Opere di Francesco Maria Cavazzoni Zanotti. Tomo primo nono

181쪽

CAPUT UL

I 2 De re lutione eorporis vel per parabolam , mel

per byperbolam vi centripeta ad Deum

tendente ab Iraberis sortasse , mi Torquate, quod cum doellipsi , satis , ut mihi videor, diligenter, supra

gerim, nunc de parabola , atque hyperbola seorsim agere instituam . Quae enim in duabus his curvis occurrunt, quod per te ipse facile intelliges, eadem fere sunt, quae in ellipsi , eodemque fere modo demonstrantur; itaque si te superiori capite monuissem, ut quae legeres, eadem ad ellipsim primum, tum ad parabolam , deinde ad hyperbolam accommodares, vid hor ficile e duobus capitibus unum facere potuisse, ac breviorem librum contexere. Potuissem etiam generalibus uti sermulis, quae in sectiones omnes convenirent , quaeque ad brevitatem videntur factae. Atque has ego quidem adhibuissem , si tantum in eis confiderem, quantum hi solent, qui illas adhibent. Ego vero sic sentio , generales illas formulas ad re. rum perceptarum memoriam tuendam va Iere quidem plurimum , ad res ipsas percipiendas non admodum; quas res profecto numquam satis perceptas habeas, nisi unam quamque prius accurate definiveris, & in suas partes distinxeris, ac demum partes singulas s orsim inspexeris , ac diligenter scrutatus fueris. Poris

ro ex hac inspectione ducuntur plerumque formulae,

182쪽

veI certe manifestiores fiunt. Neque vero longiorem me fore existimavi, si haec scribere ingressus, ubi de ellipsi separatim disseruissem , parabolae deinde , atque hyperbolae caput proprium tribuissem . Non enim, puto , plus temporis insumes, caput hoc legens, quam si, superius cum legeres, haerere in locis singulis deis buisses , eademque modo ad parabolam , modo ad hyperbolam per te ipse transferre. Ego vero breviorem librum , non eum iudico , qui paucioribus paginis contineatur, sed eum, in quo legendo, intelligendoque minus temporis sit insumendum . Itaque ea mihi semper videntur scribi breviter . quae perspicue scribuntur. Habes, Torquate, consilii nostri rationem. Nunc ad rem ipsam veniamus. De re volutione eo oris per parabolam mi centri. peta ad focum tendente . , Lemmata quaedam e geometria petita.

8. SIt parabola quaevis A R, Rig. 23. Vertex

Α , lacus F ; parameter axis primarii, sit P . Hanc parametrum appellabo posthac parametrum parabo

Iae . . t

Sume in ea punctum quodvis R. Duc F R, deinde F T perpendicularem ad tangentem R T , ac tandem diametrum R D. Dico, parametrum para

183쪽

bolae P esse m . Dico etiam parametrum dia.

metri R D e α4FR. Quod si duxeris lineam vae parallelam tangenti RT, quae secet FR in ti, R D in z, erit R u α R et . Quae omnia facillima demonstratu sunt. 9. Iisdem positis, sit arcus L R infinitesimus. Ducatur Let, parallela tangenti R T, secansque F Rin ti, R D in L. Tandem ducatur L perpendicularis ad F R. Dico esse P: LQ.:: L : Ru, ideoque

Dem. Cum sit L E ordinata ad diametrum R respondens abscissis R d ; sitque diametri R D para- meter m η F R 8. ) , erit L ααν AhRκR Q. Ac cum possit L E confundi eum L u ; est enim v ninfinitesima secundi ordinis o. ; sitque Ret m Ru 8. , erit Lum 4 FR. Ru . Hoc posito sic colligo . Propter similitudinem triangulorum F R T , L uest FR: FTr: LM. L . Ergo FRκLQ FT

184쪽

De revolatione torporis per parabolam.

vi centripeta tendente ad focum F, sitque parameter α P. Sume arcum quemvis infinitesimum R Lquem corpus certo tempusculo percurrat; duc deinde L perpendicularem ad F R ; tum F T perpe dicularem tangenti R T. Dico vim centripetam , quam eorpus habet ilia

R , exprimi per ἰ ac si velocitas, quam corpus habet in R, sit rau, exprimi vim centripetam etiam Per

Demons o primam partem. Dueatur Lia parallela tangenti R T, secans F R in v. Exprimet sane Ru vim centripetam, quam habet corpus in R 3 a. r

tam exprimit. Q. e. d. Demonstro partem alteram. Vis centripeta in Rexprimitur , ut modo ostendi, per ; atqui est

185쪽

I 6 ergo vis centripeta in R exprimetur elam per

ine. d.

Si. His visis dico vim centripetam in quovis puncto R eiusdem parabolae esse reciproce proportionalem quadrato distantiae a foco F, nempe esse

Dem. Quoniam volumus, arcum R L , ubicumque sit , eum semper esse, qui aequali tempore percurratur . erit area R FL perpetuo aequalis 38. . Sit ergo area R F L m r. Atqui est L proportionalis areae R F L divisae per F R. Ergo L Q in I

c lo. . Erit igitur vis centripeta Tet y .

Et quoniam . in eadem parabola est P contians, idemque e formula expungi potest, erit tandem vis centripeta α - . in e. d.

