장음표시 사용
71쪽
De aequationibus O praeeipuis earum Iropristatibus.
JQuatio est positio duarum quantitatum , quas aequales esse volumus. Idque significamus duabus lineolis interpositis hoc modo a rati , sive a b --b e ab, quo ostendimus velle nos , duas quantitates a Se b, sive ab H-be, & ab aequales inter se eme . Qiiod si aequalitas posita vera est , potest aequatio multis & variis modis versari , sic utique ut aequalitas semper maneat. Quos modos iuvat statim
cognoscere . Ac Primum si Pars utraque aequationis eadem quantitate vel augeatur, Vel minuatur, manet certe aequalitas; neque minus, si per eamdem
quantitatem vel multiplicetur, vel dividatur. Atque etiam, si utriusque partis eadem eiusdemque generis sive potestas, sive radix Ponatur. Fac enim e Garab, erit sane etiam mi & a m ba &c., similitem
nifesta per se sunt. His rebus facile intelliges, quemvis aequationis
terminum, si ei modo signum mutetur , ad parten . alteram transseret posse salva aequalitate . Verbi gratia si habueris ab '-be m. bb poteris terminum ab transferre ad partem alteram hoc modo b e - b b a baetenim perinde erit, ut si quantitatem eamdem ab utrique parti ademisses. Hinc porro duo consecuntur. Primum ut, si terminorum omnium fgna in aequatione mutentur , ta-
72쪽
men maneat aequalitas; ideoque , s fuerit ab - ιι
enim perinde est , ut si unumquemque terminum utriusque partis in partem alteram transtulisses . Dei nisde, ut, salva aequalitate, possint termini omnino omnes in unam partem Contici , ut ex parte altera terminus nullus sit reliquus praeter Zerum . itaque filiabeas verbi gratia ab bc m aa - hb, aequalita ἀtem servabis ponendo ab -- bc - aa--bb - o. Et sane , id faciens , partem alteram a uationis alteri detrahis, ac, cum aequales inter se sint, quod reliquum est, aequale Zero ut, oportet. De Jep.rra visa lucognita O aequatione
ad id praeparanda . ATque haec quidem eo spe istant , ut certa quaedam Iitterula , si fieri possit , ex una tantum parte relin quatur, litteris aliis omnibus in partem aliam reiectis, salva aequalitate, eaque litterula postivo signo affecta sit, nec nisi. ad potestatem primam evecta . Litterula, quae hoc modo ab aliis secernenda aest , dicitur incognita, eiusque secretio separatio incognitae. Mos tenet , ut pro incognita sumatur littera x, aut alia quaevis ex iis, quae in communi alphabeto postremae numerantur. Posthac igitur ubi κdixero, incognitam intelligi volo.
Sunt erosecto aequationes quaedam implexae adeo
73쪽
implieataeque, ut separandae incognitae spem omnem adimant; sunt aliae, quae issi modo praeparentur, spem afferunt. Nam si κ aut in fractione quaepiam sedeat aut radicali cuipiam signo subiiciatur; antequam soparetur , oportebit aequationem usque eo ucisare dum littera κ extra fractionem , & radicate quodvis signum ponatur. Atque haec aequationis praeparatio est, quae erit persaepe expeditissima , ut praeceptione vix ulla indigeat. Sit verbi gratia aequet tio-b α e . Quis statim non videt, si multiplicentur termini omnes pera , eam in hanc verti κκ- ab α ae Itemque si sit aequatio b - m. b , eam , multiplicando termia
nos Omnes per κ, verti in hanc b κ-- a a - b κ quo erit littera x e fractione educta, salva aequali
Saepe etiam nihil negotii erit litteram x radicali
signo exsolvere. Sit vel bi gratia aequatio e- χ b, promptum erit aequationem in hanc vertere Ua καb-c, ac tum utramque partem ad potestatem secundam evehere; sic exsistet ax o - e , eritque κ e radicati signo educta . Eademque ratione si fuerite in. V -b; eam prius in hanc vertes Via λ ωαb Gac tum , utraque parte ad potestatem tertiam evecta , erit tibi a x α ι - c .
