qualibet iunctione trium variabilium derivare licet per disserentiationem, quae porro ut sunctiones trium variabilium spectari possunt.
4 2. Quemadmodum ergo ex huiusmodi sun- Rione data omnes eius sormulae disserentiales ope calculi disserentialis inueniuntur, ita vicissim ex data quapiam sormula differentiali, vel duarum plurium uexeΙatione quadam ope calculi integralis ip a illa functio unde eae nascuntur , inuestigari debet. SchODiqilired by COOste
436쪽
loci 4 3. In calculo quidem disserentiali paritui refert, utrum fimirio differentianda unam pluresue variabiles inuoluat, cum praecepta differentiandi pro
quovis variabilium numero maneant eadem ψ quam causam etiam calculum disserentialem secundum hanc functionum varietatem in diuersas partes distingui non erat opus. Longe secus autem accidit in calculo integrali , quem secundum hanc functionum varietatem Omnino in partes diuidi necesse est, quippe quae partes tam, ratione propriae indolis quam ratione praeceptorum maxime inter se discrepant. Quemadmodum igitur hanc partem circa iunctiones trium variabilium occupatam tractari conueniat, e Ponendum videtur. Ac primo quidem ii casus commodissime euoluentur , quibus Unius cuiusdam sormulae differentialis valor datur, ex quo indolem functionis quaesitae definiri oporteat, quoniam haec inuestigatio nulla laborat dissicultate. Deinde huiusmodi quaestiones aggrediar, quibus relatio quaepiam inter duas pluresue Prmulas disserentiales proponitur ; ubi quidem plurimum refert, cuiuSnam gradus ea suerint, siquidem ex primo gradu plures
437쪽
. Videri hic posset ad iunctiones trium variabilium definiendas duas adeo conditiones seu relationes inter Brmulas differentiales admitti posse, neque unica praescripta quaestionem esse determinatam. Quodsi enim ponaturdo p dx--q rda, ubi litteras p, q, r vicem gerunt Brmularum di serentialium primi gradus , atque verbi gratia haeduae proponantur conditiones ut sit ρ π p et r pac propterea du p dx- - --da , mani sestum est solutionem dati posse scilicet
erum ad hanc obiectionem respondeo, in hoc exemplo casu euenire, Ut binae conditiones simul consistere possint, altera enim parumper immutata ut manente ρ p esse dineat r a: ideoque do zz p dx-ΡΟ--x da), Perspicuum est, nullum pro p valorem exhiberi Posse, per quem Prmula ditarentialis dXH-dFH xd zmultiplicata integrabilis reddatur , quod unicum exemplum lassicit ad demonstrandum , duabus con-
438쪽
ditionibus praescribendis huiusmodi quaestion rs enadere plusquam determinatas, neque propterea solutio aem admittere nisi certis casibus quibus quasi avera conditio iam in altera inuoluitur. Quocirca semper unica relatio inter formulas differentiales proposito omnino iussicit probIemati determinando , quod ideirco , quia per integrationem functio arbitraria indefinita ingreditur , aeque parum pro in determinato est habendum ac problemata calculi integralis communis quorum solutio constantem arbitrariam intro
439쪽
TRIVM VARIABILIVM EX DATOCvIUSPIAM FORMULAE DIF-' FERENTIALIS VALORE.
s. Dato valoro euiuspiam Drmulae disserentialis primi gradus, inuestigare ipsam iunctionem trium variabilium , ex qua illa Ermula disserentialis nascitur.
sit o iunctio quaesita trium variabilium a. F et et et S earundem iunctio data quaecunque, cui formula disserentialis debeat esse aequalis. Cum igitur sit sE zzS, erit posita sola quantitate Xvaxibili binis reliquis vero a et a vi constantibus spectatis do Sdx idemuo ..i ι
' hi notandum est in integratione 2rmulae s am-ltas quantitates F et a pro constantibus haberi , et E e e a loco Diuiligeo by Corale
440쪽
Ioco Cons. functionem quamcunque ipsarum I ascribi debere, ex quo functio quaesita ita exhiberi poterit: vi S dx -T: F et α)hic scilicet T: reta quantitatem quamcunque ex binis quantitatibus a, et a uua cum constantibus
46. Hie iam abunde intelligitur integratione huiusmodi functionum Ioco constantis introduci funis etionem arbitrariam duarum quantitatum variabilium , atque adeo in hoc characterem harum integrationum esse constituendum.