Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

451쪽

s . si quantitas data s evanescat, integratia haec sequenti modo se habebunt: si merit erit NTI xx Γ: ' et a J XΔ: set et x si fuerit eritv xΓ: s et h)-- Δ: F et Σ - - Σ: x et a si fuerit erit

Scholion.

46o. Eadem integralia etiam altera methodostpra exposita inueniri possunt, superfluumque fbret singulas operationes hic apponere. Aeque parum autem opus erit has inuestigationes ad krmulas dinferentiales alatorum graduum prosequi , cum lex progressionis iunctionum arbitrariarum singulas integralium partes constituentium cum per se tum per ea quae supra sunt exposita, satis sit manifesta. Quare huic capiti, quo una quaedam Ermula vis ferentialis quantitati datae aequari debet , plene est satisfiustum. Antequam autem ulterius progredior duos adhuc casius satis late patentes proponam , quorum remitatio facile ad praecedentes iam tractatas calculi integralis partes reducitur, quam Propterea

452쪽

hie tanquam concessam; assii mere licet, siquidem dissicultates , quae in iis occurrunt, non ad . prae- sἰns institutum fiant reserendae.

Problema II.

6 I. Si in relationem propositam ex qua naturam functionis trium 'variabilium x , et a definiri oportet . aliae formulae disserentiale, non ingrediantur , nisi quae ex unices variabili x oriuntur , quae sunt iunctionem quaesitam inuestigare.

Solutio.

Cum aequatio propositam continens relationem alias Brmulas disterenti alas praeter memoratas non comprel3endat, in ea binae quantitates It et x pro construatibus habentΗr , ideoque et am in singu-I , integrationibus tanquam tales trietari possunt. Hinc aequatio proposita duas tantum variabiles xet . inuoIuere est censenda, et reiectis Ermularum disserentialium vinculis, habebitur aequatio disserentialis ad Iibrum primum referenda in qua , si ad

altiores gradus exsurgat , elementum dae conflans sumtum est putandum. Quodsi err o praeceptorum ibidem traditorum ope haec aequario integrari queat, tum loco constantium per singulas integrationes ingrcssa- Diqiliroes by COOste

453쪽

gressiarum iubstituantur iunctiones arbitrariae binarum variabilium 3 et et , vel tui T; I et a), Δ: ίν et Σ etc. sicque habebitur sollitio completa problematis propositi.

462. Praeter plurimos igitur integrabilitatis castis in libro I exposites, etiam sequentes' aequa tiones dularentiales quamlumuis alti gradus resolutionem admittentr

6s. Vinculis enim abiectis eiusmodi habentur aequationes disseretitiales, quales in extremis capitibus libri I. integrare' docuimus. Tantum Opus est , ut loco constantium per integrationes ingressa rum scribantur tales functiones: Γ: γ et a); Δ: Feta); Σ: 'cta) etc. ut hoc pacto integralia completa Obtineantur. .

Scholion.

6 . Huc etiam referri possunt eiusmodi relationes propositae , in quibus rmulae differentia-Vol. III. G g g les

454쪽

les bina elementa dae et o inuoluentes ita continentur , Ut hoc ubique eundem habeat dimensionum numerum , cuiusmodi sunt

ipsia autem tum quantitas v nusquam occurrat. si enim tum pro priori casu ponatur i ) u , pro posteriori vero , relatio ad casum proin hiematis reuocabitur , alias. sormulas differetitiales non continens praeter et ipsam Brte functionem u. Quare si aequationem per praecepta supra tradita integrare, in eque functionem v definire licuerit, tum restituendo loco u

etiam hinc per praecepta huius capitis ipsa iunctio υdeterminab: tur. Qum ctiam hoc modo resblui pinterunt aequationes huiu, modi tantum Brinulas disserentiales complectentes :

koi devini daed, da dx' da ubi omnia tria elementa dae , O , det occurrunt ψPosito enim tu , tota aequatio alias Br- mulas non continebit praeter

455쪽

619 una cum ipsa iunctione u , sicque ad castim huius problematis erit restrenda ex cuius resolutione si prodierit u α sm 'OGIJ, existente iam S sunctione cognita , inuestigatio ipsius stinctionis O iam nulla amplius Iaborat dissicultate. Datur autem praeterea alius casus ad libri II. partem priorem reducibilis , quem sequenti problemate sum expediturus.

