Opere di Francesco Maria Cavazzoni Zanotti. Tomo primo nono

81쪽

siuspiam negativae , verbi gratia si prodeat-- -a b; id signo erit , impossibile illud esse , quod quaeritur;

non quod valor aequationem illam , unde prodiit, si in locum x substituatur, non veram reddat, sed quia est ipse absurdus natura sua , atque impossibilis. Adsentio ego quidem exemplis haec omnia inis digere. Paucula ergo afferam, quae , ut mea opinio est , eo rem magis declarabunt, quo erunt faciliora, & breviora.

D Atam rectam A B me. ai ita dividere in P,

ut sint AB, A P, P B continue proportionales . Problema hoc statim refero ad aequalitatem hanc

82쪽

Ae prunum quidem valorem a a - a facile constat positivum esse ; qui pe quantitas aquae ponitur, major est , quam a , quae negatur. Ne que minus facile intelligitur esse

xem, quam a. idest AB. Omnino constat, si sumatur Α P -- , per hunc valorem plane satisfactum iri problemati , quod proposuimus.

negativus sit, sitque ad partem contrariam dirigen

habebis Q B , Q A , A B continue proportionales , quod sane valde assine est rei illi, quae quaer

batur .

EXEMPLUM II.

Problema.

meter A B , centrum C , inscribere triangulum aequi. Iaterum A M Q . Problema hoc ad aequalitatem fie refero. Non est

83쪽

est dubium , quin, si inveniatur in diametro pune iam P tale, ut ducta perpendiculari P Μ , quae secet cireulum in M , ductaque AM, sit A V m a PM, non est , inquam , dubium , quin sit trianguli aequilateri inscriptio expeditissima . Siquidem producta M P donec secet Circulum in Q , ductaque A in, facile constat aequalia esse latera omnia Α Μ, Min, A in. Sit iam C B , sive C A m-C Ρ α κ . Erit A Praa H-κ; PB m a - κ; PM media propottionalis inter AP, At PB a-κ κ, ideoque a P M i

primus valor problemati satisfaciat, sitque suturum triangulum A Mjaequilaterum, si sumseris C P aequalem

dimidio radio, idest .

rit, eritque aequalis radio , id est a , ideoque punctum P cadet in A. Quod si rem spectes, hic quo que valor problemati satisfaciet. Cadente enim Pin Α , erit P Μ eterum; totumque triangulum Λ Μ λ,

84쪽

&. singula eius latera eterum erunt, ideoque omnia aequalia . At enim de huiusmodi triangulo quis quaerat Nemo quisquam . Valor tamen a veritate minime aberrat.

EXEMPLUM II I:

Problema.

DAtam Iineam AB ita dividere in Q , 23. Iut rectangulum ex Α & Q B aequale sit quadrato lineae A B. Hinc sine ullo artificio ipsa se prodit aequalitas.

Habet igitur κ valores duos- , &a - 3 σώ, utrumque , ex absurda radie e illa gua, impossibilem . Quo patet impossibile id esse, quod quaeritur.

85쪽

HI e vero de nominibus magis, quam de rebus agetur , ut fere sit, cum res in partes dividuntur. AEquatio quaevis eius gradus esse dicitur, quem maxumum habet potestas incognitae. Quare si in aequatio. ne non nisi primam potestatem habet incognita, ut in hac bκ -- cerae κ, aequatio dicitur primi gradus, vel et am Iinearis. Si incognita in aequatione secundam habet potestatem , ut in hac κ κ- ae m. b b , aequatio dicitur secundi gradus , vel etiam quadratica . Quod si &secundam potestatem habeat Incognita , & etiam primam , ut in hac aequatione κκ-haa bb - bκ , aequatio dicitur quadratico affccta . Si habuerit incognita potestatem tertiam , ut in

hac aequatione a κ m c ,. dicetur aequatio tertii gradus, vel etiam cubica . Quod si incognita habuerit potestatem quartam dicetur aequatio quarti gradus ; si quintam, quinti &c. Problema quodvis eius gradus esse dicitur, euius gradus est aequatio illa, per quam solvitur. Dicuntur etiam problemata , alia deter nata , alia indeterminata , quae' partitio est explicanda . Si in aequatione, perquam problema solvitur, praeter incognitam κ, litterae aliae omnes a, b, cd. c. quantitates exprimant certae constitutaeque magnit dinis, quam variare nullo modo liceat, Problemata.

86쪽

paulo ante in exemplum attuli.

Quod si in aequatione , praeter κ, alia quaepiam sit littera, puta a, quae qua sit magnitudine, ad solvendum quidem problema , nihil reserat; problema dicitur indeterminatum. Rem diligentius declare

mus.

Datis rectis AB, BC Fig. a . datum angulum ABC essicientibus, quaeratur punctum M , a quo si ducatur recta M P parallela ad C 8 , secansque ΑΒ in P, sit AP, PM:: AB, BC. Erit hoc problema indeterminatum. Fac enim AB ac BCrab, AP α Μ, PM U. Problemati satisfactum plane erit, si modo fuerit b καzaI. Ut sit autem bκαzaa, nihiJ refert, qua sit magnitudine aut κ, aut modo altera sic se habeat ad alteram, ut vera sit aequatio bretna . id quod obtineri poterit variando vel x, vel a infinitis modis. Sume enim x tamquam incognitam , eamque separa. Erit tibi κ α - . Hic cuiusque magnitudinis oponatur It, modo fiat κ αerit utique b κ' .a I. Rursum sume I tamquam ineognitam , eamque sepab κra . Erit tibi γα - . Atque hic etiam cuiuscumque a b ω magnitudinis ponatur x, modo fiat I m - , erit utique b α aa. Sic variari infinitis modis poterunt

87쪽

8 Itum M tum I , & infinita puncta vi inveniri, quae

problemati satisfacient. iniantitates, quae infinitis modis variari poterunt es dicuntur variabiles , eaeque ultimis alphabetilitteris A , I, ae solent exprimi. Quantitates aliae diis

cuntur constantes.

