장음표시 사용
171쪽
ergo area RFL α I. Atqui est L proportionalis areae R F L divisae per F R est enim altitudo cuia iusvis trianguli proportionalis triangulo ipsi diviso per basim ; ergo L χα - , & L m -- . Est au.
psi est P constans, ideoque e formula expungi potest, erit tandem vis centripeta e. d.
Ιdem aliter. Est vis centripeta m- 6r ;
63. His rebus patet & vim centripetam ,& velocitatem in ellipsi perpetuo variare; est enim vis centripeta m- 6a. ; velocitas m- 4r, );
6 . Si corpus exsistat in vertice A , F Τ vertiatur in F Λ; si in vertice B, in F 3. Velocitas ergo Tom. II. N ini
172쪽
67. volvantur duo corpora per duas ellipses A B, ab M. 2Gar. viribus centripetis tendentibus ad focos F, f. Sint parametri P, p . Vires centripetae , promiscue sumtae , sint reciproce proportionales quain dratis distantiarum a socis FΗis positis, sumantur duo quaevis puncta R , & r , ducanturque F T, si perpendiculares tangentibus RT,rt. Dico, velocitatem in R esse ad velocitatem in ν, uti ad
ItDem. Sit velocitas in Rra v; in ν, Erit vis centripeta in R Σαα EI; in f κ μ μPκνR ρκ fe 61 . Et quoniam supponimus, vires centripetas 3 promiscue sumtas , esse reciproce proportionales qua diatis distantiarum a socis, habebimus etiam vimeentripetam in R m ; Inrra
-L. E prima aequatione elicies Vin elicies v m
Est ergo v I velocitas in R IX a ad
173쪽
68. Erit ergo, in huiusmodi ellipsibus, generalis sermula , velocitatem exprimens in quovis puncto R. 69. volvantur duo corpora per duas ellipses A B, a b viribus centripeis tendentibus ad socos F , f. Sint
parametri P , p. vires centripetae , primiscue sumtae, sint reciproce proportionales quadratis distantia tutua socis F, f. His positis sumantur arcus duo infini-tesimi R L, ri, qui aequali tempore percuriantur , ccmpleantu que areae R F L , rfl. Dico , areas R F L ,rfl esse proportionales radicibus paralai et roriIm. De n. Duin s F r , si perpendicularibus ad tanisg'ntes R T rt, erit velocitas in R ad velocitatem
. . R F L , r f l . In r, uti ad nec non etiam uti
o. Neque id minus valebit, si suerint arcus R L, ν I, ideoque etiam areae R F L, rsi assignabiles. Poterunt quippe tempora resolvi in tempuscula totidem inter se aequalia , tum areae in areolas tempusculis singulis respondentes; ac si singulas areolas cum singulis comparaveris , valebit in omnibus ratio eadem.
174쪽
I. volvantur duo corpora per duas ellipses Aab viribus centripetis tendentibus ad socos Fis,sn que vires centripetae, promiscue sumtae , reciproce proportionales quadratis distantiarum a socis. Dico , tempora, quibus duae quaevis areae PF v, psu deseribuntur, proportionalia esse areis ipsis divisis per radices parametrorum.
