장음표시 사용
161쪽
vim eentripetam exprimi tertia proportionali post diametrum , & velocitatem, qua corpus per circulum volvitur. Dem. Sit arcus infinitesimus R L , quem corpus percurrat certo tempusculo, ducaturque L ia parali la tangenti R T, secans diametrum R H in us exprimet sane arcus R L velocitatem, qua eorpus per cidiculum volvitur; lineola R u vim centripetam 32. . Atqui est R u tertia proportionalis post diametrum R Η , & arcum R L . Ergo vis centripeta exprimi. tur tertia proportionali post diametrum , & velocitatem, qua corpus Per circulum volvitur. I. Erat ergo vis centripeta quadratum velocitatis, qua corpus per circulum volvitur, divisum per diametrum. Sit vis centripeta m G. Velocitas, qua eorpus per circulam volvitur, mu; diameter D;
8. Hinc patet, vim centripetam G in tota cod. poris revolutione constantem esse; est enim constans velocitas v que . , neque minus constans est diam ter D. 4'. Patet etiam, velocitatem , qua corpus per circulum volvitur , esse radicem vis centripetae ductae in diametrum. Si est enim, ut modo diximus, Gra
3o. Porro tempus periodicum erit radix diametri divisae per vim centripetam. Nam tempus perio divi
162쪽
Isadicum est utique circumserentia ipsa , cui substituere diametrum D possumus, divisa per velocitatem 4. . Est ergo tempus periodicum
s I. Problema. volvatur corpus per circulum Α Β centripeta tendente ad circuli centrum C . Fingatur iam cadere versus C e quovis circumferentiae puncto Α, ea vi centripeta , quam habet in circulo , ipsum constanter urgente . Invenire punctum D , ad quod eum cadendo pervenerit, obtineat velocitatem aequalem illi, qua per circulum volvitur. Sit diameter m D. Velocitas, qua corpus per circulum volvitur, ra v. Erit vis centripeta
43. . Sit iam ΑD α κ . Quoniam velocitas, quam corpus, cadendo ex Α, obtinet in D , aequalis est duabus radicibus spatii ipsius A D ducti in vim cenis
tempus, quo corpus cadit ex Α in D, uti circum- serentia ad radium. Dem. Sit circumserentia ra C. Erit tempus periodicum A. . Tempus, quo corpus cadit ex
163쪽
A in D , est et . radix spatii ipsius A D divisi per
vim centripetam. Est autem , ut modo ostendimus, spatium Α Dα - ; vis centripeta α - . Erit er-- Dgo tempus, quo corpus cadit ex A in D, α .
tempus periodicum esse ad tempus, quo corpus cadit ex A in D, uti est circumserentia ad radium. e. d. 33. volvantur duo eo ora per duos circulos AB, ab Fig. Iq. I s. viribus centripetis tendentibus ad centra C , e . Si vires centripetae reciproce proportionales sint quadratis distantiarum C A , c a ,sve diametrorum AB, ab , dico quadrata temporum periodicorum esse proportionalia cubis diame
Demonstratio sine ullo artificio vel minus attentis se prodit. Sit in circulo AB diameter A B i D. Vis centripeta m G. Erit tempus periodicum D i G so. , cuius quadratum m. - . Sit in circulo ab
diameter ab d. Quoniam volumus vires centripetas e Te reciproce proportionales quadratis diametr
164쪽
D3: da . id est quadrata temporum periodicorum proportionalia esse cubis diametrorum . Q. e. d. q. Volvantur duo corpora per duos circulos AB, viribus centripetis tendentibus ad centra C, e . Si quadrata temporum periodicorum fuerint proportionalia cubis diametrorum , dico , vires centripetas esse reciproce proportionales quadratis distantiarum C Α , e a , sive diametrorum AB, ab . Hic quoque inutile sit artificia quaerere . Sit in circulo A B diameter A B in D . Tempus periodicum m T. Quoniam velocitas , qua corpus per circulum volvitur , aequalis est circumferentiae , seu diametro, divisae per tempus a. , erit in circulo Α Β velocitas m . Et quia vis centripeta aequalis est quadrato velocitatis diviso per diametrum I erit in
circulo A B vis centripeta α - . Jam vero in cir-
euto a b sit diameter a b d. Quoniam volumus , quadrata temporum periodicorum proportionalia esse diametrorum cubis, erit in circulo a b tempus periodicum α ι - . Eamdem porro viam insistens,
165쪽
ias reeiproce proportionales esse quadratis diametrorum. Q. e. d. s. Volvatur eo us per circulum A B ex attractione massis Μ in centro ipso C insidentis. Dico , massam Μ proportionalem esse cubo diameia tri , sive radii, diviso per quadratum temporis periodici. Sit diameter m D . Tempus m T . Dico esse Μα
Dem. Velocitas initialis, quam parit attractio , est massa Μ divisa per quadratum distantiae I9G, cui distantiae substituere possumus diametrum ipsam D ; est ergo velocitas initialis α - . Est etiam ve-
locitas initialis m gr. , quare cum velocitas V aequalis sit circumserentiae , cui diametrum Dpossumus substituere, divisae per tempus periodicum
36. Problema. Dato tempore periodico , quo corpus volvitur per datum circulum ΑΒ i 3. vicentripeta tendente ad centrum C, invenire propo tionem , quam habet vis eius centripeta ad commuis nem terrestrium corporum gravitatem .