Problema 78.

6 s. si in relationem propositam , ex qua trium variabilium x , I , a iunct onem v definiri oportet, aliae formulae disserentiales non . ingrediuntur , nisi quae eX variabilitate binarum x et ' tantum nascuntur, tertio elemento da penitus excivis, iunctionem O inuestigare.

Quoniam in aequationem resbluendam, qua relatio proposita continetur, quantitas et non vivariabilis ingreditur, quotcunque integrationes fuerint instituendae, in iis ita quantitas a tanquam esset constans tractari debet. Huius ergo aequationis resolutio ad partem praecedentem est reserenda , cumsunctio binarum tantum variabilium x et ex sormularum differentialium relatione data sit inuestiganda; quodsi itaque negotium successerit et integrale suerit inuentum, in eo totidem occurrent

456쪽

a functio aes aroitrariae Unius variabilis certo modo ex x et ' constatae , quot integrationibus fuerit opus sit Γ:t huiusmodi functio , ubi ι per x et γ dari assumitur: ac nunc ut ista solutio ad praesens institutum accommodetur, Vbi quantitas a variabili sannumera ur, loco cuiusque functionis arbitrariae T. t scribatur hic Γ: tetzὶ iunctio scilicet duarum variabilium , sicque babebitur integrale complatum.

66. Si ergo haec proposita suerit aequatio

. . .

46 . Hic stilicet meminisse oportet formam Γ: X a' et α) designare functionem quamcunque Nestrum variabilium , quarit m altera sit 'x -ay, a rem vero 'Σ; nde ipsiam functionem per applicatam ad certam superficiem relatam repraesentare licebit.

457쪽

68. Non sesum autem aequationes in problemate descriptae ad partem praecedentem calculi integralis reducentur, sed etiam innumerabiles aliae , quae facta quadam substitutione ad eam inmam reis vocantur. Veluti si in aequatione proposita aliae formulae disserentiales non occurrant, nisi in quibus omnibus unica dimensio elementi da reperitur, quae sunt:

manisestum est posito aequationem illan in aliam transQrmari, ex qua iam iunctionem vinuestigari oporteat, eamque ad casum in problemate expositum referri. Prare si inde indolas iunctionis u definiri potuerit, ut sit at S, restat ut haec aequatio Κὶ S resoluatur, unde ut ante vidimus, fieπαUS T: x et x Hoc idem tenendum est, si aequalio proposita ope substitutionis

vel et ad casum problematis reduci queat. Quin etiam per se est perspicuum si ope transformationis cuisiscunque, aequatio proposita ad casum problamatis reduci queat; tales autem transmrmationes supra plures exposui, dum vel loco functi mis quaesitae O

458쪽

alia u introducitur ponendo Orasu, Vel ipsae varia- tales x , et in alias p , ρ , r mutantur , quae ad illas certam teneant rationem , quod negotium pro casu duarum variabilium supra fusius explicaui; hocque ita perspicuum est, ut similis reductio ad hunc casum trium variabilium lacile accommodari queat. Insequentibus tamen Erto eiusmodi transrirmationes occurrent; ad alios ergo casus, ubi omnis generis sermulae differentiales occurrunt progredior , viX vltra prima elementa rem producturus.

459쪽

RESOLUTIONE AEQVATIOMUM

DIFFERENTIALIUM PRIMI GRADvs. 'Problema T9.

Si pro fiinctione v trium variabilium x, I, α o

Indolem functionis vi definire.

Solutio.

460쪽

vnde patet quantitatem o aequari sum tioni cuicunque binarum variabilium t et u , ita ut sitv Γ:it et u et restitutis valoribus assumtis i. α Γ τί γα - α-t πι- βαὶ quae ergo est solutio problematis, si inter formulas dictrentiales proponatur haec conditio ut sit cuius itaque aequationis integrale clarius ita exhibetur :

Io. Euidens est hoc integrale etiam ita ex

primi posse

I. Quin etiam affirmare licet, constitutis his tribus formulis,