82. Satis iam constat & vim eentripetam , Aevelocitatem in parabola perpetuo variare; est enim vis centripeta α- 8 I. velocitas Ar. , F R F Tquae quantitates perpetuo variant. Nunc iam revoluti

186쪽

nes corporum per duas diversas parabolas considere

mus a

83. volvantur duo corpora per duas parabolas Α R, ar, Fig. 27. 28.) viribus centripetis tendentibus ad focos F , f. Sint parametri P , p . vires centripetae, promiscue sumtae , sint reciproce proporti nates quadratis distantiarum a socis F, f. His positis sumantur duo quaevis puncta R,r, ducanturque F T, si perpendiculares tangentibus M T, r t. Dico, velocitaretain R eme ad velocitatem in ν , uti

Dem. Sit velocitas in R V ; in ν α u. Erit vis centripeta in R i

R m ; in r m m . Pone ergo aequationes duas

quatione elicies V m , ex altera elicies um

Est ergo V velocitas in R ad x velocitatem in

ν , uti ad oeg ; Q. e. d. 84. Erit ergo , in huiusmodi paraboIis, U te.

187쪽

netalis sormula velocitatem exprimens in quovis puncto R.

8s. volvantur duo corpora per duas parabolas AR, a r viribus centripetis tendentibus ad socos F, f. Sint parametri P , p. vires centripetae , promiscue sumtae , sint reciproce proportionales quadratis distantiarum a socis F, f. His positis sumantur arcus duo infinitesimi R L , ν I, qui aequalibus tempusculis Percurrantur , compleantnrque areae R FL , νfI. Diaco areas RFL, rst esse proportionales radicibus

parametrorum .

Devi. Ductis F T , si perpendicularibus ad tangentes R T, ri, erit velocitas in R ad velocitatem

86. Neque id minus valebit, si fuerint arcus R L, ν I, ideoque etiam areae RFL, rsi assignabiles. Quod facile intelliges, si ambo tempora in tempuscula totidem resolvas inter se aequalia, tum areas in are Ias ipsis respon dentes. 87. Uolvantur duo corpora per duas parabolas A R , a r , Fig. 29. 3o. viribus centripetis tendentibus ad focos F, f, sntque vires centripetae, Pr miscue sumtae, reciproce proportionales quadratis distantiarum a socis . Dico, tempora , quibus duae quaevis Disiti Corale

188쪽

vis areae P F v, describuntur, proportionalia es.se areis ipsis divisis per radices parametrorum . Dem. Sint arcus R L , r I percursi aequali tempore , compleanturque areae R F L , rfl. Hoc iacto sic colligo. Tempora, quibus describuntur areae P F v, po proportionalia sunt areis ipsis divisis per areas

radices parametrorum 83. . Ergo tempora, quibus describuntur areae PFU, proportionalia sunt Areis ipsis divisis per radices parametrorum. e. d. 88. Problema. Volvatur corpus per parabolam AR Fig. 3 i. vi centripeta tendente ad focum F. Puta iam ipsum cadere e quovis parabolae puncto RVersus F, vi centripeta, quam habet in R , ipsum conflanter urgente. Invenire punctum D, ad quod cum corpus cadendo pervenerit, obtineat velocitatem aequalem illi , quam , se volvens per Parabolam, habet in puncto R . Ducatur F T perpendicularis ad tangentem R T, sit que parameter parabolae α P. His positis, si v Iocitas in pulicto Rmu. Erit vis centripeta in eo.

Velocitas, quam eorpus cadens obtinet in D, est aequalis duabus radicibus spatii ipsius R D ducti in vim centripetam a9. . Erit ergo velocitas in D m

189쪽

GI L. Nempe quarta proportionalis post F T ,

F R , & quartam partem parametri. Q. e. i. Quoniam haec quarta proportionalis ubique aequalis est ipsi R F , idcirco corpus cadens, e quocumque parabolae puncto cadat, tum ' demum velocitatem quaesitam obtinet, cum ad focum pervenit.

. Quod si punctum R constitutum sit in ipso vertice A , quoniam ibi F T vertitur in F R , erit

190쪽

trum C . Semiaxis primus C A ; semiaxis secundus C D . Parameter axis primi sit P . Hanc parametrum vocabo posthac parametrum hyperbolae . Focus interior sit F , qui nempe intra concavum hyperbolae est; nam alterum , si quando indicare oportuerit, exteriorem vocabo.

9 I. Sumto in ea quovis puncto R , ducatur C Rsemidiameter, & C M semidiameter coniugata. Ducatur F R , produCaturque , donec secet C M pr ductam in Dico esse R G-C A. 92. Dico etiam , rectangulum ex C A , & C Daequale esse parallelogrammo ex CR,&CM. Quare ducta R O perpendiculari ad C M , erit R ο κ C Mi C Α κ C D. Unde C M : C Α :: C D : R O . Quae demonstratu facillima sunt. 3. Sit iam arcus in sinitesimus R L ; ducaturque L u parallela semidiametro C M, secansque F R ina . Ducatur praeterea L in perpendicularis ad F R .

Id iacile ostendes, si, producta La , donec secet perpendicuIarem R O productam in B , & semid