Dem. Sint arcus R L, ri percursi aequali tempore, compleanturque areae RFL, rfl. Hoc posito sic colligo. Tempora , quibus describuntur areae PF v, psu , proportionalia sunt areis ipsis divisis per areas
radices parametrorum 69. . Ergo tempora , quibus describuntur areae PFV, po , proportionalia sunt areis ipsis divisis per radices parametrorum. e. d. Coroll. Ergo tempora periodica proportionalia sunt totis areis divisis per parametrorum radices. a. Volvatur corpus per ellipsim ΑΒ Fig. 22. vi centripeta tendente ad focum F. Sitque axis maior AB, minor D E, centrum C , parameter P. Praeis terha, centro F, radio FD , fiat circulus D S ; fingamosque , corpus volvi per DS vi centripeta tendente ad centrum F , atque hanc vim centripetam . aequalem esse illi, quam corpus, per ellipsim se volvens , habet in ipso puncto D. Quo loco licet obiis
ter animadvertere, eamdem massam esse oportere ,
quae sedens in F attractione sua continet eorpus tum in et ipsi AB, tum in circulo DS; si enim duae diversae essent, non eamdem vim centripetat
175쪽
I66 parerent in eodem puncto D. Sed iam ad rem ve
Dico primum , velocitatem , qua corpus volvitur per circulum DS, aequalem esse illi, quam, sevolvens per ellipsim , habet in puncto D. Di eo secundo , tempus periodicum in circulo D S aequale esse tempori periodico in ellipsi Α Β . Antequam haec demonstro , iuvat animadvert re , ellipsim A B , eirculum D S revera duas elliis pses esse, in quibus vires centripetae, promiscue sumistae, reciproce proportionales sunt quadratis distantiarum ; nam utique vires centripetae tales sunt in puncto communi D, quo fit, ut tales quoque esse debeant in punctis aliis quibuslibet 65. Demon Iro primam partem . Velocitas generatim est
Y 68. γ , idest radix parametri divisa per eam
perpendicularem, quae a centro virium ad puncti tangentem ducitur. Videamus iam ergo quid ea sit, tum in puncto D ellipseos Α Β , tum in circulo D S. In ellipsi A B perpendicularis ducta a centro virium Fad tangentem puncti D est aequalis semiaxi C D , idest α -. . Ergo velocitas in punino ellipseos D ,--- α - . In circulo DS, eum sit eκ Aa v AB parameter aequalis diametro, idest i a F D 22 A B 38. ; perpendicularis vero ducta a centro F ad
176쪽
I67 tangentem puncti D aequalis sit radio ipsi PD
sequitur, ut velocitas in puncto circuli D, vel o. mnino in circulo D S , sit m ostatim apparet, velocitates , quas dixi, recales eme. Demon Ito partem alteram. Tempus periodicum generatim est area totalis divisa per radicem parametri i. . Cum ergo ellipseos area exprimatur reis E angulo axium ΑΒ, DE , sitque D ΕΣ2 i κ Α Β, erit in ellipsi tempus peri dieiam V A B . Cum vero circuli D S area exprimatur quadrato diametri a F D m Α Β , sitque parameter aequalis diametro ipsi A B , erit in circulo tempus periodicum α .-m V A B . Constat ergo , tempo-, a Bra periodica , quae dixi, aequalia esse. 3. Volvantur duo corpora per duas ellipses AB,
a b , Fig. 22. 23. viribus centripetis tendentibus ad focos F, f.
Dico primum. Si vires centripetae, in ambabus ellipsibus promiscue sumtae, sunt reciproce proportionales quadratis distantiarum a focis, quadrata temporum periodicorum erunt proportionalia cubis axium
Dico secundo. Si quadrata temporum periodicorum sunt proportionalia cubis axium Λ B, at vi-
177쪽
res centripetae, in ambabus ellipsibus promiscue silm-tae, erunt reciproce proportionales quadratis distantiarum a socis. Ut haec demonstrem, sint circuli duo per quos volvi fingamus duo corpora ita plane , uti antea supposuimus a. . posito. Demostro primam partem . Cum vires centripetae, in ellipsibus Α B, ab promiscue sumtae, ponantur reciproce proportionales quadratis distantiarum a punis diis F, f, facile intelligitur , eas tales eme etiam in circulis D S, dr. Quod cum ita sit, iam in circulis D S , s quadrata temporum periodicorum sunt proin portionalia cubis diametrorum atqui tempora periodica in circulis D S, aequalia sunt te misporibus periodicis in ellipsibus AB; ab a. , &diametri circulorum D S, d s aequales sunt ellipsium axibus AB, ab ἰ ergo etiam in ellipsibus A B, a b quadrata temporum periodicorum sunt proportiona-Ita cubis axium Α Β , a Q. e. d.
Id ipsum vel supra intelligi potuit a. , ubi tempus periodicum expressimus per ι Λ Β'. Ea quimpe re intelligi satis potuit, quadratum ejus exprimi per Α Β', ido per cubum axis.
