장음표시 사용
111쪽
Io dimensiones habet , nusquam vero plures, aequatio dicitur secundi gradus; si tres, tertii, &c. AEquatio ergo xx - armo erit secundi gradus. AEquatio b αδ - κ I - a m o tertii , &c. Quod s in aequatione quapiam productum variabile nullum si, ut in hac hκ - eIzαο, aequatio dicitur primi gradus; quae numquam non est ad l; neam rectam , quod facile apparet, vel nullo admonente. AEquationem inde terminatam secundi gradus, de qua sermo inciderit, sic ordinatam esse volo, ut in
sit primo loco quadratum unius variabilis; isque dicetur primus terminus; tum productum ex ambabus variabilibus; isque erit secundus terminus; de indoquadratum alterius variabilis; isque erit tertius terminus . Alii tres termini deinceps sequantur eo o dine, qui in exemplis apparet. Primum terminum signo postivo affectum volo, nulloque coeffciente praeter quam I . Reliqui termini signa habebunt , & coefficientes , uti res feret. Si primo loco positum fuerit II, dicetur aequatio ordinata per 3; si xx, per M. Si quis terminus aequationi cuivis propostae a fuerit , eum adesse putabo coefficiente Eero affe
Formulae sunt aequationes quaedam maxime abstractae , quae proponuntur, ut mutatis tantummodo constantibus in alias, atque alias vertantur. Harum
112쪽
Io6 aliquot ad sectiones eo nicas pertinent ἰ haeque plurimum valent ad construendam aequationem quam Iibet indeterminatam secundi gradus.
DE FORMULIS DUABUS AD PARABOLAM PERTINENTIBUS .
Formula prima. O It tibi recta indefinita A Z . a'. In hac sume quamvis A B M in . Duc quamvis B E m n quo in vis angulo A B E. Ac duc A E, quam facies Duc praeterea A D α ν parallelam BE, atque inde infinitam DG parallelam A E , in eaque sume quamvis DC α u. Finge tibi parabollam C Μ , cuius diameter C G, parameter L H m p . Ordinata G M parallela B E . Iam vero in A Z sume Α P i e , & due P M MI parallelam B E, secantemque C G in G , & parabolam in M Ex eo quod est C G. L H α G M aequationem duces parabolae C M , quae aequatio, rite Ordinata per I , sic erit
113쪽
Formula secunda. o It tibi recta infinita AZ. Fig. 28. I Due quamvis Α Β i m angulo quovis B A Z . Tum duc B Eiuparallelam A Z , & duc A E , quae fiat α e. In A Zsume AD α ν, & duc DG indefinitam parallelam ΑΕ, in eaque sume DC m u. Sitque parabola C M, cuius diameter C G , parameter L Ηmp , ordinata G M parallela B E. Jam vero in A Z sume A P α', & due P Μαγparallelam Α Β . Si ducatur M G parallela Α P se. cansque diametrum CC in G, erit C G. LΗ GM' . Hinc ergo aequationem duces parabolae C M , quae aequatio, rite ordinata per x, sic erit
IJ Tiaque harum formuIarum est sane ad parab
Iam , quaecumque sint constantes n, r, p, u; quare si his tantum mutatis formula convertatur in aequationem quamvis datam , consequens erit , hanc quoque esse ad parabolam . Ut id explores , statim a quationem datam rite ordinabis sive per I , sive pero a oc, ac
114쪽
secundi termini coessicientes eosdem reddeς, fiaequatis ambobus: - - - - a separabis constantem
n, atque in formula ubique pro n pones eius valorem . In allato exemplo, cum inveniatur ubique m posueris pro n , eosdem habebis coeffcientes seeundi termini tum in formula , tum in aequatione data. Tertii termini coessicientes eosdem habebis a tificio nullo, si conditio quidem illa adsit, quae R-dest commode in exemplo allato. Est autem condi tio haec : ut quemadmodum in formula coefficiens tertii termini est quadratum , quod fit ex dimi-
diato coessiciente secundi termini ; id est ex - ,
id etiam contingat in aequatione data . Et sane in
115쪽
IOst exemplo allato contingit ; etenim in aequatione data coessiciens tertii termini est x , idque ipsum est quadratum , quod sit ex dimidiato coessic lente seeundi termini, idest ex . Si conditio haec aderit, ubi coessicientes secundi termini eosdem feceris tum in formula, tum in aequatione data ; hoc ipso eondem habebis etiam coessicientes tertii termini. Et
sane ne ab exemplo discedam eosdem habebis, si
ubique pro n posueris m . Quarti termini coefficientes facile eosdem revides, si aequatis ambobus: - armo, separaveris r , de in formula ubique pro r ejus valorem pones; itaque in exemplo allato, cum inveniatur r m o, si in formula ubique pones o pro r, coefiicientes quarti termini eosdem habebis & in sormula , & in aequatione data .
