장음표시 사용
611쪽
concipiantur, ex supra inuentis ita habebunt: Pro differentialibus secundi ordinis, hae tres inmu-Iae habentur:
lta ut sit . quarum variationes ex praecedente problemate ob δx o et se sunt: simili modo si ad differentialia tertii ordinis ascendamus , hi e quatuor Brmulae Occurrunt: quarum variationes ira expressum iri manikstum est
vnde per se patet, quomodo Variationes formus,rum disserentialium superiorum ordinum sint exprimendaα
as x. Hinc iam manilastum est Bre in genere pro inmuti dimentiali. cuiuscunque ordinis eius
612쪽
cius Variationem , forma s periores omnes continentur.
lsa. Deinde etiam perspicuum est introducendis loco disserentialium primi ordinis litteris , secundi ordinis litteris q. , , tertii ordinis litteris. ν, H, rq , WV , quarti ordinis litteris xj, r. s , ' , otc. speciem diu morialjum tolli quenladmiaum etiam supra huiusmodi litteris speciem differentialium sustulimus. . . , . SCli OHOΠε id si s . Isa. Quoniam binae variabiles at et , prorsusa 'st inuleem non pendent, ita ut altera Adeo 4em valorem retinere queat, dum altora per omnes valores possibiles variatur, euidens huiusmodi iuria nullam differentialem 1et , quippe quae. thyin plane sisniscatum certum esset habitura, in calculo nunquam locum inuenire posse. Contra vero cum quantitas a sit iunctio ipsarum x eti, hae Brmulae A , et reliquae omnes quas sypra sum contemplatus, definitos babent significatus, nequo vllae aliae in calentum ingredi possunt. Deinde qui semper quaestiones hue pertinentes eo reducere Ijcet, ut et tanquam functio binarum x et spectari possit, eiusmodi mrmulas ubi quantitas a
613쪽
esset pro constanti habita hinc prorsus excluduntur, neque ullae aliae praeter supra memoratas in calculo admitti sunt censindae , sicque omnes eXpresesiones a formulis integralibus liberae praeter ipses Variabiles X , y , et alias sormulas disserentiales non implicabunt praeter eas, quarum variationes hic sunt indicata:
rs . Si e sit functio ipsarum x cim, ei quo tribuatur variatio utcunque ab X et pendens, tum vero suerit V quantitas quomodocunque tribus Variabilibus x , F , et earumque differentialibus cuiuscunque ordinis composita, eius variationem δ Uinuestigare.
Vt in expressione V species disserent alium tollantur, ponamus ut hactenus fecimus:
quarum formularum Variationes a variatione ipsiusa oriundas ita definimus , ut posita evidentiae gratia ista variatione δα' is , quam ut iunctionem Vol. III. D d d d quam- Dissiligod by Corale
614쪽
quamcunque binarum variabilium x et 3 spectari oportet, sit
IlIis autem factis substitutionibus expressio proposita V fiet functio harum quantitatum X , y , a, p , p ,αρ , q , θ' , r differentiale talem induet fiormam:
Quoniam nunc formula U eatenus tantum variationem recipit, quatenus quantitates, ex quibus componitur, Variantur binae autem X et I immunes statuuntur , eius variatio quam quaerimus erit:
615쪽
ae si loco variationis δα scribamus ae habebimus variationes inuentas substituendo:
cuius Qrmatio, si sorte etiam disserentialia altiorum graduum ingrediantur; per se est manifesta.
xss. Cum iis spectetur ut fiunetio binarum variabilium x eti, singularum partium , quae Variationem δ V constituunt, significatus est determinatus , atque haec variatio persecte definita est cen
136. Quomodocunque autem expressio V dipserentialibus sit referta , quandoquidem valorem ce tum indicare est censenda , substitutionibus adhibitis semper a specie diflarentialium liberari debet.
Is . Si nostrae tres variabiles ad superficiem referantur ut sint eius coordinatae A X TX, YZ a, 2la ordinata YZ a 3bique incremen- Dddd a tum
616쪽
tum infinite paruum accipere intelliis gitur, ita ut puncta a cadant in aliam superficiem si illa infinite parum discrepantem.
138. Dubio hic occurri debet inde oriundo, quod quantitatem et ut iunctionem binarum x et rspectandam esse diximus; quoniam enim ipsis x et Fnullas variationes tribuimus, si in expressione Visco a eius valor in X et substitueretur, ea ipsa in meram functionem ipsarum X et ' abiret, neque propterea ullam Variationem esset receptura. Verum notandum est , tametsi a vi functio ipsarum x et considaratur, eam tamen plerumque esse incognitam, quando scilicet eius naturam demum ex conditione variationis erui oportet; sin autem iam ab initis esset data , tamen dum Variatio quaeritur, sunctionem hanc a quasi incognitam spectari conuenit, minimeque eius loco Valorem per x et I expressum substitui licet, antequam Variatis, quippe quae a lalaa pcndet, penituo fuerit explorata.
