장음표시 사용
151쪽
De Motu cur vilineo generatim . Lemma e geometria petitum . o. Puncto quovis R Fig. 3. curvae cuiusvis RP, ducta R T tangente , ducantur intra Curvae con cavum lineae quaevis duae R F, R M . Sumatur arcus
RL infinitesimus, ducaturque L perpendicularis ad R F, nee non LI parallela tangenti R T , secans R F in x , R M in I. Dico primum , omnia latera trianguli R κa ense infinitesima seeundi ordinis. Dieo secundo, omnia Iatera trianguli L κ esse infinitesima primi ordinis.
Antequam haec demonstro , ducatur L T perpendicularis ad tangentem R T, nec non R M perpendicularis ipsa quoque tangenti R T, secansque L I in M. Demum a puncto quovis F lineae R F ducatur F M parallela & ipsa tangenti R T, occurrensque lineae R u produeiae in H, & lineae R M in M . Demonstro primam partem . Cum sit angulu LRT infinite simus, ut qui fit a curva & tangente, erit lineola L T infinite sima , si ad lineam T R , sive L R , comparetur ; quare cum R L ponatur infinites m a primi ordinis, erit L T infinite sima ordinis secundi, ergo etiam Ru, quae est aequalis L T. Iam vero cum triangula R F H, R κ u sint similia , ac latera
152쪽
bit latera omnia trianguli esse infinite sima eiusdem ordinis ; erunt ergo omnia infinite sima ordirunis secundi. Eamdem rationem transferes ad latera omnia trianguli Rκ3 ex similitudine triangulorum
Demonstro partem alteram. Cum sit L u infinite sima primi ordinis, ut quae aequalis est lineae RT, si ei dematur pars κ u , quae, ut modo ostendi, in finitesima est secundi ordinis, erit adhuc reliqua Lκ infinit .sima primi ordinis. Jam vero cum triangulum L κὶ simile sit triangulo Rκυ, ideoque etiam triangulo R F H ; sint vero latera omnia trianguli R F Η assignabilia , erunt latera omnia trianguli Lx in infinites ma eiusdem ordinis ; ergo erunt omnia infini-tesima ordinis primi .
. De moro eurvilineo .at. INeedens eorpus per curvam lineam quamlibet R P Fig. q. sit iam in puncto quovis R. Hic sane ,
ut omnes docent, vim facit, ut per tangentem R Texcurrat. Ut ergo a tangente deflectat, & curvam lineam sequatur , necesse est , ut vi alia quapiam urgeatur versus aliquod punctum F, quod intra curvae concavum sit positum ; sic quidem , ut vi ex duabus
composita per laterculum RL curvae se immittat. 3 2. Vis, qua corpus excurrere nisi tur per tan
153쪽
lis . vis, qua trahitur versus F, vis centripeta. Quod si a puncto quovis L laterculi R L ducantur lineae LT, Lu parallelae directionibus RF, RT, completo parallelogrammo Tu, exprimet sane linea R Lvelocitatem, qua corpus ex R in L fertur ; linea RTexprimet velocitatem tangentialem ; linea R ti velocitatem initialem a vi centripeta ortam Iq. . Quare si sint arcus duo quivis infinite simi R L, ri vel in eadem curva, vel in di versis, qui a qualibus tempusculis percurrantur, compleanturque parallelogramma Tu,r V, uti supra ; non est dubium, quin sicuti lineae R L, r i expriment velocitates , quibus ipsae percurruntur 3. , sic etiam lineae R T, texprimant velocitates tangentiales, quas corpus habet in punctis R, & r; lineae vero Ru, r V velocitates initiales a vi centripeta ortas. 34. Si vis centripeta per universum curvae tra. ctum perpetuo dirigatur versus idem punctum F, dicitur punctum F centrum virium. Fingi solet hoc centrum perpetuo trahere ad se corpus; hinc oriri vim centripetam . Quamquam vis centripeta ubique serea nobis considerabitur, uti vis quaepiam urgens perpetuo corpus versus centrum , undecumque tandemoriatur .