Quinti termini eo eis cientes simili modo eosdem diabebis . Ut maneam in exemplo; pones MI
- α - ν; tum separabis p , atque invenies p α - , Ubique ergo in formula pro p pones - . Ac coetu cientes quinti termini eosdem habebis tum in formu-Ia , tum in aequatione data. Sextum terminum pari modo eumdem reddes tum in formula, tum in aequatione data. Pones rNFl umo, sive
116쪽
niam invenies Wαο, pones in formula o pro u; habebisque etiam terminum eumdem tum in formula, tum in data aequatione . Sic sormula conversa erit in aequationem datam mutatis tantummodo constantibus n , r, p, v. Et sane figuram , quam sermulae dedimus , compone ex valoribus harum constantium . Fac E BiΑ B,
Fig. 29. idest n m. Tum ducta A E , quae den minabitur e , fac AD m o. Cadet punctum D in Α ,& linea AG in Α E. Fac etiam D C , sive A Cmo,& cadet etiam punctum C in A. Tum finge parabo Iam AM, cui sit diameter A E, ordinata G M parallela B E, parameter vero sit - Ac sit tibi Α Pn κ,
P Μ Σαγ parallela B E, secansque A E in G. ride
lis Additis Notum I. III. Ubi haec feceris , figuram formulae in hanc conversam habebis, quae hic adest. Ac si aequationem quaeres parabolae A Μ, ii Iaipsa prodibit aequatio , quae data suerat, quo certius constat, eam esse ad parabolam . Quo tamen loco hoc tibi tenendum est. Si cuiusvis constantis n, r, v valor negativus prodierit, erit tibi ea constans sumenda non ad illam partem, ad quam sumta fuit in figura sermulae, sed ad oppositam. Quod si negativus prodibit valor parametri p, erit etiam parabola in contrariam partem ve
Posses aequationem datam , quoniam habet ambo quadrata Ia , κ κ Vide in Additu Notam II. , O III.
117쪽
ordinare etiam per κ, teque referre ad secundania formulam. Id si feceris, facile intelliges, praecepti nes & monita redire eodem. His omnibus facile constat, sormulam quampiam parabolae in unam quamque aequationem secundi gradus converti posse, ideoque hanc etiam esse ad parabolam , si modo adsit conditio illa, de qua supra dixi, ut coem ciens tertii termini aequale sit quadrato , quod fit ex dimidiato coeficiente termini secundi. De formula ad Elliuiis pertinente. FRo in hac brevior , vel potius, si ita vis, mi Ratta, negligentior. Sic enim sere gignitur ellipseos formula, uti parabolae; neque adhibetur aliter. Sit tibi indefinita recta A Z . Fig. 3o. In hac sume quamvis Α Β m m . Duc B E m n , quovis angulo A B E . Tum duc A E, quam facies m e . Duc deinde A Dαν parallelam BE, ac per D indefinitam L Κ parallelam A E . In hac sume D C m M. Tum hinc & hinc aequia es duas CK, CL; ac sit utraquem Finge iam tibi ellipsim LMΚ, cuius diameter L Κ, ea quidem , cuius ordinata G M , parallela B E , parameter vero L H m p . Iam ergo si in A Z sumseris AP α κ, tum duxeris PMma parallelam BE, secantemque L Κ in
118쪽
L H ; hinc aequationem duces ellipseos L M Κ, quae aequatio , rite ordinata , se erit
scilicet ellipseos sermula haec ipsa aequatio est, quae numquam non ad ellipsim erit , quaecumque sint constantes illae quinque n , p , r ; M, t. Quλ' re si , his tantum mutatis , vertatur in datam aequationem quamlibet, non est dubium , quin haec quoque ad ellipsim sit. Periculum fiet comparando singulos terminos formulae cum singulis aequationis datae , ut supra fecimus. Excmplo sit aequatio haec data II --κκ- a κ m o , quam , ne quis terminus desit , sic scribo 33--o κJ--κ κ- - ΟΙ - κ