Quod si fuerint radicalia signa duo, ut in hac
74쪽
68 - quidem aequatione M , promptum erit signa ambo in unam partem coniicere , terminis aliis coniectis in partem alteram , aequatione misque in hanc vertere a x - b κ m. b--c; ac tum,s utramque partem quadra veris , erit tibi aκ bκ-- 2 o κω m b- e ; eaque re signa duo ad unum redegeris, quod signum ea , quam supra ostendi, ratione expelli poterit Quamquam brevius, &omnino melius rem expedies , si cum deveneris adaequationem b κ-b- e, eamdem descripseris sic a - - , καb - e. Hinc enim sta-
tim ad hanc devenies V κπα-- atque hinc
ad hanc ω - ρ . Has brevitates , utῖ
alia huius generis commoda , si qua occurrent , cognoscere, diligentiae erit, atque industriae . Quo modo , praeparata aequatione , separatio incognitκ tentanda sisI IBi incognita extra stactionem omnem, & ra dicate quodvis signum posita suerit, erit tum demum separatio tentanda; cujus rei ratio est duplex . Etenim ver habet κ in aequatione tota unam tantum PO testatem, sive primam , sive secundam, sive tertiam S.c., vel alias in terminis aliis. Quae duo quamvis disis
75쪽
diss runt, communis tamen praeceptio est , ut, si separare litteram κ velis, ante omnia termini illi omnes, quibus adest littera κ, in unam partem transisserantur, reiectis aliis in partem alteram. Ea re factae, si habeat M unam tantum potestatem , sive primam , sive secundam , sive tertiam &c., una erit, minimeque artificiosa separandi ratio. Habeat x primam tantum potestatem , ut in hac aequatione bκ--cκmaa. Promptum erit hanc sic vertere κ α - ' ; quo statim A separatam habes iaO cHabeat κ potestatem tantum secundam , ut in hac sequatione-κκ-bκκ me . Hanc quoque promptum erit sic vertere κ κα-; ac tum, si u-
triusque parti v radicem secundom posueris, erit tibi. Haud absimili ratione separationem. t a b absolves, si habuerit x potestatem tantum tertiam , ut in hac aequatione a κῖ - bκ c , quam statim sic vertes κ α-- ; ac posita utriusque partis r
dice tertia, erit tibi ω m , L. Numquam non hoc
modo procedet separatio, quotiescumque unam tantum potestatem habeat κ, quamcumque habeat. Iam habeat κ potestates in aliis terminis alias; ac primum habeat tum primam, tum secundam , ut in hac aequatione cκκ- - ab κ me lib. Hic vero adisep Dis ligod by Corale
76쪽
separandam incognitam tria praestanda sunt. Primum essice, ut quadratum κ κ de positivum sit , & per nullam quantitatem aliam multiplicatum. Quare , cum in exemplo , quod attuli, multiplicatum sit per c, facies ne sit, dividendo terminos omnino omnes per c vertesque aequationem in hanc a b κ e b bκ κ - - . Quod si sit κ κ negativum ,
c cid facile mutabis , si signa mutaveris terminorum mnium
a b Secundo illud , quidquid est , - , per quod mul
tiplicatur κ , quodque idcirco assiciens litterae κ diis a bcitur , sepones. ac divides Per et , sic , , eiusque quadratum -- utrique aequationis parti adiunges ;
Tertio demum , quoniam aequatione hue deducta, plane intelligis primam eius partem idem esse ac quadratum summae κ--le, promptum erit utrius- ehoque partis radicem ponere sic κ-Ρ-- . ab ac i Αι eQuo facio terminum - in partem alteram trans. seres, ac continuo litimam ω separatam habebis ad hunc modum κα
77쪽
IIdem commodius scribetur sic κ
Habet iam κ potestates in ali s terminis alias , easque cum prima, tum secunda altiores; hic enim. vero difficultates occurrunt longe maximae , quas vincere praeceptio adhuc nulla potuit. Itaque qui haec tradunt, illos, ubi ad hunc locum venerint, breviores facit rei ignoratio .