33. Quoniam vero quae insta quaerenda sunt, a velocitatibus tantum pendent, quod erit legentibus manifestum ; idcirco virium nomine . velocitates tantum ipsas intelligemus, eritque iam nobis vis cen-
154쪽
36. Quod si duae rectae dueantur F R , F P a scindentes in curva arcum quemvis R P, spatium R F Pappellabitur area, quam corpus eo tempore dicetur describere, quo tempore percurrit arcum R P. His definitionibus praemissis theoremata quatuor , quorum maximus usus est, exsequamur.3 . o. I. Volvatur corpus per curvam RP, s. F centrum virium. Sume arcum quemvis infinitesimum R L , eum tamen , qui certo tempusculo percurratur. Duc Lin perpendicularem ad F κ , tum F Τ perpendicularem ad tangentem RTVelocitas , qua corpus percurrit arcum R L , ponatur m M. Dico esse L Q idy .
Dem. Cum sit angulus L R T infinites mus , ha. heri possunt pro aequalibus anguli L R in TR F. Quo statim apparet, triangula etiam F R T, R L pro similibus haberi posse , csieque FR: FT::RL:
Lχ ergo Lin --. Atqui arcus R L squ niam , ubi vis sumatur, certo semper tempusculo per curritur J exprimit velocitatem v 3 , ergo Lin
155쪽
poribus, quibus describuntur . Id manifestum per se erit, si prius ostendatur , areolas deinceps duas infinites mas A F R , R F L, quae aequales quidem sint, aequalibus describi tempusculis.
Dueatur L Τ parallela lineae R F, secans ARproductam in T, compleaturque parallelogrammum T ti. Hic iam vides esse Ru vim centripetam, R Tvim tangentialem, atque his duabus componi vim, qua corpus fertur per R L 3 a. Ducatur nunc FT. Quo facto apparet statim, triangula R F T; R F L aequalia esse ; habent enim. eamdem basim R F, suntque inter easdem parallelasLT, R F. Quare cum triangulum RFT aequale sit areae R F L, atque area R F L posita si aequalis areae A FR; erunt triangula RFT, A FR aequalia,& bases A R , R Τ aequales. His positis sic colligo. vis tangentialis est. illata
ipsa vis, qua corpus fertur per A R , quaque nititur excurrere per R T. Quare cum sit RTα A R,tem pus , quo corpus vi tangentiali percurreret R T , aequale est tempori, quo revera percurrit A R ; atqui tempus , quo Percurreret RT, aequale est etiam tem-
Percurruntur aequali tempore : ergo areolae A F R ,
R F L aequalibus tempusculis describuntur. Quod ostendendum susceperam . Nunc iam theorema propositum sic expedio.
Quanto plures areolas Α F R continebit area A F Q Tom. II. T quam
156쪽
quam area A F P, tanto etiam pluribus tempusculis describetur. Ergo erunt areae A F A F P proportionales temporibus, quibus describuntur. Q e. d. 39. Licet etiam theorema sic convertere. Si reae omnes , terminatae in eodem puncto F , proportionales sint temporibus, quibus describuntur, vis centripeta erit ubique directa ad idem punctum F.
Sint enim areae duae infinite simae A FR , R FLaequales; ideoque arcus Α R, R L aequalibus tempusculis percurrantur . Producatur A R in T, ut sit R Tm ΑR; ducaturque L T. Facile intelligis , lineamR T exprimere vim tangentialem , lineam R L ex prismere vim, qua corpus ex R in L fertur, ideoquo esse T L parallelam diremoni , quam vis centripeta habet in R. Praeterea triangula duo R F T, R FLsunt aequalia quippe utrumque, ut facile constat, aequale est triangulo AFR). de insistunt eadem basi R F; oportet ergo lineam TL, vertices iungentem, parallelam esse etiam lineae R F. Cum ergo T L sit parallela tum lineae R F, tum directioni vis centris petae in R , coincidet haec cum R F, tendetque ad punctum F. 4o. G. III. volvantur duo corpora per duas quasvis
curvas R P , rp, Fig. s. 6 ac snt centra virium F f. Sint arcus duo quivis infinite simi R L , ν ι, qui in
quali tempore percurrantur, compleanturque areae
RFL, rfl; ac tandem ducantur FT,fr perpendiaculares tangentibus R T, r t. Dico , velocitatem eor-
potis in R esse ad vel itatem corporis in r, uti
157쪽
M est area RFL divisa per FT ad aream si divisam
perst. Antequam id demonstro , placet hoc animadvertere . Propter infinitam parvitatem angulorum L R Τ, Irt haberi possunt triangula RFL, νfl tamquam insistentia tangentibus ipsis RT, νι; ideoque etiam Iineae F T , si haberi poterunt tamquam ipsorum altitudines. Hoc permissis sic rem demonstro. Quoniam R L , & ri percurruntur aequali tempore , erit velocitas in R ad velocitatem in r, uti
