장음표시 사용
51쪽
videlicet tang- π1orax cuma perpendae. res qualibet L ιC dactisque rad111 ση 1 e prox-is L C, IC ad centruemcula LED , propositam eumam osculantis eo quod sit maximus illa ad punctum L ἐψιν. ibitium , eandemque eum ipsa st L Μ curvatura rationem uisucat, circa punctam D
cripto area I M, occurrente tau.
52쪽
PROPOSIT IO C. O md is etiam, ex e miscribos inserite pam re, Amos
με ada limite. a. Sit primo curva D A V , e ius oldinatae A B infinith proxima fieri concipiatur alia C V, & axi DB parallela EA extendatur ultra curvam in F ad aliquam data longitudinε AF, ducaturque FH ipsi OBParallela, occurrens in H recta OA Itangenti Curva propositam in A,&Concurrenti cum CV in I , tum di. visa F Η ad punctum G in quavis ratione assignabili in ad a, jungatur G A , quae producta omnino intra curvam cadet ali sti ipsa tangeIet , quod est absurdum ; nec enim duae rectae
ad idem unius continuae curvae punctum Illam tanger
possunt lichi post aliquod determinabile intervallum, illam fortasse sit secatura , & ideo ipsam C V , quae ad in.
53쪽
tervallum minus quolibet dato ipsi R B accedit, omnino secabit inter E & V, velut in Reritque ratio EI ad I Umajor ratione ejusdem EI ad I R ; sed haec, ob similitudinem triangulorum, eadem est , ac FH ad HG, quae potest esse quaevis assignabilis mad n , ergo EI ad tu, adeoque R dividendo E V ad VI, rationem habet majorem qualI-bet assignabili, unde ex desin. s. 9 6. Illa Infinities major est, quam ista, & ordinis, ad hanc superioris; Quod &e. a. Rursus trilineum ipsum V A Ierit infinities minus trilineo E A U,
vel E AI ob basim V I infiniti minorem ipsa UE, vel EI nec .
non ipsorum utrumque adhuc infinities minus est quadrilineo infinith parvo A BCl, vel ABCU, aut A B C E quia lineae E V , EI
sunt ipsa A B infinities minores unde& hinc patet, varios ordines resultare infinite parvorum. 3. Quin etiam si circa ordinatam B A omnes illae areae rotarentur, foret solidum , trilineo V A I infinith minus solido a triangulo E A I, vel a tralineo EA V: hoc autem rursus infinith minus solido quadrilineis A BCI, A BCV, ABC E genito, nam quaelibet superficies cylindricae , ab VI , V E, E C productae, fierent eodem ordine aliae aliis infinities minores; Quare constat propositum. COROLL. I. Cum ostensa sit num. r. recta VI minor infinities ipsa E V, hinc est quod juxta coroll. 2 prop. III. potest E U considerari ut aequalis ipsi EI, , qua differt dis. ferentia infinith minori. COROLL. II. Unde amplius demonstratur methodus in . finith parvorum in ducenda cujusvis curvae tangente; cum enim , ob similitudinem triangulorum,sit IE, sive illi, ex
dictis, aequalis V E , ad A E , ut A B ad Bo, ergo sub.
54쪽
tangens Bo est semper quarta proportionalis post diffsrentiam infinith parvam ordinatarum V E, & differentiam abscissarum A E seu BC : quare, s ordinata vocetur I,& abscissa x, adeoque differentiae earundem sint θ, dae, erit semper subtangens B Ο Et ex curvae natura data, com innotescat ratio D ad dae ut mox in subiumcto Scholio docebimus etiam nota fiet ratio B A ad BO,& expeditissimh tangens O A determinabitur: ita ut , suismet principiis mysteria calculi differentialis hoc modo
geometrich demonstrata habeantur. 'COROLL. III. Hinc pariter colligitur, ipsemet quadri.
linea ABCI, ABCU, ABCE nec non & solida, quae
ab ipsis circa axem positione datum rotatis gignerentur Jutpoth infiniis parvis differentiis discrepantis, posse pro
aequalibus rith computari , iuxta idem comi a prop. III. cui fundamento nititur calculus integralis, ex ejus enim praescripto, summa ea rectangulis ordinatarum B A in quasi libet sibi correspondentes differentias infinith parvas axis B C, aequatur ipsi met areae curvilineae CD A V: nec non summa cylindrorum , quorum bases sint circuli ab ordi. natis descripti, & altitudines sint eaedem infinith parvae differentiae axis, aequatur rotundo solido, ab ipsa figura curvilinea generator quippe differentia omnis , per inde. finitam axis sectionem, multiplicato eorum rectangulorum, aut cylindrorum numero, & diminuta in infinitum quantitate singulorum , fit infinite exigua, adeoque evanescit. COROLL. IV. Sed et hinc constat, ipsum met arcum Α V infinith parvum , tam rectae lineae R V sibi subtensae, quam tangentis portioni R I aequalem esse. si enim AG tam pioph accedere concipiatur ad rectam A H , ut punctis G, H sibimet invicem sermε congruentibus , utriusque ipsaruΑ G. AH differentia minor fiat quavis assignabili magnia tudine , idest evadat infinith paLva , tunc ex a. eores .