Ut est circumserentia ad radium , ita sit tempus V a Pe
166쪽
periodicum datum ad tempus aliud L. Experimenta4Ies physici te docebunt, quam lineam percurrat ter. restre corpus a quiete discedens , ac eadens libera tempore constituto Κ. Sit ea linea PQ . Sit praeterea AD quarta pars diametri A B. Dico, vim centripetam corporis per circulum A B se volventis esse ad communem terrestrium corporum gravitatem, uti
Dem. Quoniam ponitur circumserentia ad radium, uti tempus periodicum ad tempus K , sequitur , ut, si corpus cadat libere ex Α , vi centripeta , qaam habet in A, ipsum constanter urgente, conficiat Iineam Α D tempore Κ sa.) . Iam vero eodem tempore Κ terrestre corpus cadens libere conficit lineam PQ; gravitates vero sunt uti spatia eodem tem pore percursa 23 ; ergo vis centripeta corporis se volventis per circulum Α B est ad com 'unem terrestrium corporum gravitatem , uti A D ad P in . Haec habui dicere de revolutione corporis per circulum , in quibus exerceri te paululum volo, Tosequate suavissime, sic ut eadem demonstres aliter, multisque modis verses, & alia addas, ut in mentem venient. Sic enim & quae adhuc te docui, breviora ipse facies, atque elegantiora, & ad ea , quae infra tradentur, paratior accedes. CA. Disiti Corale
167쪽
Is De re volutisne eorporis per ellipsim mi centr9eta ad Deum tendente .
Lemmata quadam e geometria petita .
Ireulum ellipsis exeipiat, quae illi est sectionum
conicarum omnium quamproxima; qua in curva cen trales vires dissiciliores paulo esse existimantur , atque obscuriores. Ego illas breviter explanare nitar, de dilucide quantum Potero . Sed antequam revolutionem corporis explico , volo te, Varene suavissime, pauca quaedam , quae quasi lemmata infra assumam , e geometria nunc re- Petere , ne postea rem mechanicam tractanti in geometrica haerendum sit. Quae autem demonstrata ab aliis sunt, ea tantum indicabo ; quod nusquam alibi demonstratum esse arbitror, id ipse curabo, ut demonstrem .
3 . Sit ellipsis A B , Fig. I 6. cuius axis maior
AB, minor Lλ E , centrum C , focus F. Parameter axis maioris sit P. Hanc parametrum appellabo posthac parametrum ellipseos. 38. His positis, dico primum , Iineam F D aequalem eise semiaxi C A . imo si sumto in ellipsipune o quovis R , ducatur per C diameter R V, tum diameter conjugata Μ N, ac tandem linea F R se.
168쪽
39. Dico secundo, rectangulunt ex CA &CD aequale esse parallelogrammo ex C R & C N, sive C M ; ideoque ducta R O perpendicii 'ati ad M N , esse C M : C A : : C D : R O. oo. Quod si ponatur arcus R L infinite simus, iis. demque positis, quae supra posuirrius, ducatur L ti parallela tangenti R T, secans lineam F R in υ; tum Iinea L in perpendicularis ad F R ; dico esse P: Lin: r L Ο : R M , ideoque R u α Δ'.
Id tacite ostendes, si producta Lu, donec see et diametrum RV in κ, & perpendicularem R O in Σ, animadverteris, triangula duo Rur, Lia similia esse , esseque Ru: Rz:: Lu: LQu. Inventis enim R E,& L u , facile etiam intelliges quo modo se habeat L Q ad R u. Quaeramus igitur primum R Σ. Cum sit axis maior m 2 C A, parameter vero P . erit axis minor
169쪽
Quaeramus iam L u . Primum propter similitudinem triangulorum R O C , R x x , est R O: R C: rR α : R κ . Hic pro R Ο, & R n substitue valores
supra inventos, ac statim habebis R κ α --..
Denique eum possit L v confundi cum L ω ordinata ad diametrum R v , est enim v κ differentia infini-tesima secundi ordinis 3o. J erit ex ellipseos natura C R ad C M , uti V κ κ R a C R κRκ, ad L u . Iam vero si pro R κ substitues valorem eius modo inventum, erit tibi statim Lu i CΜl C ALineis R L, Lu sic inventis, cum sit, ut initio dixi; R u : R E :: L u : L Q , invenies statim L Q i P κ K u , unde R u
De revolutione eorporis per ellipsim . 36. olvatur corpus per ellipsim A B Fig. II. vi e entripeta tendente ad socum F , sitque parameter ellipseos α P. Sume arcum quemvis infinitesinium R L, quem corpus certo, constitutoque tempusculo percurrat . deinde duc L perpendicularem ad FR , ad FT perpendicularem tangenti R T. Dico, vim centripetam, quam corpus habet in R
170쪽
R , exprimi per M ; ae si velocitas, quam eo us
habet in R, sit m v, exprimi vim centripetam etiam per
Demon Iro primam partem . Ducatur L v paralle-Ia tangenti R T , secans F R in v. Exprimet sane Ru vim centripetam , quam habet corpus in R ra .
petam exprimit. Q. e. d. Demonstro partem alteram . Vis centripeta in Rexprimitur, ut modo ostendi, per α . Atqui est
Ergo vis centripeta in R exprimitur etiam per
6a. His visis dico vim centripetam in quovis puncto R eiusdem ellipseos esse reciproce proportionais Iem quadrato distantiae a foco F , nempe esse α
Dem. Quoniam volumus , arcum R L , ubicuminque sit, eum semper esse . qui aequali tempore per curratur, erit area R FL perpetuo aequalis 3 D. Sit