De argumento quodam , quod separatione incognitς continetur , ellus vi . I Qtiationem tunc veram esse seso , si partes duae, quibus constat, vere aequales inter se sint, Separatio autem incognitae , quae per aequationes plures fit, alias ex aliis nexas, argumentum quoddam continet, quo efficitur , ut si sequens aequatio vera sit , veram quoque esse oporteat , quae praecesserit, ideoque , si ultima, etiam Primam. Idque adeo manifestum est , ut explicatione nulla indigeat. Exempli causa sit reis quatio κω - aambb . Separando incognitam . ad alteram aequationem venies κ κ'ma ab o ; tum ad tertiam κ di . H in profecto si tertia aequatio vera sit, secundam quoque veram esse oportet, ac si secunda, etiam primam; ergo etiam primam, si tertia. Et sane si in aequatione prima quantitatema -- o di pro κ supposueris, erit aequalitas mania
78쪽
Ηane ob causam quantitas illa, quae ad ultimum aequalis incognitae κ invenitur , dicitur eius valor . Sie in exemplo , quod attuli, quantitas a a--bbdicetur valor incognitae κ. Hic vero unum animadvertas, oportet . Cum, separando in cogestam , ad radices secundi gradus delaberis, uti a secunda aequatione xx ma a b b eum transis ad tertiam Am a a--ο υ ς nihil reseri, utrum parti alteri signum -- praeponas, an sienum - ῶ nam, que utrovis modo posueris κ a uino b , sive κ α -ον , illud nihilominus semper sequetur , ut sit aequatio tertia vera sit, secundam quoque veram esse oporteat , ideoque etiam primam; neque argumenti vis , quod separatione incognitae contineri diximus, ulla ex parte minuetur
Hoc ergo in separanda incognita diligenter tene . Ubi ad radices devenies , utrumque signum par, ii alteri adiunges, scribesque ne ab exemplo recedam κ α m. Quo significabis incognitam
x duos habere valores a a D O , 6 - a u revo, quorum si utervis in aequationem primam pro κ trRDS- feratur, ipsam Veram reddet. Placet idipsum exemplo altero declarare. Sit aequatio κκ-Σaκ cc a a. Hinc sane , ut litteram x rite separes, ad aequationem a Iteram venies κκ - χιἔκ-aa e c; tum radices pones utriusque
partis. Hic ergo utrumque signum parti alteri adiun-. ge hoc modo: κ- Quo facto habebis tandem
79쪽
dem καιν me; eruntque incognitae κ valores duos ς , & ώ-c . De problematis per squatione3 solvendisci Tque his quidem iam satis paratum te esse arbitror, mi Ratia suavissime , ad problemata quamplurima di sibi venda ; quod studium ut ineas, non te hortabor; scio enim , te hortatore non indigere;
viam tantum Omonstrabo ; & pauca monebo, non quasi docens , sed quasi currentem incitans . Problemate proposito ad tria statim intendes a. nimum . Primum, ut problema ipsum ad duarum quantitatum aequalitatem referas, quam aequalitatem si
possis ponere, sit tibi problematis ipsius solutio e peditissima.
Secundo , ut duas hasce quantitates denomines. Denominationes autem duces ab eis linias, quas pertinere ad problema intelliges , earumque proprietatibus; quarum linearum quae magnitudinis datae eis runt, constitutaeque, eas appellabis a , , c &c.; quae data non erit, neque cuius magnitudinis ad solvendum problema e G debeat, cognoscas cum id ipsum quaerendum sit eam pro incognita habebis, & denominabis x .
Tertio. E quantitatibus duabus illis, in quarum aequalitate problematis solutio posita est , ita, ut supra dixi , denominatis, arquationem tibi finges, & in- Tom. II. Κ
80쪽
- eognitam Y Leparabis. Ac tum scilicet problema tibi solutum erit; quippe incognitae κ valor satis o stendet, cuius magnitudinis ea esse debeat, ut quantitates duae illae aequales vere sint; ideoque problematis solutio sit tibi expeditissima . Atque huc sane illud maxime pertinet , ut in ineognitae valor possit construi. Construetur autem ex his , quae alibi docui, facillime, si nullas nisi secundi gradus radices contineat; sin radicibus implicetur aliis, erit constructio paulo altius repetenda; de quo dicam suo loco. Hic tria tantum scias volo . Primum. Si valor incognitae κ negativus prodeat, ut si prodeat κ a; tunc linea x, quam discedere a certo puncto, & ad certam partem dirigi tibi finxeras, erit tibi ab eodem puncto ad contrariam partem dirigenda Secundo. Si κ duos, pluresve valores habeat,
verbi gratia si prodierit κα Σύ ab , & si horum
quisque aequationem, unde omnes prodeunt, veram reddat, interdum tamen non quisque ei problemati satisfaciet, quod in animo ipse habes. Plerumque enim accidet, ut aequatio, quam posuisti, non illud solum problema exprimat, quo animum intendisti, sed alia etiam illi assinia , quibus singulis certus inincognitar valor respondeat, oportet. Qui autem valor problemati illi satisfaciat, quod tibi ipse proposuisti, haud dissicile erit cognitu rem paulo diligentius attendenti.