Opere di Francesco Maria Cavazzoni Zanotti. Tomo primo nono

101쪽

De resolutione aequationum Teneratim . R. Esolvi aequationem dico, cum valores incognitae ex ipsa educuntur. Quemadmodum id fiat in aequationibus vel primi vel secundi gradus , credo me tibi alias exposuisse. Nunc pauca monebo , primum de aequationibus generatim, tum praecipue de aequationibus tertii gradus, ac de casu illo , quem irre. ducibilem vocant. Sed iam de resolvendis aequationibus generatim dicamus. Primum . Si incognita κ eamdem ubique pol statem habeat; ut si proponatur aequatio a καμ c3 nihil erit expeditius, quam aequationem resolvere. Ubi enim feceris a κν --α - bbc3,

que partis sic κα U --, eritque hic valor i cognitae κ. Hoc exemplo uti poteris ad casus odi

Secundo. Si incognita non nisi duas potestates habeat, alteram alterius duplam , ut si proponatur ab m a αδ -- q, aequationem tractabis, tamquam esset quadratica affecta , eritque persaepe resolutio paratissima . Ne ab exemplo discedam. Pone, uti fit in quadraticis in aκ ab q, dc parti utriqae,

102쪽

radix est κ κ - - , pones utriusque partis radicem

sic q

-- ab Φ q; tum κω α - ae iam resolutio in promptu erit

l a qui erit valor incognitae A. Tertio. Si senseris, aequationem resolvendam produci ex duabus per se invicem multiplicatis , exit interdum resolutio expeditissima. Res exemplo declaranda . Proposita sit aequatio ab κκ -- eκ m o. Forte sentis, eam productam esse ex his duabus a se κ α s, & b κ κ- em o. Harum igitur utramque resolve . E prima habebis x α -a; ex altera κ'; eruntque hi valores incognitae N in aequatione proposita. Nam quivis horum valorum substituatur pro κ, evadet Eerum vel a - κ, vel ,κκ-e; quare cum aequatio proposita ex his duabus per se invicem multiplicatis producta sit, ipsa

Unquam non iuvabit cognoscere, an aequatio Te- solvenda producatur ex aliis , quaeque hae sint , id quod diviso manifestabit. Sic enim aequatio in ae

103쪽

quationes plures discerpi poterit, eritque in sineulis potestas incognitae κ depressior; eoque erit resolvendi spes major. De resolutione aequationum tertii gradus.

RE lvendae aequationis tertii gradus , si adsit se

cundus terminus , spes est vix ulla. Igitur, si adsit, ante omnia eliminandus est, quod quemadmodum. fiat, supra docui ac tum spes in mirabili Cardani methodo , quam cursiri attingam. Proposita sit aequatio--pκ - g m o. sunt p& q duae quaevis datae. Pro κ supple iammam duarum incognitarum I Q. Vertetur aequatio in hanc

sane summa γε α si pro incognita accipiatur) eosedem habebit valores, quos habet κ in aequatione proposita. Hine sume terminos quatuor 3αγγ 3MBI I- pr . In additis vide Notam I. ) Fac hos aequales

etero; elicies Im A. Quare si ponatur pror,

quatuor illi termini evadent Zerum . Sume tres reliquos terminos γ' -- Fachos pariter aequales Zero. Elicies nempeImVq-d . Quare si ponatur - α pro r; termini illi tres

evadent Zerum.

104쪽

9seum quatuor illi termini , tum hi tres ut omnes .

evadent gerum .

bique hoc ponas Pro α, haec sequentur. Primum valor incognitae I, qui erat - α , evadet

termini aequationis BII &c. evadent Zerum. Quare valor summae I d in hac aequatione eri