Demonsero partem alteram. Quoniam in ellipsibus AB, a b quadrata temporum periodicorum p nuntur proportionalia cubis axium AB, ab , erunt etiam in circulis D S, quadrata temporum periodicorum proportionalia cubis diametrorum. Erunt
178쪽
ergo in eireulis DS , vires centripetae reciproce proportionales quadratis distantiarum a centris F, f 14 ) . Quo facile intelligitur, tales esse debere viis res centripetas promiscue sumtas etiam in ellipsibus ΑΒ , ab , quibuscumque in punctis sumantur. Sunt enim prosecto tales in punctis D, d 66.
Quaesitum . Dato tempore T, dataque area qua
vis I F G Fig. 39. quam tempore T describit Cometa , quam aream vocabo R , dataque distantia perihelia 3 F invenire tempus periodicum cometae. In planeta cognito, puta in venere , inveniatur area, quam venus describit tempore T, quanta aream vocabo A. Ex modo dictis erit A ad R, uti radix parametri orbitae veneris ad radicem parametri orbitae cometae, quam parametrum ponam αε p. Invento sic parametro orbitae cometae sumatur in
B A axis maior orbitae cometae. Ac tempus periodiis cum cometae, ex ante dictis, erit ι comparandum cum tempore periodico veneris. q. volvantur duo corpora per duas ellipses A B, ab, viribus centripetis tendentibus ad focos P , f. Dico, centrales massas insidentes in socis F, f, quarum attractione continentur corpora in ellipsibus Α Β, al, esse proportionales cubis axium divi. sis per quadrata temporum periodicorum .
Ut id demonstrem , sint duo circuli D S, d ι , per quos volvi fingamus duo corpora ita plane , uti Tom. III. Y Ly
179쪽
IIo supposuimus supra a. . Hoc posito se colligo. Sunt utique in circulis D S , s massae centrales, quae insident in punctis F, f. proportionales cubis diametrorum divisis per quadrata temporum periodicorum 33. . Atqui diametri circulorum DS, da aequales sunt axibus A B, ab ; de tempora periodi, ea in circulis D S, s aequalia sunt temporibus .periodi eis in ellipsibus AB, ab a ; eaedemque sunt
centrales massae , quae continent corpora tum in ellipsibus, tum in circulis a. . Ergo massae centrariles insidentes in socis F , f proportionales sun ubis axium AB, ab , divisis per quadrata temporum p
1. Quare si in ellipsibus A B, quadrata temporum periodicorum proportionalia sunt cubis axium, oportebit sane, massas centrales aequales esse. Nam utique e ubi axium divisi per quadrata temporum periodicorum in utraque ellipsi aequales erunt. s. Problemate uno tractatiunculam hane totam concludamus. Volvatur corpus per ellipsim A B Rig. a . vi centripeta tendente ad focum F. Fingatur iam cadere e quovis ellipseos puncto R versus F, vi cenis tripeta , quam habet in R , ipsum constanter urgentate. Invenire punctum D, ad quod cum corpus c dendo pervenerit, obtineat velocitatem aequalem iliali , quam, se volvens per ellipsim , habet in pu cto R. Dueatur FT perpendicularis ad tangentem RT, sitque parameter ellipseos P. His positis, sit velocistas Di irco by Cooste
180쪽
tas corporis in Rra u. Erit vis eentripeta in eodem
puncto 6I. . Sit RDα κ . Velo citas, quam corpus cadens obtinet in D , est aequalis duabus radicibus spatii ipsius R D ducti in vim centripetam a9. . Ergo erit velocitas in D I x igitur aequationem
' η . Nempe quarta proportionalis post F T ,
F R , & quartam partem parametri. Q. e. Et quoniam quarta proportionalis post F T , Fc , & quartam partem parametri ubique est misnor , quam R F, 'dcirco eorpus cadens a puncto Rpropositam velocitatem acquirit prius quam ad A. cum perveniat.
7 . Quod si punctum R eonstitutum sit in ipsi, vertice A , quoniam ibi F T vertitur in F R, erit