55쪽
Q, TAI prop. III. fiet altera alteri aequalis , quare et AR aequalis evadet ipsi AI tangenti, multoque magis cuIva H V utri que intei posita quae mediae inter utramqMe longitudinis est , ita ut quamdiu finita fuerit, maJOL qu Idem Oilenu tur subtensa recta A V, ad emoque & A R , quae perpendi. culo est propior, at minor tangente A I, obtutum angulum A UI Iubtendent Iset aequalis tum ipsi tangenis Oti AI, tum suae subtensae A V, & promiscuh una ex his pro alia tuto usursem PoterIt, qu Ries de infimia pat vis ser-Emo surrit: imo iplamet c vae particula A V in si ieeκι gua, tamquam recta considerara poterit, citra ullum erroris periculum L nam errordum fit infinitis parvus, tandem evanetat, ac nullus eu dit j quod significant recentiores Geomeriae, dum curvas omnes sub ratione cujusdam polygoni infinitorum laterum specta re nos docent, & eurvaru tangentem quamvis pro uniam, ex eiiismodi lateribus ansinite parvis, productione aestima.dam praescribunt. COROLL. V. Eodem.
quandoque licebit i 'triangula rectilinea inis finiis parva Iesaluere ad ipsarum dimensi nem venandamie vel . ti si proponatur curva
A-, electo ubilibet , sis vc intra, sive eatra curvae perimetrum, quovis puncto N,
56쪽
atque inde ad singula curvae puncta ductis ramis infinite Iroximis με, - , poterit sector μα pro trianguici rectia
in eo censeri, quia ex coma. pr aed. arcus as infinite panisuus pro recta assuma potest: & quoniam , extensa Na ad tangentem in d, poetio sd aduc infinities mitrar evavit
recta Ns , adeoque triangulam a s d est quatilitas infinia parva secundi ordinis, quippe infinities minux triangulo N aa iam infinith exiguo, poterit indiscriminatim et tam N ad sumi pro inis Nas, di alterutrum mimum confide,
rari velut elementum areae N Aa , ita ejusinodi triam gulorum summa det mensuram integram talis areae; Et si talis alia curva os N exhibeatur, Cuium ruam No sint per petuo paralleli aa coram poradentem primis cmvae tange
rem ad, constat fore Rream utrIque Cumax inter stam
O OOAas duplam semper sectoris correspondentis AasN, propter singula parallelogramma da ob squae non differunt ab areolis infinith exiguis Oaso, nisi per trilinea infimiles. adhue minora odσ, dra, ob bases ab , da infinities minores ipsis so, s b , & ideo aequalia invicem censeri debent aere coroll. x prop. III. sape euaro dupla triangulorum Ad N in eadem basi ad , usdemque parallelis da, Noexistentium , ut cap. 8. ingratanorum demostravimus.
Obiter autem animaduertere placet, huius methodi sumdamentum , etsi novum videatur, nee absque scrupulo hplerisque admitti ccisueverit, ni Tu me magni rines, νώα diserearia --r evadis q-hber assi minus d erentia ,seu a diserra poseat quaeMisaae regiam in isto miami,pr ala tibus recte Uurpari: Uetustissimum reipsa esse , ac ueterum methodo, quae per inscriptiones, Si circumscriptiones,loningiori circuitu , figurarum aequalitatem , vel aliam propo tionem venabatur, necessario fuisse praesuppostum ; Vis enim demonstrationum ejusmodi apud Euclidem, & A chimedem is eo certe consistit, quod, nisi verae forent ipso. Iu in pro posti nes , assignari posset differentia figurarum,
57쪽
nempe excessus, aut defectus ab asserta mensura: facta, autem tali assignatione, cum per inscriptionem, & circumscriptionem ostendantur aliet figurae miniis excedere, aut deficere 1 figuris propositis, quam pro differentia assignata, & tamen assertam mensurae rationem constanter obse vare, concluditur ab absurdo, differentiam ab adversariovissignatam nullam esse, utpoth minorem qualibet assigna-Bili: atqui hoc ipsum, majori compendio , & nos dicimus, dum magnitudines, differentia infinities minori discrepantes, pro aequalibus habemus: si non sunt habendae pro aqualibus , assignabilis erit eorum differentia; assignetur ergo: non igitur ipsarum disserentia minor evadet qualibet assignabili , quod est contra hypothesm; falsum est erugo, non esse habendas pro aequalibus: Quod est propositum.