Erit ergo etiam in aequatione proposita

105쪽

Sebolion. OUspectim diu secit Cardani methodum haec ratio. Si fuerit - maius, quam , erunt sane ambae itina Α . . lae radices cubicae imaginariae; ergo, aiebant, & illarum summa , idest valor incognitae κ erit ita agina- In hoc autem fallaciae quidpiam inesse fie

ri usi

stendebant. Pone aequationem κ3- κ -6mo. Hic

S. 62 incognitae κmaius quam ra , idest : ideoque valor per Cardani methodum erutus erit imagin rius Atqui tamen in hac aequatione non habet κnisi valores tres - 2, - 2, 33mnes. Innumerabilia huiusmodi exempla afferri possunt. verum haee ratio nullius momenti est. Fieri enim potest , ut duae quantitates imaginariae ambae sint, illarum autem summa realis. Imaginariae sunt ambaea c, & b - c, illarum summa realis est, elidentibus se mutuo imaginariis . Quamvis ergo radices duae illae cubicae imaginariae sint, non recte colligitur , etiam illarum summam, idest valorem incognitae κ, esse imaginariam . Fortasse si radices illae duae re ipsa possent extrahi, extractaeque in summam redigi, inveniretur haec summa realis, imaginariis se invicem elidentibus. Idque ita esse demonstrat Ni eo

106쪽

lius in Parisiensis Academiae Actis, radices ambas in infinitas series convertens. Ego idem ostendisse mihi videor in Academiae nostrae actis vel sine serie

bus.

Quoniam valor incognitae κ, e Cardam metho. do expressus, si imaginariis implicitus sit, numquam eo reduci potuit, ut imaginariis exsolveretur omnibus, idcirco casus ille lareducibilis dictus est.

Quo apertior Cardani methodus fiat, certiorque,

iuvat eam traducere ad aequationem quadraticania simplieissimam. Sit aequatio κκ-p--q o. Sunt 3 de q duae datae quaevis p valoresque incognitae κduo sunt -- p q , dc - g , reales ambo. Fruatur iam valor incognitae κ Cardani more. Pro κ supple 3- z. Vertetur aequatio in hanc

107쪽

IO I

ideoque κ in proposita aequatione sic I d α κ m

Neque sane dubitari potest, quin sit in aequati ne, κκ - p - qmo Valor incognitae κ is, qui inventus modo est ; nempe

pH ; etenim si hoe totum quadrabis,

prodibit p--q; idque positum pro κκ in aequatione κκ-p-gmo eam perbelle verificabit Cum si vero radix utraque imaginaria, s sit p maius quam e , summam tamen numquam non realem esse oportet; est enim ipsa valor incognitae κ, quae valores tantum habet reales. Haec scripsi , mi Ratia suavissime , fortasse obscurius, quam res ipsa postulabat, confisus scilicet diligentia tua, quae facit saepe, ut sim ipse in stri. hendo negligςns .. AD

108쪽

verte, hanc partem ultimam esse quadratum summae 4 φ ' ρ . Quare , extrahendo radicem de more ex

109쪽

hane tamquam

Admonitio brevissima. Quationem resolvi dico, cum valores incognitae κ educuntur per litteras expressi ; construi , cum certa linearum descriptione determinantur . De constructionibus paucula te monebo , non ut rem tractem, sed ne omnino praetermisisse videar. Est autem prius de aequationibus indeterminatis dicendum , quae & suam habent constructionem , ut mox vid bimus , & ad constructionem aequationum determina tarum aperiunt viam. De

110쪽

Fouutio indeterminata ea est, in qua variabiles duae sunt x, de I ; quarum una prius pro voluntate sumitur; tum altera, ut aequatio postulat. Itaque unam variando , variat dc altera. Quod si una verbi gratia re ab eodem semper puncto Α Fig. 26. initium ducat, per eamdemque lineam A Q extendatur ; ut si pro κ sumas modo A P, modo A p; altera vero a ducatur ab extremo pumcto P, vel ν, ut PM,pm, ad eumdem semper angulum AP M, Apm, erunt puncta Μ, m in linea quadam, interdum recta, sepissime curva. Exempli

causa sit aequatio κκ m a I, unde I m- . Sume

pro x quamlibet A P. Tum sume eam 3 , quae aequet L, & hanc eonstitue in P M. Variata in infinita

tum κ AP)in infinitum variabitur 3 PM , Gruntque omnia puncta M in linea quadam. Haec Iinea dicitur locus; aequatio autem, uti κκ m a I , dicitur esse ad talem locum . Productum variabile est id , quod fit variabilem per variabilem multiplicando, ac tot dimensionum esse dicitur, quot sunt variabiles, e quibus producitur . Est ergo κ κ, Vel κγ, vel II productum duarum dimensionum ; κκI vel κ)I , vel a , vel x , trium; κκ33 quatuor; κ I quinque &c. Si in aequatione productum variabile duas alieubi