Opere di Francesco Maria Cavazzoni Zanotti. Tomo primo nono

91쪽

nam - α -- a vere aequat Zerum; neque vero alia quantitas, praeter - a , praestare id potest . Sic etiam in aequatione κ - bet o non alius valor esse potestia incognitae κ, nisi in. b. VII. Si duae pluresve aequationes, quarum una. quaeque binomio uno constet, puta x-a o, ω - bio, simul multiplicentur , unde existat aequatio una , puta κκ - a X-- ab m οἱ hanc aequationem - bκ

productam appellabo; illas producentes. Adhuc deo finitiones , & postulata quaedam exposui . Quae secuntur propositionibus paucis complectar . Prop. I. IN aequatione producta habet κ valores eos , quos

habet in producentibus; neque ullos alios habere potest . Nam primum . Sint ex. gr. producentes duae κ - am. O , κ - b ' o . Si hic pro κ substituatur vela, vel b, alterum binomiorum evadet Eerum; eringo in aequatione producta habebit x valores duos& b , quos nempe habet in producentibus. Deinde. Quidquid ponatur pro κ in producentibus praeter a& o, binomia ambo κ - a, κ - b, aliquid sempererunt; neutrum abibit in aerum ; ergo ne ipsorum quidem productum ; ergo ne aequatio quidem producta . Ergo in aequatione producta nullum valorem

habere potest κ nisi a , de b. Eadem valebit ratio, quotquot sint producentes. Prop.

92쪽

Prop. II.

IT aequatio producta nullum prae se serat imagu

narium , ut supra postulavimus, oportet , ut si altera producens habet imaginarium quodpiam , uti κ -- έ - e ; producens altera habeat idem imagina. rium cum signo opposito , uti x - i c. Nam si ita est , multiplicando binomia , imaginarium evanescet, nullumque imaginarium praeseseret aequatio producta, quemadmodum supra postulavimus ; sin minus, persistet imaginarium , ac se ostendet in aequatione producta, contra quam postulavimus.

HI ne illud satis patet. Si in aequatione producta

valor quipiam incognitae A sit imaginarius, erit etiam alter valor; neque esse poterunt valores imaginarii, nisi numero pares . Prop. I I I. SI aequationes producentes duae sint, potestas maxima incognitae κ erit duorum graduum ; si tres, trium ; & sic deinceps . Id ipsa multiplicationis ratio facile ostendet. Exempla duo afferam. Exemplum primum. Sint producentes duae κ-amst,

93쪽

cognitae trium est graduum . Prop. I HIN sequatione producta tot valores habet κ , quot sunt gradus , ad quos potestas eius maxima evecta est: nam tot certe habet valores, quot habet in aequationibus producentibus; qui valores tot sane sunt, quot producentes ipsiae: atqui quot sunt producentes, tot etiam sunt gradus, ad quos evehitur pol stas maxima incognitae κ in aequatione producta; e go in aequatione productR tot valores hisbet κ ; quot sunt gradus, ad quos potestas ejus maxima evecta est. Prop. V. IN aequatione producta eoessiciens secundi termini est summa valorum omnium , signis mutatis. id ipsa multiplicationis ordo ostendit. vide exemplum Primum s

94쪽

mum, quod supra attuli. Ualores sunt a , -- b. Coessiciens secundi termini est a - b. Vide exemis plum alterum . Valores sunt in , --b , - - c. Coes- fiet eas secundi termini est a - b - c.

Prop. VI, IN aequatione producta coeficiens tertii termini

continet summam productorum, quae fiunt e binisqitibusque valoribus , si singuli in se multiplicentur. Id etiam ipsa multiplicationis ratio manifestum faciet, si attentius inspiciatur . Reser te ad exemplum alterum, quod supra attuli. Cum valores sint tres, b, e , etiam bini sint tres oportet , a & b , a &e , b & e. Si binos singulos in se multiplices , erunt producta ab , a e , b e. Et vero coessiciens tertii terrimini habet a b --a e -- b c. Neque minus ordo ipse multiplicationis ostendet,s quartus adsit terminus, eius coem cientem continere producia ternorum , si quintus, quaternorum , &c. Prop. VII. IN aequatione producta ultimus terminus numquam non continet productum valorum omnium. Id sacile ostendit multiplicationis ratio. Reser te ad exempla, quae supra attuli. In primo valores sunt a & b; hi'timus terminus est ab . In altero valores sunt a, b, c; ultimus terminus est a b c . Prop.

95쪽

Prop. VI I I. 89SIt proposita sequatio quaevis secundi gradus, puta

qualescumque eae sint , quarum summa aequet a coeia fiet entem secundi termini ; productum vero aequet bultimum terminum. Dico, aequationem propositam esse productam ex duabus κ - δ o , κ - θ m O. Etenim si hae duae per se mutuo multiplicentur, producetur sane aequatio, quae erit plane eadem, atque aequatio proposita κ κ a x--b o . Haud absimili ratione ostendes, aequationem quamlibet propositam tertii gradus, puta x 3--a κ H-b κ--emo productam esse ex tribus x--δ o, κ- θ m o ,κ - ω m O, si quantitates δ , θ , ω tibi fingas, ut oportet.

Pari modo procedes ad aequationes alias quasli ,bet cuiusvis gradus.