Secundum terminum eum secundo comparans,
idest e m m Tertium cum tertio, invenio p sLΗJ - 2 r. Insta inveniam valorem litterae t , eumque huc tran
Quartum eum quarto , invenio ν A D o . Eoque intelligo , lineam L Κ cadere in lineam A Eridest in Α Β . Quin tuae cum quinto , invenio u DC
119쪽
Sextum cum sexto , invenio t CK, sive CL
m . Hunc valorem transfero in valorem supra inventum litterae p, habeoque tandem p a. Hic dubium non est, quin, si valores inventi constantium n , p, r , D, r in formulam transferantur, ea convertatur in aequationem datam ; ideoque aequatio data , ipsa quoque , ad ellipsim sit.
Unum autem animadvertas, volo. In formula ellipseos coefficiens tertii termini majus est quadrato,quod fit ex dimidiato coefficiente termini secundi; eaque in squationem datam semper converti poterit, si aequatio data eamdem hanc habeat conditionem , veluti aequatio illa, quam supra dedimus, κ κ- - ΟΙ &c. , in qua coeffciens tertii termini est x, maius quam quadratum, quod fit ex dimidiato coe ita ciente O secundi tetmini; est enim hoc quadratum m o. Ut parabola, atque ellipsis , sic etiam hyperbola suas habet formulas, quas accuratius persecuntur qui plus, quam ego, ingenio abundant, atque otio. His autem constat, inde terminatam nullam aequationem secundi gradus dari posse , ad quam hyperbolae formula non deducatur, si hanc modo habeat conditionem, ut coefliciens tertii termini minus sit, quam quadratum, quod fit ex dimidiato coessiciente termini secundi . Quo apparet, aequationem quamlibet in determiis natam secundi gradus esse vel ad parabolam , vel ad ellipsim, vel ad hyperbolam. Si coefficiens tertii termini aequale sit ei quadrato, quod fit ex dimidio coefficiente termini secundi , ad parabolam ; si majus, ad ellipum; rim. II. P sit mi-
120쪽
ra si minus, ad hyperbolam Theorema longe nobilissi
De constructionibus aequationum determinatarum.
Quationes determinatae vel primi vel secundi gradus resolutionem habent paratissimam ; ideoque in his constructio minus quaeri solet οῦ potius quaeritur in aequationibus tertii, Vel quarti gradus. De his dicturus theorema prius exponam , quod totius artificii caput est .
P Roposita sit aequatio quaevis determinata κκΦaκ-bbmo. Hinc primum excerpe incogniti quidpiam, puta κκ, idque aequans variabili cuivis, puta aI , finge locum κκ α aI. Tum , rediens ad aequati nem propositam, pro κκ substitue ar , ac singe locum alterum a I aκ - b b - ο . Duos hos locos sic construe , ut in utroque abscissa re ducatur ab eodem puncto A , Fig. 3I ex tendaturque ad eamdem partem per rectam A Z; sit que ordinatarum angulus in utroque idem . Sit R Llocus κ κα. aI . T V locus cI-- a x - b b α ο r Ηique se intersecent in H . Duc ad lineam A Z ordinatam H I. Dico , abscissam A I esse valorem, quem habet M in aequatione proposita. Etenim haec A I , ut quae pertinet ad locum R L, ea certe est, ut quantitas