617쪽
INTEGRALIUM TRES VARIABLLES INVOLVENTIUM, QUARUM UNA UT FUNCTIO BINARUM RELIQUARUM SPECTATUR.
1 9. Formularum integralium huc pertinentium nat ram euoluere , ac rationem qua earum vari tiones inuestigari conueniat, explicareo
Cum tres habeantur variabilas x , F et et , quarum una x ut iunctio binarum reliquarum x et a est spectanda, etiamsi in ipsa variationis innestigatione ratio huius functionis pro incognita haberi debet; formulae integrales quae in hoe calculi genere occurrunt , plurimum discrepant ab iis , quae circa binas tantum variabiles proponi λlent. Quemadmodum enim talis forma integralis fVdae, ubi V duas variabiles x et ' implicare censetur, quarum νab x μndere concipitur, quasi summa omnium
618쪽
valorum elementarium Udae per Omnes Valores ipsius x collectorum considerari potest ; ita quando tres variabiles X , I et et habentur , quarum haeca a binis X et I si uriit pendere concipitur, inte gratia huc pertinentia collectionem omnium elemei torum ad Omnes valores tam ipsius X, quam ipsiussrelatorum inuoluunt, ideoque duplicem integrationem alteram per omnes valores ipsius X , alteram vero ipsius F elementa congregautem requirunt. Ex quo huiusmodi integralia tali forma Tvdxo contineri debent, qua scilicet duplex integratio innuatur ; cuius euolutio ita institui so et, ut primo altera variabilis ut constans spectetur, et formulae IV dx valor per terminos integrationis extensus quaeratur; in quo cum iam a Ubtineat valorem
vel datum vel ab P pendentem, hoc integrale IV in functionem ipsius a tantum Qbibit, qua in oducta superest ut integrale fos V dx inuestigetur , quae ergo forma fdUUδx hoc modo tractata illi Iudaeo aequivalere est censenda. Ac si ordine
inuerso primo quantitas X constans accipiatur , et integrale fVEF per terminos praescriptos extendatur , id deinceps ut iunctio ipsius X spcctari et integrale quaesitum I xj Vo inueniri poterit. Perininde autem est viro modo valorem integralis sormulae duplicatae I V o utamur. Cum igitur in hoc genere aliae sormuliae integrales nisi huiusmodi HV dxo occurrere nequeant,
619쪽
totum negotium huc redit, ut quemadmodum huiusmodi formae variationem inueniri oporteat, Ostendamus. Quoniam autem quantitates X et F variationis expertes assumimus, ex iis quae initio sunt demonstrata facile colligitur fore
ubi variationem ipsius V denotat; hicque integratione pariter duplici est opus ,. prorsus ut modo ante innuimus. Coroll. . I. Iso. si ponamus integrale V V dx W, cum sit sex V dν W. erit per solam x differentiando I vom: Al hincque, porro per a differentiando V, unde patet integrale K ita comparatum essu ut fiat V
16x. Cum duplex integratio sit instituenda , utraque quantitas arbitraria introducitur ψ altera au, tem integratio loco constantis mitistione in quamcunque ipsius x quae sit X , altera, autem functionem quamcunque ipsius y , quae sit Y inuehit , ita ut completum integrale sit L V dxΟ W--X-Y.Coroll. a. Disiligod by Cooste
620쪽
162. Hoc etiam per . ipsam resolutionem eo firmatur , fit enim primo
Tum vero fit quia neque X neque Rab I pendet. Quare si silerit V, erit
15 a. omnino autem necessarium est, ut indoles huiusmodi sormularum integralium duplicatarum Is V dxo accuratius examini subiicietur, quod commodissime per Theoriam supcrficierum praestari poterit. Sint ergo ut hactenus x et a binae cOOrdinatae orthogonales in basi assumtae A X zz a , Fit. r. XY γ, Cui in Y normaliter iii sistat tertia ordinata YZ et ad superficiem usque porrecta. Si iam binae illae coordinatae x et 3 suis disserentialibus crescant XX Izdae et YY o , inde in basi oritur parallelogrammiam elementare YxyY da dy, cui elementum formulae integralis conuenit. Ita si de soliditate a superficie inclusa sit quaestio eius elementum erit m adaeo , ideoque tota soliditas et fadxo, si supersicies ipsa quaeratur, posito dat p x-p o erit eius elementum huic rectangulo dxo imminens Ita dxo Y I-n-- p p ), ideo-Diuiliges by Corale