Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

461쪽

harum formularum; siquidem unaquaeque iam 'per binas reliquas datur, ac propterea v nihilominus iunctioni duarum tantum quantitatum variabilium

aequatur.

Problema So.

a. si posito

indolem huius functionis N inuestigare.

Solutio.

Ex conditione praescripta capiatur valor' quo substituto fit

462쪽

quoniam In genere ex tali aequatione sequitur V α r: X et YJ, ITO nostro casu colligimus et

v m zm: et a. l. si scilicti iunctio quaecunque binarum quantitatum m et E per P seu etiam quod eodem risit per x vel 3' multiplicetur oritur valor idoneus pro functiuae o conditioni praescriptae satisiaciens.

T3. Perspicuum autem est formam n et Ziexprimere eiusmodi iunctionem in qua trus varia-hilas x, I , z ubique constituant nullum dimensi num numerum , ac vicissim omnes huiusmodi sunctiones in Brma illa contineri

. Multiplicatione autem porro sicta per e oritur iunctio homogenea trium Variabilium X, F, cuius dimensionum numerus est mn ι unde solutio nosui problematis ita enunciari potest, ut quantitas quaRDisit jam by Corale

463쪽

2 . quaesita v sit .sunetiq.:homogenea trium variabilium x , F et a dimensionum numero existente m. n.

4 s. Quodsi ergo conditio praescripta sit

quantitas υ erit functio homogenea nullius dimen- sonis trium variabilium X, I et a. i.

Scholion.

τε. simili mota solutio succedidi, si emdl-tio praescripta postulet ut sit .

quae aequatio sequenti forma exhibeatur:

ex qua concludimus integrale primi membri γω - η Iesequari functioni cuicunque binarum quantitatum PIx - α la et Yθ-gla, . r

464쪽

et logarissimorum numeris suinis sese

Ponamus et g α Yαι , Te conditio pra scripta sit

el kIulio reducetur ad hane tormam tQuodsi porro scribamus et siet

ideoque quantitas quaesita π in functis homogenes . in qua tres variabilas X , Y et Z ubique eundem

dimeafionum numerum 'u adimplent.

Problema 8 I.

T. Si posito

existente S iunctione quae quae data variabilium x , I, n inuestigare naturans functionis, quaesitis in Solutio. Disiligoo by Coral

465쪽

. Cum conditio praescripta practeat

isi pars posterior sigaiscat victionem horii enean, trium variabili un3 x , a uulner disensionum

ex quo perspicuum est eundem alorem proditurum fuasse , quantitatibus, x , α inter se permutatis.

466쪽

3o. At si hoc 'casu sit m n, fit V MIα--C m MDα - et primum integralis membrum

id quod satis est manifestum cum horum vaIorum differentia fiat iunctio homogenea n dimensionum , ideoque in altero integralis membro contineatur.

Scholion.

gr. Principium huius solutionis in hoc Iemismate latissime patente continetur, quod si fuerit

467쪽

isi s denotat functionem datam , P et Vero functiones indefinitas, futurum sit

at hic non sufficit indicasse in integratione formulae Sit Z suam quantitatem Z pro variabili haberi, kd insuper notari conuenit binas X et Y tanquam constantes tractati debere. Quare si forte S sit proposita iunctio aliarum trium variabilium X, I, a , ex quibus hae X , Y , Z , quarum ratio hic est habenda , certo modo nascantur , primum loco X ,

I, α istae X , Y et Z introduci debent, ut fiat Siunctio harum X , Y et Z; tum vero demum binis X et Y pro constantibus solaque Z pro variabili sumta integrale I S dZ cst inpiendum. Ita S det in casu problematis pro integrali , quantitates E et F ut constantes sunt spectandae, QIa et pro variabili sumta ex quo in functione S statui oportet xta ta et I ua , Ut S fiat functio ipsarum μι - .. et quarum binae posteriores pro co stantibus sunt habendae. Hoc ergo casu insignis e Tor committeretur , si quis sumta a variabili reliquas x et I ut constantes tractare Voluerit, quoniam ambae x et a etiam variabilem a inuoluere sunt censendae. Quod antem variabilibus permutatis primum integralis membrum idem resultare debeat , ut sit

468쪽

in Utraque enim integratione rationes variabilium pro constantibus sunt habendae, hincque in reductione facta quantitas recte ut constans spectatur.

Problema 8a.

8a. Si posito

Solutio.

Statuatur tDiqitigeo by COOste

469쪽

vi fiat . do p Ldt--qNIdu , et manifestum est quantitatem vi aequari ilabere fiunctioni cui ctinque binarum variabilium ι et u , quas ita quoque describere licet , ut positis formulis tribus integralibus ; et'; pro ι et u sumi oporten disserentias inter binas earum.

Scholion I.

. 83. Solutio etiam successisset, dummodo bfuisset functio ipsarum x et z, et E ipsarum ν et a

tantum ἔ tum enim multiplicatores P ct ad linteirrationem apti quaeri dubiussent ut fieret

vi P : t et u . Permutas dis vero variabilibus x , F et Σ etiam alii calus reloiub las prodeunt Quando autem quantitat s L . Μ , N aliter sunt comparatae, V a nitu patet certa ad solutionem perueniendi , quae certe haud parum abstrusa ridetur, cum pro hoc casu satis simplici ' ,

470쪽

quoniam igitur binae quantitates r et u , quarum senetio qtiaecunque loco D posita coinditioni satisfacit, hoc calu tantopere sunt complicatae generaliter multo minus solutionem expectare licebit

Scholion 2.

8 . Ad plures autem alios casus solutio extendi potcst. Si functiones datae L, M , N ita suerint comparatae, ut alias E, F, G, H reperire liceat, quibus fiat:

tum enim posito

introductae , quantitis υ aequabitur functioni cuicunque binarum variabilium t et u seu eritia , U ir: ι et u ). tum ergo negotium huc redit . ut pro datis iunctionibus L, Μ, N iiii ctiones et G. H inueniantur,q rodqu.dem semper praestari posse videtur, sed haec ipsa' quae. Disit jam by Cooste