Infinita illa puncta Μ , quae problemati satissa-ciunt, lineam ostendunt, quae locus dicitur. AEquam tio autem unde illa prodierunt, aequatio dicitur eius loci, sive ad eum locum . Linea κ , quae scilicet a certo puncto A ducitur , abscissa dicitur; si vero ordinatas ea vero, in qua κ sumitur, axis dici solet. Non est dubium quin linea recta A C ut in proposito exemplo maneam in infinitum producta locus ille sit, ad quem est aequatio bκ a I. Qiiod per raro accidit, ut locus sit linea recta; plerumque enim est curva quaepiam linea , pro aequationis Uarietate , varia ; ac licet curvae infinitae prodire pos sint, eaeque inter se diversissimae , pei saepe tamen in eas incides , quae sunt geometris familiarissimae, notissimaeque; cujus rei exemplum unum aflaram .

EXEMPLUM.

Problema .

I J Ata YEA, A B invenire extra ipsam pumctum Mi a quo si ducatur H P perpendicularis ad A B, is PM'i A P. PB .

88쪽

82 sit data AB in a; AP α κ . Erit P B m a-M,& ΑΡ. PBmaκ - κκ. Sit PMmr; quare P M' in In problemate , uti quidem propositum est, nihil aliud quaeritur, nisi ut vera sit aequatio II .aκ-κκ, quae si vera fuerit, nihil refert, qua magnitudine sit aut κ , aut 3. Problema est istitur indeterminatum , infinitasque habet solutiones. Fac enim separes I . Erit tibi a m ae ira κ-κ κ; ubi quantumcumque varies lineam κ , dummodo sem

vel etiam fac separes κ. Erat tibi κ-- , ubi quantamcumque posueris 3 , dummodo semperam a a - ΑΙ

Erunt ergo infinita puncta Μ, quae problemati satisfacient; ac si locum diligentius inspexeris, facile invenies, eum esse curvam lineam, notissimam, nobilissimamque inter omnes, cui circulo nomen est . Atque haec de aequationibus dixisse in praesens satis sit, quae cum perceperis, quod tibi , mi Ratta perlacile erit, tum ad ea , quae penitiora sunt, aequationumque naturam atque usum maxime illustrant,

accedemus.

89쪽

83 DE VARIIS AEQUATIONUM PROPRIETATIBUS.

NUne varias aequationum proprietates exsequar . Sed ante omnia aequationem ipsam ita praeparari volo , ut haec habeat. I. Primum termini omnes in unam partem coniecti sint. In cognita x nullo radicati signo adstricta. Quantitates reliquae a , b , e &c. reales sint ; quales utique semper erunt. Quis enim imaginarias comsulto invehat

II. Primo loco terminus ille sit positus; in quo, maximam habet potestatem ; isque positivo signo

τε: ctus, coemeiente nullo praeterquam I. Primum hunc terminum sequantur alii eo ordine, quo incognitae potestas minuitur, donec ad eum veniatur, in quo κ apparet nulla . Exemplo sit κ --a-x-qzo. Hic est xi primus terminus aκ secundus; κ terintius; q vero, ubi nulla apparet x, dicitur terminuet ultimus. Quo loco duo praecipienda sunt. Primum. Siqua in aequatione plures sint termini , in quibus κad eamdem potestatem evecta sit , summam omnium

90쪽

eutrat, in qua terminus quispiam desideretur, hunc

adesse putabis multiplicatum per Zerum. Occurrat aequatio κ) Φ κα o , in qua terminus secundus desideratur ; hunc ergo putabis adesse , neque in

III. Quantitas quaevis cognita, quocumque intermino per incognitam multiplicetur, dicitur coemis ciens illius termini. Iv. AEquatio quaeque dicitur esse eius gradus , cuius gradus est potestas maxima incognitae . Erit

quatio primi gradus dicitur etiam linearis; secundι quadratica , ac si adsit secundus terminus, etiam quadratica affecta ; tertii, etiam cubica . V. Valor incognitae κ est quantitas illa cognita, quae si in aequatione pro κ substituatur, summa teris

minorum omnium evadit Eerum . Sic in aequatione κ κ - - 2 a κ - a a m o pro κ substituas - a , sum ἀm . terminornm Omnium evadet Zerum. Erit ergoa in hac aequatione Valor incognitae κ, diceturisque verificare aequationem . Sunt qui valores incoisgnitae radices aequationis vocent; quam apte nilii Iopus est quaerere. VI. Bin omium vocabo incognitam simplicem , eui quaepiam cognita adiuncta sit , uti κ--a , κ-b. Si aequatio uno binomio constet, puta κ- amo, satis patet, valorem incognitae κ non alium esse

posse , nisi cognitam illam a mutato signo , id est a;