Netes gatio autem rationis disserentia ordynatarum ad disse-I rentias abs aram σα quatibet Cum , ande tangentram meis 3bodum sumus, coroll. a. hujuS prop. pendere dixιmas, sis cedit . Quantitates determinata , O ejusiam semper mensera, primis aIHabeti litteris a, b, c, e m. denotenιur: indetermia nata Τοδ, qua subinde crescant. aut decrescant, per ρψremas N , y , Σ, u drc. is more exprimantur , ut habeatur aquatis curia propria: H in parabolis , si latus rectum mocetur a , ω abscissa x, arrinata verὸ y, patet, aquationem cuma propriam fore yy π ax , propter oris ta quadratum semper aquale reis Duxis abscissa in latus rectum: atque ita .. aliis magis comis positis. 1 um suppa rur absessa, verbigratia x, aeters portio. ne sat is ite parva dx sic enim illam exprimere Aeait Leibis nit ζ- , ut disseremiam etfius y mcae dy , ct Vfius et appellar dZ, at e sta in aliis adeo ut e dat abscissa IC dx ; Osam sit, eorreis dere ἀ rebenduar yidy, mei y - dy pro omanata prout videlices applicata crescant, aut decrescunt ad
58쪽
ram determinat, A loco x, ω F, ac productorum ex sto, vel
ranταν rum yy m aa t xx , tum rermius m ities mavores rellis quis dydy, ac d Adae , restque a dy m axox, adeoque du adux erit, ut x ad y, unde ut abscisia x ad ordinatam y , ita erat usa eadem ordinata y ad sub angentem quassam , q- erit 1ertia proportionalis ab tisa , 9 ordinata. Expellaui autem 'mstur disserentia cuiqvis aqvationis pro- ψις , si in illa ubique termini ab νηdetermanatas assecta multia
piscentur per numerum rimensionis earundem sudeι rmsnatarum ,
59쪽
ad 1xxy - κ Id quod valet ιν quous is , tam perfectrs quam νmperfectis 1ndetermιnatarum potesatibus ade3 ut generatim differentiai us x sit m x rix, quemcunque numerum sntegrum, aut fractum , possimum vel negatruum euotet exponens m. Atque bine viceversa integrario cujusvis risforentialis , seu remeso ad quantitatem, cujus proposita fuerit dissereuria , babetur, augendo unstate dimensionem UdeterminWst x, mi y , Oper eandem dimenuonem sic auctam, totum noductum dividendo,
valor samms quaesita babeatur. PROPOS 1 TIO ULMd praecedens docuit, aliter per infinitas parabolas demons arer . Intra quadratum A FHo, cuius diameter A H, descriptae sint, eodem latere recto A O,infinitae paIabolae v/riorum graduum nempe ΑΕΗ quadratica , sive ApollQ-
60쪽
mana , A D Η cubica , A C H biquadrataca, &c. adeo ut ducta ubivis recta BCDEPG agi parallela, lacante has curvas, & vectam AH, ut in figura , sit semper Ho ad
ad BE in earundem mistione duplicaaa,&MBO in triplicata, ad BCRut Mx in quadruplicata, atqua
,. ionales , quare fi -- prm-xima fieri concipiatinc B GV asi A F, ut intercepta DPLI evadat infinit. parva, - . sit ratio G B ad B P eadem
rationi BP ad BE, & huius ad BD, di huius sursias ad
B C prima autem ratio sit maior qualibet assignabui ex ἀθ. 4. ct comisnodo , etiam reliquae majores erunt ' libet assignabili, & ideo quantitatum P B, BE, B U, u , quaelibet respectu antecedentis erit,per def. Insinne parva, atque insirimis ad ipsam ordinis: quare Inter main nitudines absoluth infinith parvas datur haec dIveIsitas min
a. Angulus contingentiae B AE est infinities minor angulo rectilineo BRP, & angulus BAD rursus infinities minor est angulo BAE, angulus autem B AC infiniates adhue minor est angulo BAD, atque ita IIo m linunitum, ob subtensas PB, EB, DB, CB, eadem Fatione ma Oriuuavis assienahili in infinitum decrestentes , datur ergo di in angulis infinith parvis hae ordinis diversitas: quodeIat demonstrandum. F a 3.-Tea Diuitiam by Corale