confecti, in eadem curva sumantur. valet enim iueadem curva ratio eadem . Et quoniam in eadem
curva area R F L est constans, quippe quia arcum R L eum semper sumi volumus , qui aequali tempusculo conficiatur 38. , poni poterit R F L m et,
eritque velocitas in quovis puncto R α - . a. G. IV. Volvantur duo eorpora per duas quaslibet curvas P V, p u , Fig. 8. p. sintque centra virium F , f. Sumantur duo quivis arcus P v. p u, compleanturque areae P F V ,psu . Sumantur praetere a arcus R L, νι, qui aequali tempore T percurrantur, T a comin
158쪽
compleanturque etiam areae RFL,rfI. Dico, tempus, quo percurritur arcus P V, esse ad tempus, quo Percurritur arcus p v, uti est area PF v divisa per aream RFL ad aream psti divisam per aream st. Dem. In curva PV est utique area RFLad ream PF V, uti tempus T ad tempus , quo percurritur arcus P v 38 : ergo tempus, quo percurritur arcus P v, erit m . Similiter in curva p u
invenies tempus, quo percurritur arcus p u, esse m
43. Antequam huic capiti finem pono, placet ea breviter recensere , quae curvam deter minant a cor- P re percurrendam. Sit corpus in R, I Fig. Io. J accentrum virium sit F. De terminata vi centripeta, e
iusque directione versus F; si determinata etiam sit vis proiectionis, eiusque directio R T , cogetur sane corpus discedere a puncto R , determinatamque directionem RL ingredi, quam, nisi quid aliud superveniat , perpetuo sequatur. Verum supervenit statim attractio nou centri F, quae ipsum cogit directionem acceptam mutare, atque aliam L ingredi. Huius autem novae attractionis cum vis tum directio determinantur ex ipsb situ , & distantia centri F , atque ex ipsa attret, ctionis lege; quae determinata si fuerint, determinata erit etiam in corpore directi Dissilired by Corale
159쪽
nis mutatio. Hoc modo progredietur corpus Perpetuas habens determinatasque directionis mutationes, atquc idcirco determinatam curvam percurret. qq. Quae ergo curvam percurrendam determinant , haec sunt. vis centripeta , & vis proiectionis, earumque directiones; deinde centri distantia, & attractionis lex. Quae si eadem maneant omnia , e dem quoque curva a corpore percurrenda erit. Quamquam si horum unum mutetur, modo & aliorum conveniens mutatio fiat, eamdem adhuc curvam percurrere corpus poterit. Nihil enim impedit, quom, nus datam curvam quamlibet possit corpus percurrere, quantacumque sit vis centripeta, qua trahitur e puncta R versus F. Cur enim dum trahitur versus F , quantacumque trahatur vi , nequeat etiam sic proii- et , ut vi composita datae curvae laterculum ineat PUbi id peregerit, cur superveniens statim attractio nova centri F non ea esse possit, ut eorpus in aliud, quod proxime sequatur , datae curvae laterculum se immittat; ac sic deinceps ad latercula alia, atque
alia ex certa attractionis lege transeat, omnesque accipiat datae curvae dire stiones ρ Sed iam de his satis.
160쪽
De revolutione eorporis per eireulum mi centripeta ad circuli centrum tendente. Ires centrales in sectionibus conicis expliearia ingrediens, exordiar a circulo, quippe qui sectionum coniearum simplicissimus esse creditur. 43 volvatur corpus per circulum A B Fig. H. vi centripeta tendente ad circuli centrum C. Diaco, velocitatem, qua per circulum volvitur , ello constantem. Dem. Percurrat corpus duos quosvis arcus A D, Α Ε, compleanturque areae A C D, ACE. His p sitis sic colligo . Arcus Α D, A E sunt uti areae A C D, ACE; atqui hae areae sunt uti tempora , quibus a eus AD, A E percurruntur 38 ; ergo arcus Α D, A E sunt uti tempora , quibus percurruntur ἰ ergo velocitas in utroque arcu eadem o. ; ergo com
Idem aliter . velocitas in quovis curve puncto est - 4 r. , unitas divisa per eam perpendicularem , quae a centro ad puncti tangentem ducitur; quae perpendicularis in circulo radius est. Atqui unitas divisa per radium constans est: ergo & vel
46. volvatur corpus per circulum R Η Flt. it. vi centripeta tendente ad circuli centrum F. Dico,