Um aequatio , quam in exemplum supra adhibui,

xx a x--b m o sit plane eadem, atque illa, quae producitur ex duabus κ - δα:o, α - θαo; in hac autem non p0ssit κ habere valores alios nisi δ,&θ;

sic etiam in illa habebit x valorcs duos, qui nulli alii esse poterunt, nisi quos finximus, δ,& θ. Atque id pari ratione transseres ad aequationes rim. lI. , M alias

96쪽

9 alias omnes , quaecumque proponantur , cuiusvis gradus sint .Hisque facile intelliges, ea , quae adhuc diximus de aequatione producta , & de producentibus , in ae. quationes convenire omnino qmneS. Proll. I.

PRopositam aequationem quamlibet, in qua κ habeat valores quoslibet P, Q , R &c., in aliam convertere , in qua κ habeat eosdem valores P , Q , R&c., eosque sive multiplicatos per quantitatem d tam e , sive divisos ; sive auctos quantitate data sive imminutos. id in uno exemplo fecisse satis erit. Sit ergo proposita aequati O Nκ--aκ-Hlymo, in qua habeat κ valores P & Qu. Pars prima . Pro κsupple - . AEquatio in hanc transformabitur -μ

b in qua si pro incognita habeatur

eosdem habebit valores P, Q , quos habet in aequatione proposita A. Erit ergo in aequatione transformata m P, & - Οἰaergo erit καe P, &

x e in Ergo habebit x valores P, multiplicatos per eo Pars secunda . Pro x supple e κ. AEquatio in hanc transformabitur c κ . a c κ - - ώ-o , in qua e κ ha hebit certe valores P, Q ; eritque e κ-Ρ, & ς κα in ergo Disitired by COrale

97쪽

ergo erit x zz - , &X Habebit ergo x va-Iores P, Q divisos per c. Pars tertia. Pro x supple ω - e. AEquationem tibi facies, in qua erit κ - cm P, nec non κ-cmQ, ideoque x m P e , &κ m Q sec. Habebit ergo A vaiores P, Q auctos quantitate data e . Pars quarta. Pro x supple κ - e. AEquationem tibi facies, in qua erit κ - e m P , nec non κ -- c m , ideoque καP - e, & xim Q e. Habebit ergo κ valores P, Q imminutos quantitate data e . Sebolion . SI intellexeris, quos valores habeat κ in aequatione transformata , nihil negotii erit cognoscere, quos habeat valores in aequatione proposita. probi. II. . ΡRoposita aequatione quavis, eui si secundus terminus , hanc in aliam Xertere, quae secundo termino careat; eaque sit . ut in ipsa habeat κ valores eosdem , quos habet in aequatiqne proposita , vel auctos quantitate quapiam data , vel imminutos . Id uno exemplo planum fiet. Sit aequatio κω- a κ- - , - n. Sume coem cientem a secundi termini, eique signum muta , tum di- M a vi

98쪽

aequationis ostendit, ut iam habeas Jam ergo in proposita aequatione , pro κ substitue κ - - -;haisbebisque aequationem, quae carebit secundo termino . Idque debere necessario fieri facile intelIiges , si substitutionis ordinem attentius inspexeris . Ubi vero secundum terminum hoc modo eliminaveris, habebit x in aequatione, quae prodierit, valores eondem , quos hahet in aequatione proposita, auctov

99쪽

DE AEQUATIONIBUS

RESOLVENDIS .PRius quam ad rem venio , intelligas volo , quo

modo tentari divisio possit in quantitatibus compositis; quod enim in prima algorithmi parte praecepi, ut divisorem dioidendo subscriberes interiecta lineola , id habet significationem. divisionis quamdam , non divisionem ipsam, quam tentare interdum convenit, si forte possit peragi. De hoc ergo dicamus. De dioisione in quantitatibus compositis ..Um exemplo rem. absolvam . Sit divisor,

dividendum,e a b c - - a, b - a b κ -b e κSume e dividendo terminum a', in quo scilicet littera a maximam habet potestatem . Tunc sume e divisore terminum a a, in quo scilicet littera eadem a potestatem habet maximam . Illum per hunc divide. Quotum invenies a a. Hunc quotum multiplica per divisorem, ac terminos, qui hinc fient, subtrahe dividendo. Ea re facta , dividendum reliquum erit abbe -- a b a b κ- ιδ c κ . Hoc reliquum.' tracta eodem modo. sume

100쪽

Sume b ; hune divide per ιra. Quotum invenies ah. Hunc quotum a e . multiplica per divisorem a a - b c , ara ac terminos, qui hinc fient, subtrahe dividendo . Ea re facta , dividendum - a bκ reliquum iam erit -a ab M - bbex. Rursus hoc teIiquum eodem modo tracta. Sume -aab κ; hunc divide per a a. Quotum invenies --bx . Hunc quotum multiplica per diviso. . rem a ainc , ac termino , qui hinc fiunt, subtrahe dividendo . Ea re facta , cum dividendi nihil si reliquum se diviso abstituta erit, eritque inventorum qu tarum summa c. a. ab -bν quotus ille F qui quaerebatur. Et sane si haec summa per diu sorema ainbemultiplicetur, restitue C dividendum . .. Bersaepe eo devenies, ut quod reliquum dividendi erit, divaei ulterius non possit; ut si dividendo, quod supra proposui , adiunctus fuisset terminust te G. nam facta divisione ut supra, reliquum tandem esset . t te. ei quod dividi per divisorem a a H bc nota po

- Id si accidat, ad summam quotorum inventOxum fractionem addes hoc modo ; a a - a b - b κH--; eritque hic quotus absolutus. Quod si

. quotus obtinebitur sine fiactione ulla, divisio perfecta. dicetur ; imperfecta , si fractionem habuerit cSed iam de his satis multa .

De Di iti ed by OO . IC